Основи_сф_геомтриг_2_частина. За правилом Непера 3
 Скачать 363.75 Kb.
|
|
ДОДАТОК Основні необхідні формули геометрії та тригонометрії на площині Довільний трикутник ( a , b , c − сторони; α , β , γ − протилежні їм кути, R − радіус описаного кола; S − площа). 1 2 S bc sin α = ; (1) 2 2 2 2 a b c bc cos α = + − (теорема косинусів); (2) 2 a b c R sin sin sin α β γ = = = (теорема синусів). (3) Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу ( Z − множина всіх цілих чисел) 2 2 1 sin x cos x + = ; (4) sin x tgx cos x = , ( ) 2 1 2 x n π ≠ + , n Z ∈ ; (5) cos x ctgx sin x = , x n π ≠ , n Z ∈ ; (6) 1 tgx ctgx ⋅ = ; 2 n x π ≠ ; n Z ∈ ; (7) 2 2 1 1 tg x cos x + = , ( ) 2 1 2 x n π ≠ + , n Z ∈ ; (8) 2 2 1 1 сtg x sin x + = ; x n π ≠ , n Z ∈ (9) Формули додавання ( ) sin x y sin x cos y cos x sin y + = + ; (10) ( ) sin x y sin x cos y cos x sin y − = − ; (11) ( ) cos x y cos x cos y sinx sin y + = − ; (12) ( ) cos x y cos x cos y sinx sin y − = + ; (13) 90 ( ) 1 tgx tgy tg x y tgxtgy + + = − , x , y , 2 x y n π π + ≠ + , n Z ∈ ; (14) ( ) 1 tgx tgy tg x y tgxtgy − − = − , x , y , 2 x y n π π − ≠ + , n Z ∈ (15) Формули подвійного аргументу 2 2 sin x sin x cos x = ; (16) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 cos x cos x sin x cos x sin x = − = − = − ; (17) 2 2 2 1 tgx tg x tg x = − , 4 2 x k π π ≠ + , k Z ∈ ; 2 x n π π ≠ + , n Z ∈ . (18) Формули половинного аргументу (для функцій sin і cos − формули зниження степеня) 2 1 2 2 x cos x sin − = ; (19) 2 1 2 2 x cos x cos + = ; (20) 1 2 1 x sin x cos x tg cos x sin x − = = + , 2 x n π π ≠ + , n Z ∈ (21) Формули перетворення суми в добуток 2 2 2 x y x y sin x sin y sin cos + − + = ; (22) 2 2 2 x y x y sin x sin y cos sin + − − = ; (23) 2 2 2 x y x y cos x cos y cos cos + − + = ; (24) 2 2 2 x y x y cos x cos y sin sin + − − = − (25) ( ) sin x y tgx tgy cos x cos y + + = , x , 2 y n π π ≠ + , n Z ∈ ; (26) ( ) sin x y tgx tgy cos x cos y − − = , x , 2 y n π π ≠ + , n Z ∈ (27) 91 Формули перетворення добутку в суму ( ) ( ) ( ) 1 2 sin x sin y cos x y cos x y = − − + ; (28) ( ) ( ) ( ) 1 2 cos x cos y cos x y cos x y = + + − ; (29) ( ) ( ) ( ) 1 2 sin x cos y sin x y sin x y = − + + (30) Співвідношення між sin x , cos x і 2 x tg 2 2 2 1 2 x tg sin x x tg = + , ( ) 2 1 x n π ≠ + , n Z ∈ ; (31) 2 2 1 2 1 2 x tg cos x x tg − = + , ( ) 2 1 x n π ≠ + , n Z ∈ (32) Формули зведення Назва функції не змінюється Назва функції змінюється на схожу Функ- ція u α − π α − π α + 2 π α − 2 π α + 3 2 π α − 3 2 π α + sin sin α − sin α sin α − cos α cos α cos α − cos α − cos cos α cos α − cos α − sin α sin α − sin α − sin α tg α − tg α − tg α ctg α ctg α − ctg α ctg α − tg 2 / ) 1 2 ( + ≠ n π α , n Z ∈ n α π ≠ , n Z ∈ ctg α − ctg α − ctg α tg α tg α − tg α tg α − ctg n α π ≠ , n Z ∈ 2 / ) 1 2 ( + ≠ n π α , n Z ∈ 92 З М І С Т Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Основи сферичної геометрії. Загальні відомості про сферичні трикутники . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Точки та дуги на поверхні сфери. Сферичний двокутник. Сферичний трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Сферична відстань. Географічна сферична система координат . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Полярні сферичні трикутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Рівність сферичних трикутників. Спряжені трикутники . . . . . 14 1.5. Площа сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Поняття про сферичний многокутник . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Основи сферичної тригонометрії. Основні формули . . . . . . . . 17 2.1. Формули косинусів сторін сферичного трикутника . . . . . . . 17 2.2. Формули косинусів кутів сферичного трикутника . . . . . . . . 20 2.3. Сферична теорема синусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Формули п’яти елементів сферичного трикутника . . . . . . . . 22 2.5. Формули чотирьох елементів сферичного трикутника . . . . . 23 3. Розв’язання прямокутних та прямосторонніх сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1. Формули для розв’язання прямокутних трикутників . . . . . . 24 3.2. Зв’язок між величинами сторін і кутів прямокутного сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Основні випадки розв’язання прямокутних і прямосторонніх сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Розв’язання косокутних сферичних трикутників . . . . . . . . . . 29 4.1. Формули синусів, косинусів та тангенсів половини кутів сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2. Формули синусів, косинусів та тангенсів половини сторін сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3. Формули Даламбера – Гаусса й аналогії Непера . . . . . . . . . 34 4.4. Формули для обчислення сферичного надлишку . . . . . . . . . 36 4.5. Основні випадки розв’язання косокутних сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Розв’язання малих сферичних трикутників за теоремою Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Приклади розв’язання типових задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Контрольні запитання та вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Список літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Додаток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ Данилевський Микола Прокопович, Колосов Анатолій Іванович, Якунін Анатолій Вікторович ОСНОВИ СФЕРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ та ТРИГОНОМЕТРІЇ Навчальний посібник Редактор Д . Ф. Курильченко Підп. до друку 22.06.2011 Формат 60х84 1/16 Друк на ризографі Ум. друк. арк. 5,5 Тираж 500 пр. Зам. № Видавець і виготовлювач: Харківська національна академія міського господарства, вул. Революції, 12, Харків, 61002 Електронна адреса: rectorat@ksame.kharkov.ua Свідоцтво суб’єкта видавничої справи: ДК №4064 від 12.05.2011 |