1, 7, 42. Расчет неразрезных балок методом фокусов. Моментные фокусные отношения

• Название: 1, 7, 42. Расчет неразрезных балок методом фокусов. Моментные фокусные отношения
• Анкор: ш2.docx
• Дата: 25.01.2018
• Размер: 27.86 Mb.
• Имя файла: ш2.docx
• Тип: Документы; #14888

1, 7, 42.Расчет неразрезных балок методом фокусов. Моментные фокусные отношения.

При построении эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует воспользоваться методом моментных фокусных отношений.

Загружается последовательно каждый пролет и вычисляются величины изгибающих моментов на концах каждого загруженного пролета, для этого прежде вычисляется левые  и правые  фокусные отношения по формулам.

Формула для определения левых моментно-фокусных отношений балки



Формула для определения правых моментно-фокусных отношений балки



Формулы для определения опорных моментов по концам загруженного пролета







Формула для определения опорных моментов на опорах, расположенных левее опоры  загруженного пролета,



Формула для определения опорных моментов на опорах, расположенных правее опоры  загруженного пролета,



 зависят от способа закрепления балки (табл. 11.3).

Таблица 11.3

 

Все эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки необходимо построить в том же масштабе, что и эпюра изгибающих моментов от постоянной нагрузки. Они строятся одна под другой. Для построения огибающей эпюры изгибающих моментов нужно каждый пролет разбить на три части и подсчитать соответствующие величины ординат изгибающих моментов. Для получения величин максимальных ординат изгибающих моментов () в каждом сечении к моменту от постоянной нагрузки () прибавляет все положительные ординаты от временной нагрузки, а для получения величин минимальных ординат изгибающих моментов () в каждом сечении к моменту от постоянной нагрузки () – все отрицательные ординаты от временной нагрузки:

                                            (13)

                                            (14)

Аналогично этому находят  и 

                                            (15)

                                            (16)

Ординаты   и  определяют обычно в табличной форме, построение  и   может быть выполнено без таблицы.

2.Определение перемещений от изменения температуры и смещения опор. Правило верещагина.







Правило Верещагина





3,Применение уравнений 3-х моментов для расчёта неразрезных балок.

В качестве основной системы необходимо взять систему разрезных балок, полученную из заданной системы включением шарниров в опорные сечения. За неизвестное примем опорный изгиб. Моменты, очевидно, что число их равно числу промежуточных опор при наличии крайних шарнирных опор. Решение выбранной основной системы заключается в том, что эпюры моментов от единичных усилий распространяются в ней только на два соседних пролёта и значит, большое число побочных перемещений обращается в ноль. Для составления типового канонического уравнения в развёрнутом виде строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от внешней нагрузки и единичных усилий. Из рассмотрения этих эпюр вытекает, что типовые канонические уравнения будет трёхчлен следующего вида:











Подставляем: ……

- площади эпюр моментов;

a_n , b_n+1 – расстояние от центров тяжести этих эпюр. Умножим правую и левую части на 6EI_c получаем:





Уравнение 3-х моментов в общем виде. Если I=const

В уравнениях неизвестными являются т.е. для расчёта неразрезной балки необходимо составить столько уравнений трёх моментов, сколько промежуточных опор, решая совместно внешним силам.

Если конец защемлён, для применения уравнения трёх моментов вводим дополнитьельный фиктивный пролёт. Для опоры ‘o’ составляем уравнения:







При отсутствии внешней нагрузки на крайнем 1-м пролёте у защемлённого конца:

4.Сравнение арки с балкой.Понятие о рациональной оси арки.





5.39 Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезных балок. Построение объемлющих эпюр.

Если у балки загружен 1-й пролет, то при помощи фокусных отношений очень просто и быстро определяются все опорные моменты.





, где









,

где и левое и правое фокусные отношения пролета n. Если правая опора шарнирная, то левый опорный момент .

Правый опорный момент первого загруженного пролёта

- для крайнего правого нагруженного пролёта



Необходимость нахождения такого сочетания пост-х и врем-х нагрузок, которые вызывают в различных сечениях наибольшие и наименьшие изгибающие моменты и поперечные силы приводящие к необходимости построения обьемляющие эпюр.





Аналогично находят и





Ординаты и определяют обычно по табличной формуле, построение и может быть выполнено без таблиц.
6.Теорема о взаимности реакций.


8 Определние усилий в стержнях фермы. Способ вырезания узлов.



9 Построение линий влияния опорных реакций и внутренних усилий для 3-х шарнирных арок.
10.Анализ неизменяемости ферм способом нулевых нагрузок.

Анализ неизменяемости ферм

Способ нулевой нагрузки. Способ нулевой нагрузки значительно проще предыдущего общего метода. Сущность способа нулевой нагрузки заключается в следующем.

Рассмотрим ферму, освобожденную от нагрузки. Если при действии конечной нагрузки в неизменяемой ферме все усилия X_t должны иметь конечные значения, то при нулевой нагрузке усилия

в статически определимой ферме должны иметь нулевые значения. Такой ответ для всех усилий свидетельствует о неизменяемости данной фермы. Если же в каком-либо стержне или в группе стержней фермы усилия X; оказываются неопределенными, система изменяема.

В качестве примера проанализируем ферму по рис. 29. В этой ферме нет ни одного узла, где сходятся

два стержня. Докажем, что при отсутствии нагрузки усилия во всех стержнях фермы равны нулю.

Сначала выделим узел /; проектируя все усилия, действующие на этот узел, на вертикаль, найдем, что усилие 5,₂ = 0. Затем вырежем узел 2, в котором имеется два новых стержня и нет нагрузки, поэтому 5₂₄ = 0, S_2S — 0. После этого перейдем к узлам 3 и 4 и, удовлетворяя тому же условию (в каждом узле два новых стержня,

а усилие в среднем стержне равно нулю), получим:

S₄. = 0. S_4S-0, 5_М = 0,5„ = 0. Теперь рассмотрим узел 5:

5„ = 0, S.- = 0

Выделяя узлы 7 и б, находим:

S,, = 0. 5,_й = 0.

Усилия во всех стержнях данной фермы при отсутствии нагрузки нулевые, следовательно, ферма неизменяема

Значительно проще задача решается рассмотрением трех дисков (два треугольника и стержень 1 — 2).
11.Определение усилий по линия влияния от действия сосредоточенных сил и распределенной нагрузки.





12.Расчет ферм на внеузловую нагрузку





Или

Расчет ферм на неузловую нагрузку

Способ вырезания узлов позволяет установить некоторые простые правила о значениях продольных

сил в стержнях шарнирных ферм, Если в узле сходятся два стержня и нет узловой нагрузки,то оба стержня не работают, т. е. продольые силы в них равны нулю. Это положение вытекает из уравнений равновесия, выража

ющих сумму проекций сил на оси, перпендикулярные стержням Если в узле сходятся три стержня, причем два из них лежат наодной прямой и нет узловой нагрузки (рис.), то продольная сила в третьем примыкающем стержне равна нулю, а продольные силы в двух остальных стержнях равны _9i между

собой откуда



^{откуда n1=n2}

13.Теорема о взаимности перемещений





14.Определение усилий в стержнях фермы. Способ моментной точки







15.Особенности работы ферм. Классификация ферм.







16, Определение перемещений в стержневых системах от изменения температуры







17.Аналитический расчет трех шарнирных арок.

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение соответствующего раздела [1-6].

Схему арки надо вычертить, определив по уравнению ее оси достаточное число точек, или, используя соответствующую программу на компьютере. На схему необходимо нанести все заданные размеры и нагрузку.

Ординаты точек оси и углы наклона касательных определяются по следующим уравнениям:

а) при очертании оси по параболе

(1)

y′= tanφ=
б) при очертании оси по окружности

,

где

(2)

Вычисление значений опорных реакций, моментов, поперечных и продольных сил в заданных точках необходимо иллюстрировать соответствующими формулами. При построении эпюр М, Q и N необходимо придерживаться следующего правила знаков: изгибающий момент считается положительным, если он разгибает арку; продольная сила положительна, если она растягивает арку; поперечная сила положительна, если она вращает один конец арки относительно противоположного почасовой стрелке. Поэтому отрицательные ординаты на эпюре М откладываются вверх с обязательной простановкой знаков.

При построении эпюры Q положительные ординаты откладываются вверх, а при построении эпюры N отрицательные ординаты вниз с обязательной простановкой знаков

Вертикальные опорные реакции в арке определяются как для простой однопролетной балки такого же пролета что и арка, при отсутствии среднего шарнира. Величина распора определяется из равновесия левой (правой) части арки относительно среднего шарнира по формуле

(3)

Внутренние силы в любой точке арки могут быть найдены: изгибающий момент М определяется из уравнения моментов относительно точки (х, у);поперечная сила Q, продольная сила N могут быть определены из уравнений проекций сил, действующих на левую или правую часть арки на касательную или нормаль к оси в точке (х, у) по формулам:


, (4)

где - обозначены соответствующие величины для простой балки.

При вычислении величин М, Q, N и построении соответствующих эпюр арка разбивается на участки. Построение кривой каждого участка осуществляется по трем точкам: начальной, конечной и в середине участка, если на участке нет экстремума. Вычисление величин Q и N выполняется в табличной форме (см. пример 2 расчета арки).

Для построения линий влияния М, Q и N надо сначала построить линию влияния распора и подсчитать значение ее характерной ординаты. При построении линий влияния M, Q, N необходимо использовать формулы (3,4). На окончательных линиях влияния должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат, определение которых должно быть приведено в расчете. Линии влияния надо строить под схемой арки в том же линейном масштабе



18. Определение перемещений в стержневых системах от смещения опор






19. Построение линий влияния опорных реакций М Q для многопролетных балок.

1.4.2. Линии влияния изгибающего момента

Для построения линии влияния изгибающего момента в сечениик, расположенном на расстоянии а от левой опоры, надо получить выражение момента в зависимости от расположения груза справа или

слева от сечения ( Рис. 1.4, б ).
Пусть единичный груз движется справа от сечения, т. е.

а ≤ х ≤ 1 .

Выражение изгибающего момента слева от сечения будет

MK = A · a .

Из уравнения видно, что линия влияния М ( правая ветвь ) строится как линия влияния реакции А с умножением всех ординат на а .

Рассмотрим теперь случай, когда груз расположен слева от сечения, т. е. x ≤ a .

Слева от сечения две силы: реакция А и движущийся единичный груз, а справа только реакция В . Определяем изгибающий момент как сумму сил справа от сечения:

МK = В · b .

Левая ветвь строится как линия влияния реакции В с умножением всех ординат на b .

Левая и правая ветви пересекутся под сечением к , что следует из условия единственности значения изгибающего момента при расположении единичного груза над сечением.

В этом нетрудно убедится, определив ординату линии влияния под сечением к из двух треугольников, которые получились: один при построении правой ветви, а другой при построении левой ветви.

Ордината под сечением будет равна

a · b / l .

1.4.3. Линии влияния поперечной силы

Величина и знак поперечной силы зависят от положения единичного груза относительно сечения к, и поэтому будем строить линию влияния поперечной силы при двух предположениях, как и

для изгибающего момента.

Пусть единичный груз движется справа от сечения

QK = A = ( l – x ) / l .

Это выражение поперечной силы определяет правую ветвь линии влияния. В этом случае поперечная сила положительная, так как стремится повернуть балку по часовой стрелке ( слева – вверх ).

При x = 0 Q = 1 ,

при x = l Q = 0 .

Во втором случае, когда груз движется слева от сечения, выражение поперечной силы будет

QK = – B = – x / l ,

которое определяет левую ветвь. Поперечная сила отрицательная, так как стремится повернуть балку против часовой стрелки ( справа –вверх ).

При x = 0 Q = 0 ,

при x = l Q = – 1 .

Линия влияния поперечной силы приведена на рис. 1.4, в.
20,Теорема о взаимности работ





21 Способы образования и условия геометрической неизменяемости плоских ферм.





22,Расчетная схема. Осн. Элементы и их РС.



23. Формула Мора





25. Частные случаи равновесия узлов ферм.






26 Определение усилий в стержнях фермы (способ проекций)



27,Невыгоднейшее загружение треугольной ЛВ





28 Расчет составных ферм



29, ЛВ усилий при узловой передаче нагрузки





31,Потенциальная энергия системы






32 Применение уравнений 3-х моментов для расчёта неразрезных балок.

В качестве основной системы необходимо взять систему разрезных балок, полученную из заданной системы включением шарниров в опорные сечения. За неизвестное примем опорный изгиб. Моменты, очевидно, что число их равно числу промежуточных опор при наличии крайних шарнирных опор. Решение выбранной основной системы заключается в том, что эпюры моментов от единичных усилий распространяются в ней только на два соседних пролёта и значит, большое число побочных перемещений обращается в ноль. Для составления типового канонического уравнения в развёрнутом виде строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от внешней нагрузки и единичных усилий. Из рассмотрения этих эпюр вытекает, что типовые канонические уравнения будет трёхчлен следующего вида:











Подставляем: ……

- площади эпюр моментов;

a_n , b_n+1 – расстояние от центров тяжести этих эпюр. Умножим правую и левую части на 6EI_c получаем:





Уравнение 3-х моментов в общем виде. Если I=const

В уравнениях неизвестными являются т.е. для расчёта неразрезной балки необходимо составить столько уравнений трёх моментов, сколько промежуточных опор, решая совместно внешним силам.

Если конец защемлён, для применения уравнения трёх моментов вводим дополнитьельный фиктивный пролёт. Для опоры ‘o’ составляем уравнения:







При отсутствии внешней нагрузки на крайнем 1-м пролёте у защемлённого конца:

33,Теорема Клапейрона




Формулировка теоремы Клапейрона: упругая работа внешней силы при статическом приложении равна половине произведения ее окончательного значения на соответствующее этой силе перемещение.

Теорема Клапейрона впервые была сформулирована французским ученым Клапейроном в 1852 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КЛАПЕЙРОНА

Определим работу, которую совершает сила , действующая, например, на балку, изображенную на рис. 15.1, а.

Будем считать, что нагрузка прикладывается к балке статически, то есть она медленно возрастает от нуля до заданной величины.

Пусть в некоторый момент сила, достигшая значения , вызвала в месте своего приложения прогиб балки, равный .

Увеличим это значение силы на бесконечно малую величину . Такое изменение нагрузки приведет к дополнительному прогибу . Очевидно, что элементарная дополнительная работа будет равна: .

Полная работа, совершенная внешней силой, определяется по формуле: .Для линейно деформируемой системы (график зависимости между прогибом и силой P для такой системы показан на рис. 15.1, б) прогиб балки пропорционален внешней нагрузке, то есть ,

где – коэффициент пропорциональности или перемещение от силы, равной единице . Коэффициент часто называют и податливостью системы.

Дифференцируя уравнение , найдем: .

Подставляя формулу в формулу и учитывая уравнение , получим: ,что и требовалось доказать. Полученное выражение соответствует теореме Клапейрона.

34, Построение линий влияния в стержнях балочных ферм статическим способом.





35,Сопоставление арочных и балочных ферм





36, Свойство прямолинейного участка ЛВ.



38, ЛВ М,Q опорных реакций для простых балок с консолями







40,ЛВ балки заделанной одним концом



41 Способы образования плоских геометрически неизменяемых систем.





43.Определение усилий в стрежнях ферм.

Для любой статически определимой фермы можно составить 2К уравнений статики (К – число узлов фермы), с помощью которых можно найти опорные реакции и внутренние усилия в ее стержнях от действия внешней нагрузки. При этом в первую очередь обычно определяют опорные реакции. При определении реакций составляют 3 уравнения равновесия для всей фермы в целом.

Для определений внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части фермы и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях. Всего можно составить 2К – 3 таких условий.

Выделение узлов или частей фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах фермы определялись наиболее просто.

Метод моментной точки. Применяется в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стрежня, направления осей которых не пересекаются в одной точке. Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой. Составляем последовательно уравнения моментов всех сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих трех точек, каждый раз будем получать уравнение с одним неизвестным, представляющим собой усилие в рассеченном стержне.

1 разрезаем ферму так, чтобы в разрез кроме данного стержня попали еще 2 других (оси которых не сходятся с ним в одной точке)

2 из уравнения моментов относительно точки пересечения осей этих 2 стержней определяем усилие в данном стержне

При составлении уравнений равновесия все неизвестные усилия в стержне условно считаются положительными, т.е. растягивающими и направленными от узлов. Если после решения уравнений какое – либо усилие окажется отрицательным, значит, оно является сжимающим и направленно к узлу. При расчетах ферм способом моментной точки каждое усилие определяется с помощью одного уравнения с одним неизвестным.

Способ проекций. Применяется в следующих двух вариантах:

1 рассматривается равновесие части фермы (как и при способе моментной точки), когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу

2 рассматривается равновесие выделяемых из фермы узлов (способ вырезания узлов).

При расчете простейших ферм все усилия можно определить способом проекций, применяя его последовательно к каждому узлу. При этом определение усилий надо считать с узла, в котором сходиться не более двух стержней.

При расчете ферм способом вырезания узлов усилия в ряде стержней можно найти только после предварительного определения усилий в других стержнях. В связи с этим случайная ошибка в определении одного усилия может привести к неправильному определению усилий в целом ряде стержней.
44, Примеры анализа геометрической структуры сооружения





45 Образование и расчет шпренгельных ферм







46,Зависимость усилий в Эл-х фермы от очертания поясов и решетки.