Доклад. ЭОР_Кеткина (без тестовых). Виды средних величин. 3
 Скачать 2.29 Mb.
|
|
§ 1. Показатели вариации и способы их расчета Вариация – несовпадение (или различие) уровней одного итого же показателя у разных объектов. Например, рост Володи 176 см, Ольги 164 см, Ивана 193 см. Те. показатель росту разных людей отличается. И это отличие нам необходимо измерить, охарактеризовать силу вариации, ее величину. Самая приблизительная оценка вариации может быть дана с помощью размаха (амплитуды) вариации (R): R = x max – x min , где и x min – наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака. Размах (амплитуда) вариациихарактеризует лишь максимальное различие значений признака, не учитывает вариацию между всеми значениями совокупности. Более строгие показатели вариации – показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. К ним относятся среднее линейное отклонение дисперсия среднее квадратическое отклонение коэффициент вариации. Среднее линейное отклонение (a) – простейшийпоказатель колеблемости относительно среднего уровня признака,вычисляется как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня при повторяемости отдельных значений x i используют формулу 41 где x i – значение варьирующего признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении f i – частота варьирующего признака – среднее значение варьирующего признака. Среднее линейное отклонение просто вычислить, удобно интерпретировать, но трудно использовать в математической статистике. Так как модули нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом. Потому, в статистике для измерения вариации чаще применяются среднее квадратическое отклонение (параметр нормального распределения) и показатель дисперсии. Дисперсия признака (σ 2 ) определяется на основе квадратической степенной средней при повторяемости отдельных значений x i используют формулу Показатель σ, равный (квадратному корню из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением, и вычисляется по формуле при повторяемости отдельных значений x i используют формулу 11 Формулу для расчета дисперсии можно преобразовать методом моментов, приведя к виду или при повторяемости значений признака x i ). Здесь – среднее значение квадратов признака (или начальный момент второго порядка, – среднее значение признака (или начальный момент первого порядка 42 Среднее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение показывают насколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Коэффициент вариации (V) – дает относительную оценку вариации, рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению признака. Или как отношение среднего линейного отклонения к медиане. Результат записывается в виде коэффициента или в процентах Рассмотрим расчет показателей вариации на примере. 2.1. Поданным об объемах сбора урожая кукурузы (тыс. тонн) по 12 компаниям агрохолдинга: 18 18 18 29 29 29 37 37 37 37 46 46 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Решение. 1) дискретный ряд распределения имеет вид x i – значение признака (объем сбора урожая, в тыс. тонн) f i - частота признака 18 29 37 46 3 3 4 2 43 2) среднее квадратическое отклонение (σ) определим по формуле где – среднее значение варьирующего признака. вычислим по формуле средней арифметической взвешенной Расчеты представлены в таблице те. в среднем каждая из 12-ти агрокомпаний собирает 31,75 тыс. тонн кукурузы. те. среднее квадратическое отклонение составило 9,601 тыс. тонн. Коэффициент вариации определим по формуле Таким образом, коэффициент вариации x i – значение признака объем сбора урожая) f i - частота признака x i ∙ f i 18 29 37 46 3 3 4 2 18 ∙ 3 29 ∙ 3 37 ∙ 4 46 ∙ 2 (18 – 31,75) 2 ∙ 3 = 567,1875 (29 – 31,75) 2 ∙ 3 = 22,6875 (37 – 31,75) 2 ∙ 4 = 110,25 (46 – 31,75) 2 ∙ 2 = 406,125 Итого 12 381 1 106,25 44 2.2. Поданным об объемах производства продукции (тыс. тонн) по 14 компаниям холдинга 54 54 54 75 75 75 75 64 64 76 76 76 76 76 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Решение. 1) дискретный ряд распределения имеет вид x i – значение признака (объем производства) f i - частота признака 54 64 75 76 3 2 4 5 2) Расчеты представлены в таблице те. в среднем каждая из 14-ти компаний холдинга производит 69,286 тыс. тонн продукции. x i – значение признака объем производства) f i - частота признака x i ∙ f i 54 64 75 76 3 2 4 5 54 ∙ 3 64 ∙ 2 75 ∙ 4 76 ∙ 5 (54 – 69,286)2 ∙ 3 = 700,9592 (64 – 69,286)2 ∙ 2 = 55, 8776 (75 – 69,286)2 ∙ 4 = 130,6122 (76 – 69,286)2 ∙ 5 = 225,4082 Итого 14 970 1 112,875 45 те. среднее квадратическое отклонение составило 8,916 тыс. тонн. Коэффициент вариации 2.3. Поданным об объемах сбора урожая кукурузы (тыс. тонн) по 10 компаниям агрохолдинга: 5 5 5 12 12 18 18 18 18 18 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. 2.4. Поданным об объемах производства продукции (тыс. тонн) по 8 компаниям холдинга 10 10 10 12 8 8 8 12 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. 2.5. Поданным об объемах сбора урожая кукурузы (тыс. тонн) по 10 компаниям агрохолдинга: 5 5 10 10 10 12 12 12 12 12 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. 2.6. Поданным об объемах производства продукции (тыс. тонн) по 8 компаниям холдинга 46 7 7 7 12 9 9 9 12 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. 2.7. Поданным об объемах сбора урожая кукурузы (тыс. тонн) по 10 компаниям агрохолдинга: 7 7 7 6 6 9 9 9 9 9 1) необходимо построить дискретный ряд распределения 2) определить среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. § 2. Ряды динамики. Основные показатели изменения уровней ряда. Ряды динамики (или временные, хронологические ряды) – это последовательность упорядоченных во времени числовых значений определенного статистического показателя. Например, курс обыкновенных акций ОАО «Газпром» на начало рабочего дня за следующие дни Дата 27.11.2017 28.11.2017 29.11.2017 30.11.2017 Курс обыкн. акций (руб) 133,07 132,88 134,85 133,00 будет являться рядом динамики, так как включает два обязательных элемента – время и конкретное значение показателя (курс акций) на этот момент времени. Числовые значения показателя принято называть уровнями ряда и обозначать через Y. Так, первый член ряда Y 0 (или Y 1 ) называют начальным уровнем, а последний Y n – конечным уровнем ряда. 47 Для анализа направления и размера изменения уровней ряда во времени рассчитывают следующие показатели абсолютный прирост темп роста темп прироста абсолютное значение одного процента прироста. При этом вычисляют базисные (в этом случае текущей уровень ряда сравнивается с начальными цепные показатели (в это случае сравниваются соседние уровни ряда. Формулы для расчета цепных и базисных показателей приведены в табл. 2.1. Таблица 2.1 Показатель Базисный Цепной Абсолютный прирост баз = Y i – баз = Σ цеп цеп = Y i – Коэффициент роста р баз = Y i / р баз = р цеп K р цеп = Y i / Темп роста Т р баз = (Y i / Y 0 ) ∙ 100% Т р цеп = (Y i / Y i-1 ) ∙ 100% Коэффициент прироста пр баз = р баз – 1 пр баз = (Y i – Y 0 ) / пр баз = баз / пр цеп = р цеп – 1 пр цеп = (Y i – Y i-1 ) / пр цеп = цеп / Темп прироста Т пр баз = пр баз ∙ 100% Т пр баз = Т р баз – 100% Т пр баз = р баз 100% – 100% Т пр цеп = пр цеп ∙ 100% Т пр цеп = Т р цеп – 100% Т пр цеп = р цеп 100% – 100% Абсолютное значение одного процента прироста * цеп = Y i-1 / 100 цеп = цеп / Т пр цеп A цеп = (Y i – Y 0 ) / (Т р цеп – 100%) 12 См Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др. Статистика : учебное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2002. С. 124. 48 Базисный показатель абсолютное значение одного процента прироста это постоянная величина равная одной сотой Y 0 ( ), его расчет не имеет особого смысла. 2.8. Рассмотрим расчет вышеперечисленных показателей изменения уровней ряда на примере производства обуви некоторой компанией. Данные охватывают временной интервал с 2005 по 2008 гг.: Год 2005 2006 2007 2008 Производство обуви, млн руб. 15,2 16,5 17,0 16,2 Абсолютный прирост базисный (Y 0 =2005) цепной – – 16,5-15,2 = 1,3 16,5-15,2 = 1,3 17,0-15,2 =1,8 17,0-16,5 = 0,5 16,2-15,2 = 1,0 16,2-17,0 = –0,8 Коэффициент роста базисный (Y 0 =2005) цепной 1,0 – 16,5 / 15,2 = 1,086 16,5 / 15,2 = 1,086 17,0 / 15,2 = 1,118 17,0 / 16,5 = 1,030 16,2 / 15,2 =1,066 16,2 / 17,0 = 0,953 Темп роста (%) базисный (Y 0 =2005) цепной 100% – 1,086 ∙ 100 = 108,6 1,086 ∙ 100 = 108,6 1,118 ∙ 100 = 111,8 1,030 ∙ 100 =103,0 1,066 ∙ 100 = 106,6 0,953 ∙ 100 = 95,3 Коэффициент прироста базисный (Y 0 =2005) цепной – – 1,086 – 1 = 0,086 1,086 – 1 = 0,086 1,118 – 1 = 0,118 1,030 – 1 = 0,030 1,066 – 1 = 0,066 0,095 – 1 = –0,047 Темп прироста (%) базисный (Y 0 =2005) цепной – – 0,086 ∙ 100 = 8,6 0,086 ∙ 100 = 8,6 0,118 ∙ 100 = 11,8 0,030 ∙ 100 = 3,0 0,066 ∙ 100 = 6,6 –0,047 ∙ 100 = –4,7 Абсолютное значение одного процента прироста – 15,2 / 100 = 0,152 16,5 / 100 = 0,165 17,0 / 100 = 0,170 49 Также для анализа временных рядов вычисляют коэффициент опережения (оп. Данный показатель равен отношению темпов роста (или прироста) двух динамических рядов (для одинаковых отрезков времени. Коэффициент опережения применяют при сопоставлении темпов роста (или прироста) одного итого же показателя, но для разных территорий (объектов) или по разным показателям, при этом в рассмотрение принимается один и тот же отрезок времени. 2.9. Например, рассмотрим данные о вводе в действие жилой площади двух стран и сравним их темпы роста поданному показателю. Решение. Вычислим цепные темпы роста для каждой из стран, результаты представим в виде коэффициентов (формула для расчета Т р цеп = (Y i / Y i-1 )). На основании полученных данных рассчитаем коэффициент опережения оп = Т р А цеп / Т р Б цеп , где Т р А цеп – темп роста (цепной) страны АТ р Б цеп – темп роста (цепной) страны Б. Результаты представлены в таблице год 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Страна А. Введено млн м 27,8 29,3 30,9 32,2 34,5 34,2 36,2 37,4 Страна Б. Введено млн м 54,2 55,4 56,2 57,1 58,2 57,4 59,2 59,9 Страна А. Темп роста (цепной. – 1,054 1,055 1,042 1,071 0,991 1,058 1,033 Страна Б. Темп роста (цепной. – 1,022 1,014 1,016 1,019 0,986 1,031 1,012 Коэффициент опережения (оп) – 1,031 1,040 1,026 1,051 1,005 1,026 1,021 На основании приведенных расчетов можно заключить, что страна А вводит в действие жилую площадь темпами опережающими страну Б. 50 Обобщающей характеристикой динамического ряда служит средняя величина. Средние значения показателей абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста и темп прироста вычисляются по формулам средний абсолютный прирост или , где n – количество периодов средний коэффициент роста (геометрический) , где n – число коэффициентов (или число периодов за которые определяется средний коэффициент, Π – знак произведения средний коэффициент роста (параболический средний темп роста средний темп прироста – . Средний коэффициент роста (геометрический) зависит от значений крайних уровней ряда Y n и Y 0 . Потому, при анализе неоднородных по характеру изменения периодов их принято разбивать на более однородные (с похожей динамикой уровней) и рассчитывать средние для каждого из них. Иначе можно получить бессмысленный результат. 2.10. Например, рассмотрим данные об остатках вкладов населения в некотором банке Аза первое полугодие 2019 года (на начало месяца Месяц янв. фев. март апр. май июнь июль Сумма вкладов, 27,6 28,9 29,7 30,5 30,7 30,9 27,4 13 См Громыко ГЛ, Воробьев АН, Карасева Л.А. и др. Теория статистики : Учебник. – М. : ИНФРА-М, 2005. С. 302. 51 млрд руб. Необходимо определить средний за месяц коэффициент роста вкладов. Решение. Вычислим средний коэффициент роста по геометрической формуле (или 99,9 %) что говорит о ежемесячном на 0,1 % снижении суммы вкладов. Вместе стем каждый месяц, кроме последнего, сумма вкладов увеличивалась. Очевидно, что в данном случае расчет среднего коэффициента роста по геометрической формуле дает бессмысленный результат и целесообразно или 1) разделить рассматриваемый период на интервалы с похожей динамикой уровней и рассчитать среднее для каждого из них или 2) воспользоваться для нахождения среднего коэффициента роста параболической формулой. В данном примере мы воспользуемся 1) подходом. Рассматриваемое полугодие удобно разделить на две части – с января по июнь, и с июня по июль. Значение среднего коэффициента роста с января по июнь составляет что говорит о ежемесячном росте суммы вкладов на 2,3 % в течение первых пяти месяцев первого полугодия 2019 г. А затем, в течение последнего месяца полугодия, сумма вкладов сократилась на 11,3 % 2.11. Имеются данные о производстве и распределении сельскохозяйственной продукции РФ за 2005 и 2009 гг.: Показатель млрд руб. коэффицент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста абсолютное значение 1 % прироста 2005 2009 абсолютн. прирост 14 См Громыко ГЛ, Воробьев АН, Карасева Л.А. и др. Теория статистики : Учебник. – М. : ИНФРА-М, 2005. С. 303. 52 Объем производства 980 1,250 Экспорт 150 255 1,142 Внутреннее потребление 760 -40 -5,000 Запасы 30 600,000 Необходимо заполнить недостающие значения. Решение. В нашей таблице присутствует среднегодовой показатель – среднегодовой коэффициент роста для которого размер интервала между уровнями равен 1 году. Потому, все остальные показатели, с интервалом в четыре года, будут являться базисными, темы будем соотносить текущее значение Y 2009 с базисным Абсолютный прирост (базисный) = баз = Y i – Y 0 = Y 2009 – Y 2005 , откуда для показателя Экспорт баз = 255 – 150 = 105 млрд. руб для показателя Внутреннее потребление Y 2005 = Y 2009 – Δ i баз = 760 – (–40) = 800 млрд. руб. Коэффициент роста (базисный) = р баз = Y i / Y 0 = Y 2009 / Y 2005 , откуда для показателя Экспорт р баз = Y 2009 / Y 2005 = 255 / 150 = 1,7; для показателя Объем производства р баз = Y 2009 / Y 2005 = 760 / 800 = 0,95; для показателя Внутреннее потребление Y 2009 = Y 2005 ∙ р баз 1,25 ∙ 980 = 1 225 млрд. руб. Темп прироста (базисный) = Т пр баз = р баз 100% – 100%, откуда для показателя Объем производства Т пр баз = 1,25∙ 100% – 100% = 25 %; для показателя Экспорт Т пр баз = 1,7∙ 100% – 100% = 70%; для показателя Запасы р баз (Т пр баз + 100%) / 100% = (600 + 100) / 100 = 7. Средний коэффициент роста (в нашем случае средний за год) = , где n – число периодов за которые определяется средний коэффициент, в нашем случае n = 2009 – 2005 = 4. Откуда для показателя 53 Объем производства (округляем до третьего знака после запятой, придерживаемся исходного формата таблицы для показателя Внутреннее потребление ; для показателя Запасы Далее, используя вышеприведенные формулы, вычисляем оставшиеся показатели абсолютный прирост (базисный) для показателя Объем производства = баз = 1 225 – 980 = 245 млрд. руб для показателя Запасы Y 2009 = Y 2005 ∙ р баз 7 ∙ 30 = 210 млрд. руби абсолютный прирост (базисный) = баз = 210 – 30 = 180 млрд. руб. Результаты вычислений представлены в таблице ниже, выделены подчеркиванием Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2005 2009 абсолютн. прирост Объем производства 980 1 225 245 1,250 25,000 1,057 Экспорт 150 255 105 1,700 70,000 1,142 Внутреннее потребление 800 760 -40 0,950 -5,000 0,987 Запасы 30 210 180 7,000 600,000 1,627 2.12. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении сельскохозяйственной продукции РФ за 2012 и 2016 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2012 2016 абсолютн. прирост Объем производства 740 962 222 1,300 30,000 1,068 54 Экспорт 250 420 170 1,680 68,000 1,138 Внутреннее потребление 440 462 22 1,050 5,000 1,012 Запасы 50 80 30 1,600 60,000 1,125 2.13. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении наукоемкой продукции РФ за 2005 и 2010 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2012 2016 абсолютн. прирост Объем производства 1 770 2 124 1,018 Экспорт 420 63 15,000 Внутреннее потребление 1 625 1,300 Запасы 100 –84,000 2.14. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении продукции химической отрасли РФ за 1996 и 2000 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 1996 2000 абсолютн. прирост Объем производства 740 1,250 Экспорт 435 50,000 Внутреннее потребление 400 420 1,012 Запасы 50 20 40,000 2.15. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении сельскохозяйственной продукции РФ за 2009 и 2015 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2009 2015 абсолютн. прирост 55 Объем производства 990 1,300 Экспорт 150 255 1,092 Внутреннее потребление 760 –40 –5,000 Запасы 40 580,000 2.16. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении наукоемкой продукции РФ за 1992 и 1996 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 1992 1996 абсолютн. прирост Объем производства 980 1,250 Экспорт 150 240 1,125 Внутреннее потребление 934 134 16,750 Запасы 30 70,000 2.17. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении продукции химической отрасли РФ за 1996 и 2002 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 1996 2002 абсолютн. прирост Объем производства 950 0,920 Экспорт 160 180 1,020 Внутреннее потребление 646 –114 –15,000 Запасы 30 60,000 2.18. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении продукции лесной промышленности РФ за 2001 и 2006 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент темп среднегодовой 56 2001 2006 абсолютн. прирост роста прироста (%) коэфф. роста Объем производства 760 190 25,000 Экспорт 470 2,000 Внутреннее потребление 360 414 1,028 Запасы 165 –60,000 2.19. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении сельскохозяйственной продукции РФ за 2010 и 2018 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2010 2018 абсолютн. прирост Объем производства 1 690 1,200 Экспорт 574 40,000 Внутреннее потребление 1 200 1 200 1,000 Запасы 80 174 217,500 2.20. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении продукции лесной промышленности РФ за 2001 и 2006 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2005 2009 абсолютн. прирост Объем производства 740 962 1,030 Экспорт 250 -10,000 Внутреннее потребление 462 1,050 Запасы 50 450,000 1,209 57 2.21. Заполните недостающие показатели о производстве и распределении наукоемкой продукции РФ за 2009 и 2018 гг.: Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2009 2018 абсолютн. прирост Объем производства 1800 1,200 Экспорт 555 20,652 Внутреннее потребление 1200 1500 1,025 Запасы 140 –35 -25,000 Глава 3. СТАТИСТИКА В ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ |