математика. Тема 1. 1. Что называется функцией

• Название: 1. Что называется функцией
• Анкор: математика
• Дата: 14.11.2022
• Размер: 194.21 Kb.
• Имя файла: Тема 1.docx
• Тип: Документы; #787638

1. Что называется функцией?

Функцией называется правило, по которому каждой переменной соответствует одно и только одно значение .

Функция обозначается или или

.

Переменная x – независимая переменная или аргумент функции; переменная y – зависимая переменная или значение функции.
2. Что такое область определения и область значений функции?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x).

Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).
3. Перечислите способы задания функций, их достоинства.

Используют следующие способы задания функции:

1.Аналитический способ – задание функций с помощью формул. Например,

, .

2.Графический способ – задание функций с помощью графика. Например,



3.Табличный способ – задание функций с помощью таблиц.

Например,

x	-3	-2	-1	0	1	2
y	9	4	1	0	1	4

t	5	10	15	20
S	10	15	20	40

4. Словесный способ – задание функций с помощью алгоритма вычисления. Например,

- целая часть числа х.

Целая часть числа х – это ближайшее целое число, не превосходящее самого числа х.
4. Перечислите основные свойства функций.

Свойства функций приведены в таблице:

Название свойства		Определение	Графическое изображение
Нули функции		Нулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть .	y x1 x2 x3 x Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Четность функции		Функция называется чётной , если для любого х из области определения выполняется равенство	y x Четная функция симметрична относительно оси Оу
Нечет-ность функции	Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство .			y x Нечетная функция симметрична относительно начала координат .
	Функция которая не является ни чётной ,ни нечётной называется функцией общего вида.			y x
Возрас-тание функции	Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.
Убывание функции	Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.
	Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает называются промежутками монотонности			имеет 3 промежутка монотонности:
Локаль-ный максимум	Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: .
Локаль-ный минимум	Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: .
	Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.			y max min x1 x2 x y 1 0 1 2 3 x точки локального экстремума.
Перио-дичность функции	Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство .
Проме-жутки знакопос-тоянства	Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна называются промежутками знакопостоянства.			y x1 x2 x3 x
Непре-рывность функции	Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке, т.е. .			y x
Точки разрыва	Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.			- точка разрыва.

5. Дайте определение предела функции в точке.

Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемсяк а, если для любой последовательности чисел х₁, х₂, х_3, …, .х_{n ,…} сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х₁), f(х₂),…, f(х_n)… сходится к числу А.

Предел функции в точке а обозначается

.
6. Какая функция называется непрерывной в точке?

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x₀) этой точки, включая саму точку, и если предел при x стремящемся к x₀ существует и равен значению функции в x₀:



Здесь подразумевается, что x0 – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
7. Сформулируйте основные свойства пределов.

1. Функция не может иметь более одного предела (при одной и той же базе).

2. Предел постоянной равен самой этой постоянной:  , с – постоянная.

3. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций: 

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций: 

Отсюда следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела: 

5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (если предел делителя неравен нулю): 



6. (свойство предела сложной функции) Если  , то предел сложной функции .

7. Если при базе В (т.е. в некоторой окрестности точки х₀или при достаточно больших х) f₁(х) < f₂(х), то .
8. Как раскрывается неопределенность вида , ?

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;

в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .