Числовые ряды. 1. Числовые ряды. Определение. Необходимый признак сходимости
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
Числовые ряды 1.Числовые ряды. Определение.2.Необходимый признак сходимости.3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.4.Знакопеременные ряды.5.Знакочередующиеся ряды.6.Признак Лейбница.План Сумма ряда или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится Пусть дана бесконечная последовательность чисел: (1) Выражение: (2) называется числовым рядом, а числа - членами ряда. Суммы называются частичными суммами ряда. (2) Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел (3) то этот предел называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся.Если же предел (3) не существует или равен ∞ то ряд расходится и суммы не имеет. Необходимый признак сходимости ряда ● Если ряд сходится, то его общий член к нулю при стремится неограниченном возрастании номера n : (4) При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится. Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость его остатка остатка ряда и, наоборот, сходимости из следует сходимость исходного ряда. Иначе говоря , если отбросить число конечное начальных членов ряда , то это не отразится на сходимости (расходимости) ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 1) Признак сравнения рядов (5) (6) ● Если, начиная с некоторого номера n ϵ N, неравенство выполняется , то из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (6). 2) Признак Даламбера. ● Если существует предел то при ℓ<1 ряд (5) сходится , о сходимости ряда остается переменным. а при ℓ>1 расходится. При ℓ=1 вопрос 3) Признак Коши ● Если существует предел при ℓ <1 ряд (5) сходится, то Если ℓ=1, то вопрос о сходимости ряда остается а при ℓ>1 расходится. нерешенным. Примеры 1. Написать пять первых членов ряда по данному общему члену (*) 2. Найти для ряда (*) частичную сумму первых n членов( ) Общий член ряда запишем иначе: Частичная сумма ряда Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1 3. Написать формулу общего члена для ряда: формуле 3n+2. (n=1,2,3,…) Числители членов – четные числа вида 2n, а знаменатели – нечетные числа, получаются по Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим если ,то расходится! => ряд расходится - расходиться! 4. Гармонический ряд 5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда: ℓ=0<1 => ряд сходится. 6. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда: => сходится Знакопеременные ряды Определение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой ряд будет называться знакопеременным. ● Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2) Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). ● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости с положительными членами. Знакочередующиеся ряды Ряд (3) (3`) где n>0 (n=1,2,3,…) называется знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Признак Лейбница Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине и 0 , то такой ряд сходится и сумма # Исследовать сходимость знакопеременного ряда. его Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и предел =>ряд сходится Составлен ряд (а) и сравним его с расходящимся рядом (б) (т.к. расходится гармонический ряд). Каждый член ряда (а) больше соответственного члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, потому данный ряд сходится условно. Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом или 2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом - сходится 3) Расходятся ряды с общим членом Признак Лейбница не работает. 1+1+1+1+… - ряд расходится, т.к. 4) - сходится. 5) - сходится условно. |