Доклад. ЭОР_Кеткина (без тестовых). Виды средних величин. 3
 Скачать 2.29 Mb.
|
|
§ 1. Индексы. Индекс – это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени тогда говорят об индексах динамики, в пространстве (территориальные индексы) и т.п. 15 Рассмотрим три основных типа индексов индивидуальные индексы общие (сводные) индексы индексы средних величин. Наиболее часто понятие индекс используется для обозначения относительного изменения какого-либо показателя во времени. При этом индексы вычисляются путем деления значения показателя в текущий отчетный) период времени назначение этого же показателя в базисный 15 См Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др. Статистика : учебное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2002. С. 138. 58 период времени (база сравнения. Для удобства используют подстрочные обозначения «0» для базисного периода и «1» для текущего периода. Показатель, изменение которого характеризует индекс, называют индексируемой величиной. Индивидуальные индексы принято обозначать символом i, они применяются при сравнении уровней отдельных элементов. Например, индивидуальный индекс цены товара марки A (см. табл. 3.1) составит где p 1 – цена товара марки A в текущем периоде (2019 г p 0 – цена товара марки A в базисном периоде (2010 г. Таблица 3.1 Наименование товара Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. 2010 2019 2010 2019 марка A марка B 1,2 2,4 2,1 2 8 16 30 18 Индивидуальные индексы показывают соотношение между отчетными базисным показателями, обычно выраженное в процентах, или характеризуют во сколько раз уменьшился или увеличился показатель за рассматриваемый период. Так, индивидуальный индекс цены товара марки A i p = 1,75 свидетельствует о росте цены товара марки Аза лет на 75 % (1,75 ∙ 100 % – 100 % = 75 %) или в 1,75 раза. Общие (сводные) индексы, обозначаемые символом используются при сравнении сложных неоднородных совокупностей, отдельные элементы которых можно сопоставить только после приведения их к общей мере. Например, рассмотрим предприятие, выпускавшее в 1999 г. резиновые лодки и палатки. Кг. ассортимент выпускаемой продукции полностью 59 изменился, виды продукции, выпускаемые предприятием – сапоги, калоши и тенты (см. табл. 3.2). Таблица 3.2 Наименование товара Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. 1999 2009 1999 2009 резиновые лодки палатки сапоги калоши тенты 1,8 1,2 0,321 0,14 1,6 10 26 20 12 18 Вычисление индивидуальных индексов цены или количества выпускаемой продукции не представляется возможным, так как для каждого вида продукции есть только один показатель, базисного (1999 г) или отчетного (2009 г) периодов. Сравнить объемы выпускаемой продукции отчетного и базисного периодов в физических единицах невозможно, они несопоставимы. Проанализировать можно показатели выручки (Q) отчетного и базисного периодов, те. приведенные к общей мере (стоимости в руб) агрегатные показатели. Обозначим объем товаров через q, цены – через p, тогда выручка в базисном периоде равна , а в отчетном – . Отношение агрегатов, выручки отчетного периода к выручке базисного, дает общий (сводный) индекс выручки Таким образом, объем выручки предприятия сократился на 25% (0,75 ∙ 100 % – 100 % = –25 %) в отчетном 2009 г. по сравнению с базисным 1999 г. В абсолютном выражении сокращение выручки составило 0 0= – Индексы средних величин применяются при изучении изменения во времени (или пространстве) среднего показателя. Например, изменение во 60 времени средней по стране цены квадратного метра жилья в новостройках, или сравнение средней заработной платной в разных регионах, и т.п. При этом среднее значение анализируемого показателя определяется по формуле средней арифметической взвешенной где x i – значение индексируемой величины у отдельных элементов например, цена квадратного метра жилья в новостройках города i); f i – веса, по которым взвешиваются отдельные значениях. Сравнение средних значений анализируемого показателя в отчетном и базисном периодах ведет к формуле индекса переменного состава он характеризует динамику изменения среднего показателя за счет изменения двух факторов (x и f) вместе, теза счет изменения значений индексируемой величины у отдельных элементов) и за счет изменения весов (f i ), по которым взвешиваются отдельные значения x. Если в индексе переменного состава зафиксировать веса на уровне отчетного периода (f 1 ), то мы получим индекс фиксированного состава он характеризует динамику изменения среднего показателя только за счет изменения значений индексируемой величины у отдельных элементов. Если в индексе переменного состава зафиксировать значения индексируемой величины у отдельных элементов на уровне базисного периода (x 0 ), то мы получим индекс структурных сдвигов 61 он характеризует динамику изменения среднего показателя только за счет изменения весов (f i ), по которым взвешиваются отдельные значения x. Индексы переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов связаны соотношением Рассмотрим индексы средних величин на примере конкретного показателя – средней цены определенного вида продукции. Обозначим стоимость единицы продукции через p, объем продаж продукции отдельных предприятий (веса) через q. И рассмотрим среднюю цену некоторого товара например, общая тетрадь, 48 листов) выпускаемого тремя предприятиями холдинга Предприятие Цена за ед, в руб. Продано, тыс. шт. 2001 p 0 2005 p 1 2001 q 0 2005 А Б В 10,5 21,5 24,3 12,6 24,2 22,7 45 15 12,5 47,2 17,4 7,8 Необходимо определить изменение цены единицы продукции и физического объема продаж на каждом предприятии, а также оценить изменение средней цены единицы продукции потрем предприятиям холдинга вместе. При этом требуется оценить изменение средней цены за счет изменения ценна отдельных предприятиях, за счет изменения долей продаж отдельными предприятиями, а также за счет совместного влияния этих двух эффектов. Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать индивидуальные индексы цены и объема продаж по каждому предприятию, а также индексы цены переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов. 62 Индивидуальный индекс цены на каждом предприятии определим по формуле по предприятию А (рост цены на 20 %); по предприятию Б (рост цены на 12,6 %); по предприятию В (снижение цены на 6,6 %). Индивидуальный индекс физического объема продаж на каждом предприятии вычислим по формуле по предприятию А (рост физического объема продаж на 4,9 %); по предприятию Б (рост физического объема продаж на 16 %); по предприятию В (снижение физического объема продаж на 37,6 %). Для определения индекса цены переменного состава ( рассчитаем среднюю цену единицы продукции потрем предприятиям вместе в базисном ( и отчетном ( периодах как среднюю арифметическую взвешенную. Так, средняя потрем предприятиям цена в базисном периоде а средняя цена в отчетном периоде Откуда получаем индекс цены переменного состава таким образом, средняя потрем предприятиям цена возросла на 8,7 % за рассматриваемый период, с 2001 по 2005 г. 63 Изменение средней цены могло произойти за счет двух факторов 1) изменение ценна отдельных предприятиях, 2) изменение долей продаж отдельных предприятий в общем объеме продаж. Чтобы исключить влияние на среднюю цену изменения долей продаж отдельных предприятий в общем объеме продаж, рассчитаем индекс фиксированного состава (зафиксировав объем продаж на уровне отчетного периода q 1 ): то, средняя потрем предприятиям цена единицы продукции выросла на 12,6 % только за счет роста ценна отдельных предприятиях, в нашем случае за счет роста цен единицы продукции на предприятиях Аи Б. Для оценки влияния на среднюю цену изменения долей продаж отдельных предприятий в общем объеме продаж, рассчитаем индекс структурных сдвигов (зафиксировав цены на предприятиях на уровне базисного периода p 0 ): таким образом, средняя потрем предприятиям цена единицы продукции снизилась на 3,5 % только за счет структурного сдвига. А именно, за счет увеличения доли продаж (с 0,62 = 45 / 72,5 до 0,65 = 47,2 / 72,4) продукции предприятия Ас более низкой ценой и за счет уменьшения доли продаж (с 0,17 = 12,5 / 72,5 до 0,11 = 7,8 / 72,4) продукции предприятия В с более высокой ценой. Проверим вычисление индексов средней цены 64 3.1. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2018 г Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. I квартал II квартал I квартал II квартал А Б 1,2 2,4 2,1 2 8 16 30 18 Необходимо определить 1) индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 2) индекс цены переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов. 3.2. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2016 г Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. I квартал II квартал I квартал II квартал А Б 2,4 1,2 2,88 3,6 8 16 24 16 1) определите индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 2) введя обозначения p – для цены товара и q – для объема продаж, запишите формулу для расчета индекса цен структурных сдвигов. Вычислите индекс и поясните результаты. 3.3. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2019 г Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. I квартал II квартал I квартал II квартал А Б 3 2,4 2,7 3 15 10 12 15 1) определите индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 65 2) введя обозначения p – для цены товара и q – для объема продаж, запишите формулу для расчета индекса цен фиксированного (постоянного) состава. Вычислите индекс и поясните результаты. 3.4. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2017 г Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. II квартал III квартал II квартал III квартал А Б 1,2 2,4 2,4 1,6 8 16 30 18 1) определите индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 2) введя обозначения p – для цены товара и q – для объема продаж, запишите формулу для расчета индекса цен переменного состава. Вычислите индекс и поясните результаты. 3.5. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2015 г Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. I квартал IV квартал I квартал IV квартал А Б 1,5 2,5 2,5 3,2 25 25 15 10 1) определите индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 2) введя обозначения p – для цены товара и q – для объема продаж, запишите формулу для расчета индекса цен структурных сдвигов. Вычислите индекс и поясните результаты. 3.6. Имеется информация о цене и объемах продаж одного вида продукции на двух предприятиях холдинга за два квартала 2019 г 66 Предприятие Цена за ед, в тыс. руб. Продано, тыс. шт. I квартал III квартал I квартал III квартал А Б 1,8 3,6 2,6 3 9 18 18 27 Необходимо определить 1) индивидуальные индексы цены и физического объема продаж на каждом предприятии 2) индекс цены переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов. § 2. Коэффициенты дифференциации. Существует множество коэффициентов дифференциации, мы рассмотрим те из них, что строятся с применением структурных характеристик вариационного ряда. Структурные характеристики вариационного ряда, квартили, квантили, децили, и перцентили применяют при изучении дифференциации. Так, при изучении дифференциации доходов населения вычисляют децильный коэффициент дифференциации (Кд). Кд равен отношению девятого дециля к первому децилю и показывает во сколько раз минимальные доходы 10 % наиболее обеспеченного населения превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченного населения страны (области, края, и др. Рассмотрим вычисление децильного коэффициента дифференциации на примере. 3.7. Для данных таблицы вычислите показатель, характеризующий, во сколько раз минимальные доходы 10 % наиболее состоятельных граждан превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченных граждан некоторой страны А. Среднедушевой совокупный доход, Количество граждан в соответствующей группе дохода, в Накопленные частоты, 67 $ в мес. млн чел. млн чел. до 7 000 7 000 - 21 000 21 000 - 41 000 41 000 - 101 000 свыше 101 000 20 30 26 16 8 20 50 76 92 100 Решение. В задаче требуется найти децильный коэффициент дифференциации. Все граждане страны у нас упорядочены по доходу (по возрастанию) – от до 7 000» до свыше 101 000» $ в месяц, все граждане в совокупности 100 млн чел. составляют 100 %. Возьмем первую 1 / 10 часть наименее обеспеченного населения страны (от 0 % до 10 % населения, в ней гражданин соответствующий 10 % самый крайний по величине дохода в этой группе) будет иметь максимальный доход из всех граждан данной группы. Для нахождения уровня его дохода необходимо вычислить 10-% дециль. Формулы для определения децилей в интервальном ряду схожи с формулой для нахождения медианы и имеют вид Первый дециль (или 10-% дециль) показывает уровень самого высокого дохода участи) самого малообеспеченного населения страны) Девятый дециль (или 90-% дециль) показывает уровень самого низкого дохода у 90–100 % самого зажиточного населения страны. В формулах – нижняя граница интервала, в котором находится й / й дециль; – ширина го / го децильного интервала 68 Σf i – число единиц изучаемой совокупности – накопленная чистота в интервале, предшествующем 1- му / 9-му децильному интервалу – частота в мм децильном интервале. Для нахождения интервала, содержащего первый дециль, используют накопленные частоты. Номер единицы совокупности (гражданин страны А, соответствующий первому децилю, те. 10 %, попадает в первый интервал, т.к. 20 % всего населения страны А получают доход до 7 000 $ в мес. Ширина открытого интервала до 7 000 $ в мес определяется по ближайшему к нему интервалу 7 000 – 21 000 $ в мес. То. ширина открытого интервала должна была бы быть равна 14 000 $ в меси интервал имел бы вид –7 000–7 000 $ в мес но т.к. доход не может быть отрицательным, отрытый интервал примет вид 0–7 000 $ в меси ширина интервала будет равна 7 000 $ в мес. ( , ). Частота в м децильном интервале А накопленная чистота в интервале, предшествующем 1- му децильному интервалу, , т. к. это первый интервал в ряду и ему ничто не предшествует. Таким образом, первый дециль равен те. максимальный доход 10 % наименее обеспеченных граждан страны А составляет 3 500 $ в месяц. Для нахождения минимального дохода 10 % наиболее состоятельных граждан страны вычислим й дециль (те. самый высокий доход 90 % от всех граждан страны и будет соответствовать самому низкому доходу оставшихся 10 % населения страны Ай) децильный интервал в нашем примере – интервал с доходом 41 000–101 000 $ в мес. (по накопленным частотам часть населения соответствующая 76–92 % получает доход от 41 000 до 101 000 $ в меси соответственно гражданин страны соответствующий 90 % всего населения 69 также попадает в данный интервал. Ширина данного интервала =101 000 – 41 000 = 60 000 $ в мес, нижняя граница = 41 000 $ в мес, частота в 9- ом децильном интервале = 16, накопленная чистота в интервале, предшествующем 9-му децильному интервалу, = 76. Таким образом, девятый дециль равен те. минимальный доход 10 % наиболее обеспеченных граждан страны А составляет 93 500 $ в месяц. И мы получаем децильный коэффициент дифференциации Кд = Д / Д = 93 500 / 3 500 = 26,714 то, минимальные доходы 10 % наиболее состоятельных граждан страны А превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченных граждан страны в 26,714 раза. При изучении городского населения бывает полезным рассчитать квантильный коэффициент показывающий во сколько раз минимальная численность населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны превышает максимальную численность населения 20 % наименее населенных городов данной страны. Рассмотрим расчет данного показателя на примере. 3.8. Для данных таблицы вычислите во сколько раз минимальная численность населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны Б превышает максимальную численность населения 20 % самых малых городов данной страны. численность населения, чел. количество населенных пунктов с заданной численностью населения (штук) накопленные частоты, шт. 70 до 50 000 50 000 - 100 000 100 000 - 250 000 250 000 - 500 000 500 000 – 1 000 000 свыше 1 000 000 9 20 29 21 10 11 9 29 58 79 90 100 – 100 – Решение. В задаче требуется найти квантильный коэффициент дифференциации. Все населенные пункты страны упорядочены по численности населения (по возрастанию) – от до 5 0000» до свыше 1 000 000», все населенные пункты в совокупности 100 штук составляют 100 %. Для вычисления квантильного коэффициента необходимо вычислить первый (й) и четвертый (й) квантили. Формулы для определения квантилей в интервальном ряду схожи с формулой для нахождения медианы и имеют вид Первый квантиль (или 20-% квантиль) показывает максимальную численность населения в 1 / 20 части (0–20 %) самых малочисленных городов страны) Четвертый квантиль (или 80-% квантиль) показывает минимальную численность населения в (80–100 %) самых крупнонаселенных городах страны. В формулах – нижняя граница интервала, в котором находится й / й квантиль – ширина го / го квантильного интервала 71 Σf i – число единиц изучаемой совокупности – накопленная чистота в интервале, предшествующем 1- му / 4-му квантильному интервалу – частота в мм квантильном интервале. Для нахождения интервала, содержащего первый квантиль, используют накопленные частоты. Номер единицы совокупности (населенный пункт страны Б, соответствующий первому квантилю, те. 20 %, попадает во второй интервал (по накопленным частотам 9–29 % всех населенных пунктов страны Б имеют численность населения 50 000–100 000 чел, и соответственно населенный пункт соответствующий 20 % всех городов страны Б также попадает в данный интервал. Ширина данного интервала =100 000 – 50 000 = 50 000 чел, нижняя граница = 50 000 чел, частота в ом квантильном интервале = 20, накопленная чистота в интервале, предшествующем 1-му квантильному интервалу, = 9. Таким образом, первый квантиль равен те. максимальная численность населения 20 % наименее населенных городов страны Б составляет 77 500 чел. Для нахождения минимальной численности населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны Б вычислим й квантиль (то. максимальная численность 80 % всех городов страны и будет соответствовать минимальной численности оставшихся 20 % городов страны Б. й (80-%) квантильный интервал в нашем примере – интервал с численностью населения 500 000–1 000 000 чел. (по накопленным частотам 79–89 % всех населенных пунктов страны Б имеют численность населения 500 000–1 000 000 чел, и соответственно населенный пункт 72 соответствующий 80 % всех городов страны Б также попадает в данный интервал. Ширина данного интервала =1 000 000 – 500 000 = 500 000 чел, нижняя граница = 500 000 чел, частота в ом квантильном интервале = 10, накопленная чистота в интервале, предшествующем 4-му квантильному интервалу, = 79. Таким образом, четвертый квантиль равен те. минимальная численность населения 20 % самых крупнонаселенных городов страны Б составляет 550 000 чел. И мы получаем квантильный коэффициент K K = K 4 / K 1 = 550 000 / 77 500 = 7,097 то, минимальная численность населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны Б превышает максимальную численность населения 20 % самых малрнаселенных городов данной страны в 7,097 раза. Для данных таблицы вычислите децильный коэффициент дифференциации доходов населения, характеризующий, во сколько раз минимальные доходы 10 % наиболее состоятельных граждан превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченных граждан страны. среднедушевой совокупный доход, $ в мес. количество граждан в соответствующей группе дохода, млн чел. до 5 000 5 000 - 25 000 25 000 - 45 000 45 000 - 100 000 свыше 100 000 10 26 31 17 16 73 3.10. Для данных таблицы вычислите во сколько раз минимальные доходы 10 % наиболее состоятельных граждан превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченных граждан страны. среднедушевой совокупный доход, $ в мес. количество граждан в соответствующей группе дохода (в млн чел) до 5 000 5 000 – 21 000 21 000 – 41 000 41 000 – 101 000 свыше 101 000 7 30 37 20 6 3.11. Для данных таблицы вычислите во сколько раз минимальная численность населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны B превышает максимальную численность населения 20 % самых малых городов данной страны. численность населения, чел. количество населенных пунктов с заданной численностью населения (штук) до 50 000 50 000 – 150 000 150 000 – 250 000 250 000 – 450 000 450 000 – 750 000 свыше 750 000 8 10 14 18 25 25 3.12. Для данных таблицы вычислите квантильный коэффициент характеризующий во сколько раз минимальная численность населения 20 % наиболее крупнонаселенных городов страны Г превышает максимальную численность населения 20 % самых малых городов данной страны. численность населения, чел. количество населенных пунктов с заданной численностью населения (штук) до 100 000 100 000 – 200 000 200 000 – 300 000 25 22 19 74 300 000 – 500 000 500 000 – 800 000 свыше 800 000 16 12 6 75 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Громыко, ГЛ Теория статистики : Учебник / под ред. проф. ГЛ. Громыко.– М. : ИНФРА-М, 2005. – 476 с. Харченко, Л.П. Статистика : учебное пособие / Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Ионин и др. ; под ред. В.Г. Ионина. – М. : ИНФРА-М, 2002. – 384 с. 76 ОТВЕТЫ Глава 1. 1.2. Средний балл по статистике 72 балла. 1.4. Средняя стоимость билета Мск-Екб = 2 596,053 руб. ≈ 2 596,05 руб. 1.5. Средний размер депозита в банке = 610 086,75 руб. 1.6. Средняя ставка по кредитному портфелю 2017 г = 11,2 %. 1.9. Средняя величина ошибки вашей догадки = . 1.10. Среднее время отклонения трамвая от расписания составит 1.12. Средняя стоимость билета Екатеринбург – Санкт-Петербург 2 970,779 руб. ≈ 2 970,78 руб. 1.13. Средний размер депозита 760 004,67 руб. 1.14. Средний задень курс продажи Евро в банке = 65 руб. за 1 евро. 1.15. Примечание средняя производительность труда одного рабочего цеха в тыс. руб. это стоимость продукции, в среднем произведенная каждым сотрудником цеха. Средняя производительность труда одного рабочего по всему предприятию (потрем цехам предприятия вместе) ≈ 25,49 тыс. руб. 1.18. Средний темп роста ВВП составит 1.22. Средняя стоимость основных фондов (ОФ) предприятия за первый квартал равна 129 млн руб. 1.25. Мо = 2, Ме = 3. 1.27. As = –0,793; Ex = –0,236; плосковершинное распределение, скошено влево. 1.30. Mo = 2, As > 0 (правосторонняя асимметрия. О знаке показателя асимметрии несложно догадаться по коэффициенту асимметрии Пирсона (ПА затем вспомнить, что знак коэффициента асимметрии и коэффициента асимметрии Пирсона совпадает. 1.31. Mo = 3, As < 0 (левосторонняя асимметрия. 77 1.32. Mo = 3, As < 0 (левосторонняя асимметрия. Глава 2. 2.3. 1) x i f i 5 3 12 2 18 5 2) 5,647; 0,438. 2.4. 1) x i f i 10 3 12 2 8 3 2) 1,561; 0,160. 2.5. 2) 2,646; 0,265. 2.6. 2) 1,936; 0,215. 2.7. 2) 1,249; 0,160. 2.21. Показатель млрд руб. коэффициент роста темп прироста (%) среднегодовой коэфф. роста 2009 2018 абсолютн. прирост Объем производства 1800 2160 360 1,200 20,000 1,020 Экспорт 460 555 95 1,207 20,652 1,021 Внутреннее потребление 1200 1500 300 1,250 25,000 1,025 Запасы 140 105 -35 0,750 -25,000 0,969 Глава 3. 3.1. 1) 1,75; 0,83(3); 3,75; 1,125; 2) 1,03125; 1,25; 0,825. 3.2. 1) 1,2; 3; 3; 1; 2) 1,2. 3.3. 1) 0,9; 1,25; 0,8; 1,5; 2) 1,075. 3.4. 1) 2; 0,66(6); 3,75; 1,125; 2) 1,05. 3.5. 1) 1,66(6); 1,28; 0,6; 0,4; 2) 0,95. 3.6. 1) 1,44(4); 0,83(3); 2; 1,5; 2) 0,946(6); 0,986(1); 0,96. 78 3.9. Кд = 24,125 раза. 3.10. Кд ≈ 13,485 раза. 3.11. K K = 3 раза. 3.12. K K =5,9375 раза. Электронный текстовый ресурс Кеткина Ольга Сергеевна СТАТИСТИКА СБОРНИК ЗАДАНИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЙ И ПОЯСНЕНИЯМИ Подготовка к публикации ОС. Кеткиной Компьютерная верстка ОС. Кеткиной Рекомендовано Учебно-методическим советом УрФУ Разрешено к публикации 21.06.2019 Электронный формат – pdf Объем 2,49 уч.-изд. л. 620002, Екатеринбург, ул. Гоголя, 25 Портал информационно-образовательных ресурсов УрФУ http://study.urfu.ru |