Доклад. ЭОР_Кеткина (без тестовых). Виды средних величин. 3
 Скачать 2.29 Mb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ОС. Кеткина СТАТИСТИКА СБОРНИК ЗАДАНИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЙ И ПОЯСНЕНИЯМИ Учебное электронное текстовое издание Практикум содержит примеры решения типовых задач с пояснениями, задачи для самостоятельного разбора с ответами, а также краткий теоретический материал последующим разделам статистки описательная статистика, аналитическая статистика, и статистика в прикладных исследованиях. Материалы предназначены для самостоятельной подготовки студентов к тестовыми контрольным мероприятиям по дисциплине Статистика. Издание подготовлено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика». Подготовлено кафедрой Эконометрики и статистики Екатеринбург 2019 2 Оглавление Глава 1. Описательная статистика .................................................................... 3 § 1. Виды средних величин. 3 § 2. Структурные средние и анализ формы распределения. 20 Глава 2. Аналитическая статистика ................................................................ 40 § 1. Показатели вариации и способы их расчета ......................................... 40 § 2. Ряды динамики. Основные показатели изменения уровней ряда. ........ 46 Глава 3. Статистика в прикладных исследованиях ........................................ 57 § 1. Индексы. ............................................................................................... 57 § 2. Коэффициенты дифференциации. ........................................................ 66 Список использованной литературы .............................................................. 75 Ответы ............................................................................................................ 76 3 Глава 1. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА § 1. Виды средних величин Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он отражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, те. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами 1 В статистике выделяют степенные и структурные средние. Под структурными средними понимают моду и медиану. Степенные, в свою очередь, бывают простыми и взвешенными. Простая средняя исчисляется по несгруппированным данным где x i – значение осредняемого признака m – показатель степени средней n – число значений осредняемого признака. Взвешенная средняя исчисляется по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения где x i – значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется признак m – показатель степени средней f i – частота, показывающая сколько разв совокупности встречается е значение осредняемого признака. 1 См Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др. Статистика : учебное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2002. СВ зависимости от показателя степени средней (m) получают соответствующую степенную среднюю при m = –1 получаем среднюю гармоническую при m = 0 среднюю геометрическую при m = 1 среднюю арифметическую при m = 2 среднюю квадратическую, и т.д. (см. табл. 1.1). Таблица 1.1 Вид степенной средней Показатель степени средней (m) Формула расчета Простая Взвешенная Гармоническая –1 где k = xf Геометрическая →0 Арифметическая 1 Квадратическая 2 Вычислив все виды средних для одних и тех же данных, заметим, что значения средних могут отличаться. Здесь действует правило мажорантности средних с увеличением показателя степени средней (m) может увеличиваться соответствующая средняя величина. Таким образом, будет выполняться соотношение Примечание из свойств мажорантности следует, что выбор формулы для расчета средней не может быть произвольным. Он должен основываться на смысловом содержании исходных данных и на условиях применения конкретной формулы для вычисления средней. 2 См Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др. Статистика : учебное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2002. С. 92. 5 Рассмотрим расчет средних на конкретных примерах. 1.1. Измерив рост всех студентов в группе, получили следующие данные 1,64 мм мм мм мм м. Найти средний рост студентов в группе. Решение. Для определения среднего роста студентов в группе необходимо суммарный рост всех студентов в группе разделить на количество студентов. Всего в группе 9 студентов, обозначим рост каждого студента x i , где i принимает значения от го до 9-ти. Тогда, средний рост определяется по формуле средней арифметической простой 1.2. На экзамене по предмету математика студентами были получены следующие баллы 46, 49, 55, 63, 74, 76, 84, 87, 92, 94. Найти средний балл за экзамен по математике группы студентов. 1.3. В течение учебного года первые четыре месяца студент не получал стипендию, следующие шесть месяцев размер стипендии составил 2,5 тыс. руб, в оставшиеся два месяца – 3,3 тыс. руб. Найти среднюю стипендию студента в рассматриваемом году. Решение. Запишем данные о размере стипендии студента в виде таблицы Размер стипендии в месяц, тыс. руб. (x i – значения осредняемого признака) Число месяцев, в течение которых стипендия составляла данную сумму (f i - частота, показывающая сколько разв рассматриваемом периоде (год) встречается е значение осредняемого признака) 0 2,5 3,3 4 6 2 6 Тогда, средний за год размер стипендии студента определяется по формуле средней арифметической взвешенной и составляет 1.4. Используя данные о продаже билетов по направлению Москва – Екатеринбург за февраль 2018 г Тип билета Количество проданных билетов, тыс. шт. Средняя стоимость одного билета, руб. Плацкарт Купе СВ 360 310 90 1 650 3 200 4 300 Найти среднюю стоимость билета на данном направлении в феврале 2018 г. 1.5. Найти средний размер депозита в банке, если банк принимает к размещению следующие виды депозитов Тип депозита Средний размер депозита данного видав тыс. руб. Всего в банке размещено депозитов данного видав шт. Закрытый (без возможности пополнения и снятия) С возможностью пополнения С возможностью снятия Открытый (с возможностью пополнения и снятия) 902 390 630 510 45 200 38 700 29 500 52 600 1.6. Найти среднюю ставку банка по кредитному портфелю в 2017 г, используя данные о выданных банком в 2017 г. кредитах Вид кредита Всего банком выдано кредитов данного видав млн. руб. Средняя ставка поданному виду кредитов, в % Потребительские кредиты Автокредиты 6 900 25 000 15,2 12 7 Ипотека 28 000 9,5 1.7. Были проведены испытания точности спортивной винтовки, а именно, произведены 5 выстрелов, в каждом из них пуля отклонилась от целина Номер испытания по порядку Отклонение от цели, в мм 1 2 3 4 5 0 (точно в цель) 20 –16 0 (точно в цель) –4 Найти среднюю величину отклонения от цели при стрельбе из спортивной винтовки. Решение. В данном случае суммируя все значения осредняемого признака (x i – отклонение от цели при стрельбе) получаем нулевую сумму – В этом случае, используя простую среднюю арифметическую для расчета среднего значения отклонения от цели, мы получили бы нулевой результат. Что неверно, так как поданным испытай нельзя сказать, что винтовка бьет без промаха. Потому, для расчета средней величины отклонения от цели воспользуемся формулой средней квадратической простой – Те. в результате пяти выстрелов среднее отклонение от цели составило 11,59 мм (в обе стороны, те. + / –). 1.8. Как ив предыдущем примере, были проведены испытания на точность спортивной винтовки, всего 15 испытаний. В первом, седьмом и девятом испытаниях пуля отклонилась от целина мм, в четвертом и 8 пятнадцатом попала точно в цель, и т.д. Результаты всех испытаний представлены в таблице Номер испытания Отклонение от цели, в мм Количество попыток с соответствующим исходом 1, 7, 9 2, 5, 11, 13 3, 6, 8, 10, 12, 14 4, 15 12 –15 4 0 (точно в цель) 3 4 6 2 Найти среднюю величину отклонения от цели при стрельбе из спортивной винтовки. Решение. Отклонение от цели, измеренное в мм – это значение осредняемого признака (x i ), количество попыток с соответствующим исходом – это частота (f i ). Тогда, Что при использовании средней арифметической взвешенной даст нам нулевой результат средней величины отклонения от цели. Такой результат средней величины отклонения от целине будет объективным, так как лишь в двух испытаниях из пятнадцати пуля попала точно в цель. Потому, для нахождения средней величины отклонения от цели воспользоваться формулой средней квадратической взвешенной Таким образом, среднее отклонение от цели в результате 15-ти испытаний составило 9,76 мм. (отклонение как +, таки. Предположим вы пытаетесь угадать сумму очков, выпадающих на двух игральных костях. У вас 10 попыток. Впервой из них вы ошиблись нате. ваша догадка была на 4 очка больше, чем выпало на костях, во второй вы ошиблись нате. ваша догадка была на 7 очков меньше, чем 9 выпало на костях, в третьей вы ошиблись на –6, в четвертой на +10, в пятой на +1, в шестой на –8, в седьмой на +3, в восьмой на –4, в девятой вы угадали, в десятой ошиблись на +7. Найти среднюю величину ошибку вашей догадки. 1.10. В течение недели вы добираетесь до работы на одном и том же трамвае, что по расписанию пребывает на вашу остановку в 09:05. При этом, в понедельник трамвай приходит вовремя, во вторник опаздывает на 7 минут, в среду приходит раньше на 5 минут, в четверг задерживается на 3 минуты, в пятницу вновь пребывает раньше на 5 минут, в субботу трамвай приходит вовремя. Найти среднюю величину отклонения трамвая от расписания. 1.11. Группа из пяти студентов сдает экзамен (решает задачи) который длится 3 часа. Первый студент тратит на решение одной задачи 24 мин, второй – 30, третий – 40, четвертый – 45 мини пятый – 60 мин. Найти средние затраты времени на решение одной задачи группой студентов (всеми пятью студентами) при условии, что каждый решает задачи самостоятельно. Решение. Обозначим T i – продолжительность экзамена (3 часа ∙ 60 мин = 180 мин x i – время, затрачиваемое каждым студентом на решение одной задачи (именно для этого параметра нами нужно определить среднее значение ); q i – количество задач решаемых за экзамен каждым студентом. Тогда, количество задач, решенных за экзамен каждым из студентов (q i ) определим из соотношения q 1 = 180 мин / 24 мин = 7,5 задач за экзамен, те. первый студент за 3 часа экзамена (или 180 мин) решат 7,5 задач второй q 2 = 180 / 30 = 6 задач за экзамен третий q 3 = 180 / 40 = 4,5 задачи за экзамен четвертый q 4 = 180 / 45 = 4 задачи за экзамен пятый q 5 = 180 / 60 = 3 задачи за экзамен. 10 Теперь, зная суммарное время, потраченное всеми студентами на решение задач (= 180 мин ∙ 5 = 900 мини суммарное количество решенных ими за экзамен задач (= 7,5 + 6 + 4,5 + 4 + 3 = 25), мы можем определить средние затраты времени на решение одной задачи группой студентов (при условии, что студенты решают задачи самостоятельно) по формуле простой средней арифметической те. в среднем студенты группы тратят на решение одной задачи 36 минут. Перепишем данную формулу используя только исходные данные задачи (те. только T i и x i ): Обратим внимание, что это формула расчета средней гармонической взвешенной, где T = k, а q = f. Таким образом, используя формулу средней гармонической взвешенной и только исходные данные (только T i и x i , не вычисляя дополнительно количество задач решаемых за экзамен каждым студентом (q i )) мы могли бы сразу вычислить искомую величину – сколько времени в среднем тратят все студенты группы на решение одной задачи. Кроме того, если мы сократим в данной формуле параметр T i (т.к. продолжительность экзамена у всех студентов одинакова и равна 180 мин, то получим А это в свою очередь формула средней гармонической простой. 11 1.12. Используя данные о продаже билетов по направлению Екатеринбург – Санкт-Петербург за январь 2018 г Тип билета Выручка от продажи билетов, млн руб. Средняя стоимость одного билета, руб. Плацкарт Купе СВ 399 450 66 2 375 3 600 4 400 Найти среднюю стоимость билета на данном направлении в январе 2018 г. 1.13. Найти средний размер депозита в банке, если банк принимает к размещению следующие виды депозитов Тип депозита Средний размер депозита данного видав тыс. руб. Всего в банке размещено депозитов данного видана общую сумму, в тыс. руб. Закрытый (без возможности пополнения и снятия) С возможностью пополнения С возможностью снятия Открытый (с возможностью пополнения и снятия) 905 420 740 810 6 516 000 1 671 600 2 146 000 5 950 260 1.14. Банк в течение дня трижды менял курс продажи евро. Поданным об объеме продаж евро (в рублевом эквиваленте) и о курсе продажи евро найти средний задень курс продажи евро в банке. Объем продаж евро, в руб. Курс продажи евро, руб. за 1 евро 2 035 175 839 680 1 790 845 63,5 65,6 66,5 1.15. Найти среднюю производительность труда на одного рабочего потрем цехам предприятия вместе, если по каждому из цехов известна стоимость выпущенной продукции и средняя производительность труда из расчета на одного рабочего 12 Цех Стоимость выпущенной продукции, тыс. руб. Средняя производительность труда одного рабочего, тыс. руб. 1 2 3 2 760 2 016 6 939 24 19,2 27 1.16. Даны объемы производства предприятия Аза лет (см. табл. 1.2). Найти средний темп роста объемов производства предприятия за рассматриваемый период. Таблица 1.2 Период (год) Объем производства в тыс. тонн 2001 2002 2003 2004 2005 45,000 58,500 70,200 77,220 88,803 Решение. Обозначим темп роста объема производства i n (это наш осредняемый признак, наше x i ). n – рассматриваемый период, i n определяется как отношение текущего объема выпуска к уровню выпуска предыдущего года. Тогда, темп роста объема производства предприятия Аза первый период (с 2001 по 2002 год) составит i 1 = 58,5 / 45 = 1,3; за второй – i 2 = 70,2 / 58,5 = 1,2; за третий – i 3 = 77,27 / 70,2 = 1,1; за последний четвертый период – i 4 = 80,803 / 77,22 = 1,15. Если обозначить объем производства в начальный период времени (2001) – q 0 , а объем производства в конечный период (2005) – q n , то q n = q 0 ∙ i 1 ∙ i 2 ∙ i 3 ∙ Для нахождения среднего значения темпа роста за рассматриваемый период (обозначим его ) заменим в вышеприведенной формуле индивидуальные значения показателей темпов роса (i 1 , i 2 , i 3 , i 4 ) средним ( ), 13 это даст соотношение . Те. предположим, что если объем производства ежегодно прирастает (изменяется) с одинаковым темпом роста , то через 4 периода предприятие с объема производства выйдет на уровень производства q n Тогда, (искомое ) определяется соотношением Обратим внимание, что это формула расчета средней геометрической простой, где Для данных задачи Те. средний темп роста производства на предприятии Аза рассматриваемый период составил приблизительно 1,185. Проверка. 1.17. На основании данных по двум операторам мобильной связи необходимо определить, у кого из них и насколько выше средний, за рассматриваемый период, темп роста стоимости минуты разговора (звонки на номера любого оператора, не пакетные тарифы. Период (год) Стоимость минуты разговора, руб. Оператор мобильной связи А Оператор мобильной связи Б 2011 2012 2013 2014 1,00 1,20 1,08 1,62 0,64 0,72 0,81 1,62 14 Решение. Вычислим ежегодные темпы роста стоимости минуты разговора двух операторов. Как ив предыдущей задаче обозначим темп роста – i n (это наш осредняемый признак, наше x i ). n – рассматриваемый период i n определяется как отношение текущей стоимости минуты разговора к стоимости минуты разговора в предыдущем году. Результаты вычислений запишем в виде таблицы Период (год) Ежегодный темп роста стоимости минуты разговора ( i n ) Оператор мобильной связи А Оператор мобильной связи Б 2011 2012 2013 2014 – i 1 = 1,20 / 1,00 = 1,2 i 2 = 1,08 / 1,20 = 0,9 i 3 = 1,62 / 1,08 = 1,5 – i 1 = 0,72 / 0,64 = 1,125 i 2 = 0,81 / 0,72 = 1,125 i 3 = 1,62 / 0,81 = 2 Средний за период 2011–2014 темп роста стоимости минуты разговора оператора А вычислим по формуле средней геометрической простойте. в среднем затри года стоимость минуты разговора ежегодно увеличивалась в 1,174 раза. Для расчета среднего темпа роста оператора Б воспользуемся формулой средней геометрической взвешенной, т.к. среди ежегодных темпов роста присутствуют повторяющиеся значения (1,125): те. в среднем затри года стоимость минуты разговора ежегодно увеличивалась в 1,363 раза, что на 0,189 выше чему оператора А. В результате стоимость минуты разговора двух операторов сравнялась, в то время как вначале рассматриваемого периода данный показатель оператора Б был в 1,5625 раза (1 / 0,64 = 1,5625) меньше, чему конкурента. 15 1.18. Поданным о ВВП страны Аза период с 2005 по 2010 год найти средний темп роста ВВП за рассматриваемый период. Период (год) ВВП, млн. ден. ед. 2005 2006 2007 2008 2009 2010 12 500 14 500 11 600 10 440 9 918 14 877 При анализе рядов динамики единицей совокупности выступает момент времени (дата) или интервал времени (период, что влияет на формулы расчета среднего значения – появляются формулы средних хронологических величин. В моментных рядах динамики уровни ряда характеризуют значение показателя по состоянию на определенные моменты времени (на даты. Например, численность населения города А на 01 января 2000 г. составила 1,49 млн. чел. В интервальных рядах динамики уровни ряда характеризуют значение показателя, накопленного за определенный интервал времени (период. Например, за 2014 г. заводом было выпущено 2 тыс. автомобилей. Или за 3 квартал 2015 г. объем потребления мяса птицы в стране Б составил 3,56 тыс. тонн. Для интервального ряда в любой точке внутри изучаемого интервала значение признака принимается постоянным. Средний уровень ряда для интервальных рядов с равными временными интервалами вычисляется по формуле 3 Рядами динамики (или хронологическими, динамическими, временными рядами) называют числовой ряд значений некоторого статистического показателя зафиксированного в последовательные моменты или периоды времени. 16 , где n – количество уровней ряда (количество равных временных отрезков, Y i – значение уровня ряда в интервале i (i = 1,2, …n). Средний уровень ряда для интервальных рядов с неравными временными интервалами вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной где t i – длина временного интервала. 1.19. По нижеприведенным данным найти среднюю урожайность чечевицы за рассматриваемый период Динамика урожайности чечевицы по годам Год 2014 2015 2016 2017 2018 Урожайность, в ц/га 98 76 106 116 129 Решение. В данном случае у нас интервальный ряд с равными временными интервалами – годами (i). Показатель урожайности это Y i , те. значение уровня ряда в соответствующем интервале (году i). В любой точке внутри изучаемого года значение признака принимается постоянным. Соответственно, средняя урожайность чечевицы за 5 рассматриваемых лет составила ц га 1.20. По нижеприведенным данным найти средний размер ключевой ставки Банка России за 2018 г Данные о динамике ключевой ставки Банка России за 2018 г. период 01.01–11.02 12.02–25.03 26.03–16.09 17.09–31.12 размер ключевой ставки, в % 7,75 7,50 7,25 7,50 17 Решение. В данном случае у нас интервальный ряд с неравными временными интервалами определяемыми количеством дней (t i ). Значение ключевой ставки это Y i , те. значение уровня ряда в соответствующем интервале (например, с 01 января по 11 февраля. В любой точке внутри изучаемого интервала (t i ) значение ключевой ставки принимается постоянным. Соответственно, средняя величина ключевой ставки Банка России в 2018 году составила Несколько иначе рассчитывается средний уровень ряда для моментных временных рядов. Например, если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (Y 1 , Y 2 , …, Y n ) с равными (n – 1) интервалами между уровнями моментами времени, то формула для расчета среднего уровня ряда принимает вид Эта средняя носит название средняя хронологическая 5 Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (Y 1 , Y 2 , …, Y n ) с неравными (n – 1) интервалами между уровнями (моментами времени, то 4 Примером моментного ряда может выступать, например, численность сотрудников предприятия на начало каждого месяца. Моментом для данного ряда является первое число каждого месяца, те. момент времени на который и определяется численность сотрудников предприятия. 5 В данной формуле предполагается, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходит по линейному закону, те. значение показателя между двумя моментами времени либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. 18 для расчета среднего уровня ряда предварительно вычисляют значения уровней ряда в серединах интервалов а затем вычисляется общий средний уровень ряда (как средняя арифметическая взвешенная где t i – время, в течение которого среднее значение интервала принимается постоянным. 1.21. Найти среднесписочную численность сотрудников предприятия за пять месяцев, если известна численность сотрудников на первое число каждого месяца с марта по август Показатель март апрель май июнь июль август Численность сотрудников на 01 число месяца, чел. 769 1 729 676 512 429 299 Решение. I способ. В данном случае у нас моментный временной ряд, где моментом замера показателя является первое число каждого месяца. Мы примем промежутки между датами (моментами) равными друг другу (не будем делать различия между продолжительностью месяца в 30 и 31 день. В данном временном ряду показательна начало каждого периода одновременно является показателем наконец предыдущего периода. Например, на 01 марта численность сотрудников составила 769 чела наконец марта – 1 729 чел. Очевидно, что значение среднего показателя внутри каждого интервала зависит оттого, как шло развитие в рамках интервалов, происходило это постепенно или скачкообразно. Мы этого не знаем. Принято предполагать, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходило по линейному закону. А значит, среднее 19 значение показателя внутри каждого интервала может быть вычислено как полусумма значений на начало и конец данного интервала. Например, в марте численность сотрудников в среднем была равна (769 + 1 729) / 2 = 1 249 чел. Количество таких средних будет равно количеству интервалов между моментами замера показателя. В нашем случае 6 уровней ряда, интервалов между уровнями будет 6 – 1 = 5. Как результат, среднее значение показателя за все пять периодов можно вычислить как среднее арифметическое средних в каждом интервале. Для нашего примера среднесписочная численность сотрудников предприятия за пять месяцев равна II способ – воспользоваться для расчетов формулой средней хронологической где n = 6 (количество моментов ряда – 01 число каждого месяца. В нашем случае чел те. среднесписочная численность сотрудников за пять месяцев (сначала марта по начало августа) составила 776 человек. Примечание. Заметим, что наш первый и второй способы эквивалентны 20 По нижеприведенным данным вычислите среднюю стоимость основных фондов (ОФ) предприятия за первый квартал Показатель декабрь январь февраль март Стоимость ОФ (здания, оборудование и пр) наконец месяца, млн. руб. 92 102 149 180 |