Омпт кпмн 1-4 дәріс. №1-4 лекциялар. 1 дріс. Модельдеуді тсініктемелері. Модельдеу масаты Дрісті мазмны
 Скачать 362 Kb.
|
|
1 дәріс. Модельдеудің түсініктемелері. Модельдеу мақсаты Дәрістің мазмұны: - модельдеудің түсініктемелері; модельдер түрлері; модельдеудің мақсаттары. Дәрістің мақсаты: - модельдеудің негізгі түсініктемелері мен модельдер түрлерін оқу. Ғылыми зерттеулерде бақылаудан немесе тәжірибелерден алынған мәліметтердің аз сандарында негізделген болжамдардың - гипотезалардыңкөп мағынасы бар. Ұсынылған гипотезаларды тез және толық тексеру арнайы тәжірибелер арқылы орындалады. Гипотезаларды тұжырымдап, олардың дұрыс екенін тексеру үшін аналогиялар, яғни екі объекттің дербес ұқсастығы туралы пікірлер қолданылады. Гипотезалар әдетте практикада тексерілетін ғылыми пікірлерге ұқсастығы бойынша жасалады. Сонымен, аналогиялар гипотезалары тәжірибемен байланыстырады. Нақты ортаны суреттейтін гипотезалар мен аналогиялар көрнекілік болып, сонымен бірге зерттеуге ыңғайлы логикалық сұлбалар түрде көрсетілуі керек. Пікірлер мен логикалық құрастыруларды жеңілдетіп, құбылыстар табиғатын анықтайтын тәжірибелерді өткізуге мүмкіндік беретін логикалық сұлбалар модельдер деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда, модель дегеніміз нақты объектті орынбасатын объект. Осындай объект моделін құрастыру процесін модельдеу деп атайды. Модельдеу нақты объекттің қасиеттерін орынбасар объект көмегімен зерттеуге мүмкіндік береді. Модельдеу - әртүрлі процестер мен құбылыстарды зерттеуге қолданатын көп тараған әдіс. Процестердің күрделілігі процестің өтуін анықтайтын параметрлерінің көп санымен, параметрлер арасындағы әртүрлі өзара байланыстар және өзара әсерлермен анықталады. Біздер зерттеулерді жеңілдету мақсатымен осындай ақпараттар көлемін азайтуға, таңдалынатын мүмкіншіліктер санын шектеуге тырысамыз. Бұл мақсатқа жету үшін процестерді зерттеуге модельді яғни зерттелетін процестің қажетті бағытта шектелген бөлек сипаттамаларын бейнелейтін қарапайымдалған жүйені қолданамыз. Берілген құбылыс, процесс немесе техникалық жүйені тікелей зерттеу орнына модель деп аталатын басқа құбылысқа, процеске немесе техникалық жүйеге көшу модельдеудің мәнісі болып табылады. Осындай көшудің негізгі мақсаты – зерттеуді жеңілдету, біздерге керекті шамаларды анықтауға қол жеткізу, зерттелетін құбылыстарды жасанды жаңадан өңдеу. Сонымен, берілген объекттің барлық немесе кейбір қасиеттерімен сәйкес келетін қасиеттері бар кез келген объектті берілген объекттің моделі деп атаймыз. Нақты объектте өткізуге қиын немесе ыңғайсыз қымбат болатын зерттеулерді өткізу үшін модель жасалады. Модельді жасаудың кейбір мақсаттары мен негізгі зерттеу түрлерін белгілеуге болады: - мәнін түсіну құралы ретінде модель айнымалылардың өзара байланыстарын, олардың уақыт бойынша өзгеру айырмашылықтарын, маңызды заңдарын анықтауға мүмкіндік береді. Модельді жасаған кезде зерттелетін объекттің құрамы түсінікті болады, маңызды себеп-салдар байланыстары анықталады. Модельді құрастырған кезде бірте-бірте модельге қойылатын талаптар қөзқарасы жағынан бастапқы объекттің қасиеттері маңызды және маңызды емес деп бөлінеді. Бастапқы объект жұмысының біздерге қажетті қасиеттеріне қатыс болатын ерекшеліктері ізделінеді. Белгілі мағына жағынан ғылыми қызмет табиғат құбылыстарының модельдерін құрастырудан және зерттеулерден тұрады; - болжау құралы ретінде модель объекттің жүріс-тұрысын болжауды үйреніп, әртүрлі модель басқару нұсқаларын сынап, оны басқаруға мүмкіндік береді. Әдетте нақты объектілермен тәжірибе өткізу ыңғайсыз, кейбір кезде қауіпті немесе кейбір себептерден - тәжірибе ұзақтығы, объекттің бүлінуі немесе жойылу қауіп-қатерінен, нақты объекттің жоқтығынан (мысалы, ол әлі жобалануда) мүмкін емес; - құрастырылған модельдерді параметрлердің оптималды қатынастарын табуға, кейбір ерекше режимдерін зерттеуге қолдануға болады; - кейбір кезде модель бастапқы объектіні оқыту мақсатымен орын басады, мысалы, персоналды нақты жағдайдағы жұмысқа дайындағанда тренажер ретінде немесе виртуалды зертханада зерттелетін объект ретінде қолдануда. Орындалатын модульдер түрінде жасалған модельдер басқару жүйелерді стендтерде зерттегенде басқару объектілердің имитаторлары ретінде қолданылады, жобалаудың бастапқы кезеңдерінде болашақ аппаратты жасалатын басқару жүйелердің өзінің орнын басады. Модельдерді жағдайға байланысты екі топқа бөлуге болады: материалды және идеалды; сондықтан заттық және абстрактты модельдеуді қарастыруға болады. Заттық модельдеудің негізгі түрлері физикалық және аналогты модельдеу болып табылады. Нақты объектке оның үлкейтілген немесе кішірейтілген көшірмесі сәйкес қойылса, модельдеуді (макеттеуді) физикалық деп атайды. Бұл көшірме ұқсастық теориясы негізінде зерттелетін құбылысты сипаттайтын негізгі саңдардан алынған ұқсастық критерийлер бойынша жасалады, сондықтан модельде қажетті қасиеттер сақталынды деуге болады. Физикалық модельдерде белгілі зерттеуге қажетті бастапқы объекттің геометриялық пропорцияларынан басқа да қасиеттері сақталынады (мысалы, объект материалы немесе бояу гаммасы). Мысалы, ұшақты жобалаған кезде аэродинамикалық қасиеттері бірдей болатын оның макеті жасалады. Физикалық модельді жасағанда келесіні есепке алу керек: нақты жүйеге қарағанда талдаудың қуатты әдістерін қолдануға мүмкіндік беретіндей модельмен жұмыс істеу қарапайым және қауіпсіз болуы керек, Қарапайым жүйелер үшін (мысалы, гидравликалық немесе бірфазалы жылулық жүйелер) ұқсастық принципі және физикалық модельдеу өзін дәлелдейді, себебі критерийлер сандары шектелген болады. Физикалық модельдеудің негізгі кемшілігі – объекттің әр нұсқасына өзінің моделін жасау керек, бұл жағдай материалды ресурстарын және жұмыстың көп көлемін талап етеді. Сонымен физикалық модельдеуді қолданудың аймағы шектелген, сондықтан күрделі жүйелерді зерттеудің негізгі әдісі математикалық модельдеу болып табылады. Аналогты модельдеу бастапқы объектті басқа физикалық табиғаты бар, бірақ жүріс-тұрысы бастапқы объектісімен бірдей болатын объектпен алмастыруда негізделген. Мысалы, тербелістер мен резонансты зерттегенде механикалық жүйелер заңдылықтарын, сонымен бірге электр тізбектерін қолдануға болады. Аналогты модельдеуде орынбасу объектте керекті ерекшеліктерін көріп, оларды дұрыс түсіну өте маңызды. Физикалық және аналогты модельдеу зерттеудің негізгі әдісі ретінде модельмен тәжірибе жасауды талап етеді, бірақ бұл тәжірибе бастапқы объекттегі тәжірибеден тартымды болады. Кезінде аналогты есептеу машиналары кең қолданылған. Олардың көмегімен модельдеу өткізу электр құбылыстарының басқа физикалық табиғаты бар құбылыстармен ұқсас болуында негізделген. Мысалы, электр тізбектегі тербелістер ракетаның бұрыш тербелістеріне ұқсас, ал электр тізбекпен тәжірибелерді өткізу арзан және қауіпсіз (ұшып баражатқан ракетаға қарағанда). Аналогты машиналарда жаңадан өңделетін электр тербелістерді арнайы аспаптармен – осцилографтармен бақылап, модельдің жүріс-тұрысын «көруге» болады. Идеалды модель дегеніміз - нақты немесе елестететін объектілердің абстрактты бейнелері. Идеалды модельдеуді екі түрге бөледі: интуитивті және таңбалы. Қолданатын модель болғанымен, оны бейнелей алмай, бірақ оның көмегімен қоршаған ортаны болжап немесе түсініктіру өткізсе, интуитивті модель туралы әңгімелегеніміз. Осы мағынада әр адамның өмірлік тәжірибесі оның қоршаған ортасының моделі деп есептеуге болады. Әртүрлі жағдайда адам миы шешім қабылдау есебін қалай шешетінін біз әлі білмейміз. Модель ретінде белгілерді немесе символдарды: сұлбалар, графиктер, сызбалар, әртүрлі тілдердегі мәтіндер, сонымен бірге формалды, математикалық формулалар және теорияларды қолданатын модельдеу таңбалы модельдеу деп аталады. Таңбалы модельдеуге міндетті түрде қатынасатын интерпретаторы болуы керек (әдетте адам болады). Сызбалар, мәтіндер, формулалардың өз бетінше ешқандай мағынасы жоқ, оларды түсінетін және күнделікті қызметінде қолданатын біреу болуы керек. Таңбалы модельдеудің маңызды түрі математикалық модельдеу болып табылады. Объекттердің физикалық табиғатынан дерексіздендіріп, математика идеалды объекттерді оқиды. Математикалық модельдеу табиғат заңдарының саны шектеулігінде және ұқсастық принциптерінде негізделген. Яғни басқа сөзбен айтқанда әртүрлі физикалық табиғаты бар құбылыстар бірдей математикалық тәуелділіктермен бейнеленулері мүмкін. Мысалы, дифференциалдық теория көмегімен аталып кеткен электр немесе механикалық тербелістерді жалпы түрде оқуға, сонан соң алынған білімдерді белгілі физикалық табиғаты бар объектті зерттеуге қолдануға болады. Математикалық өрнектермен немесе алгоритмдермен формалданған жүйе бейнеленуі математикалық модельдеудеп аталады. Кез келген физикалық шамалардан тұратын математикалық өрнекті процестің математикалық моделі ретінде қарастыруға болады. Физикалық модельдеуге қарағанда математикалық модельдеу оригиналдың тек қана математикалық бейнелеуі бар және математикалық өрнектермен байланысқан параметрлерін зерттеуге болады. Сонымен бірге зерттелетін процестің физикасы сақталмайды, бір теңдеулер табиғаты жағынан әртүрлі құбылыстарды бейнелеуге мүмкіндік беріп, объекттің жүріс-тұрысын толық бейнелемей, оның бөлек функционалды байланыстарын табуға мүмкіндік береді. Сонымен, нақты объекттің математикалық моделі деген берілген физикалық объектке сәйкес қойылған математикалық объект деуге болады. Әрине, нақты физикалық байланыстарды көрсететін математикалық тәуелділіктерді анықтайтын өрнектер белгілі болу керек. Келешекте біздер тек қана математикалық модельдер туралы әңгімелейміз. Математикалық модельдеудің маңызды түрі – компьютерлік модельдеу. Әртүрлі қызмет бағдарламаларды қосындылап (мысалы, уақыт бойынша сурет немесе графиктерді салатын), математикалық модельдің бағдарламалық іске асырылуы компьютерлік модель деп аталады. Компьютермен қабылданып, онымен интерпретацияланса, компьютерлік модель физикалық модельдің қасиеттерін білдіреді. Компьютерлік модель физикалық құрылғы ретінде сынақ стендтер, тренажерлар, виртуалды зертханалар құрамына кіруі мүмкін. Бұл модельдің арнайы түрі, өзінде абстрактты және физикалық қасиетттерін қабылдайтын, көп деген пайдалы мүмкіндіктері бар. Солардың ішіндегі бастысы – модельді жасау және өзгерту өте қарапайым процесс болып табылады. Сонымен бірге алынатын нәтижелерінің дәлдіктері өте жоғары және модельдердің функционалды қүрделі болатынын атап кету керек. Сондықтан, қазірде модельдеу деп әдетте компьютерлік модельдеуді атайды. Математикалық модельді құрастыру физика, химия, биология пәндерінен белгілі заңдарды қолданумен орындалады. Алынған модельді аналитикалық жолмен зерттеуге болады, бірақ көбінесе оны орындайтын бағдарлама дайындалады. Компьютерлік модельдеудің бастапқы қадамдарында осы бағдарламалар жоғарғы деңгейлі бағдарламалау тілдерде жасалған, ол кезде қолданылатын бағдарламалау технологиялар модельдерді жасауға өте көп уақытты талап ететін. Қазірде математикалық модельді модельдеу бағдарламаға түрлендіру процесін автоматтандыратын модельдеуге арналған көп деген жүйелер, модельдеу пакеттер өңделген. Қазіргі пакеттерді қолданушының көзқарасы жағынан компьютерлік модельді құрастыру негізінде модельдің математика тіліндегі бейнелеуін қолданылатын жүйенің тіліне көшіруге және ұсынылған сандық әдістердің ішінен керектісін таңдауда тұрады. Математикалық модельдерге қойылатын талаптар: дәлдік – бұл қасиет модель көмегімен болжанған объекттің параметрлерінің мәндері ақиқат мәндермен сәйкестігінің дәрежесін көрсетеді; компьютер уақытының шығындарының тиімділігі; универсалдық яғни біртекті объектілер топтарына анализдеуге қолдануға болатындығы. 2 дәріс. Математикалық модельдеудің негізгі терминдері. Математикалық модельдердің түрлері Дәрістің мазмұны: - математикалық модельдеудің негізгі түсініктемелері; математикалық модельдердің түрлері. Дәрістің мақсаты: - математикалық модельдеудің негізгі түсініктемелерін және математикалық модельдердің түрлерін оқу. 2.1 Математикалық модельдеудегі негізгі терминдер Кез келген математикалық модель келесі: компоненттер, айнымалылар, параметрлер, функционалдық тәуелділіктер, шектеулердеп аталатын құрастырушылардың реттелген комбинациясы болып табылады. Сәйкес ұйымдастыру амалымен жүйені құрастыратын құрамдастыру бөліктерді модель компонеттері деп түсінеді. Компоненттер бөлінбейтін құрамдастырушылар (модель "элементтері") немесе "ішкі жүйе" болып табылатын құрамдастырушылар болуы мүмкін. Әдетте жүйенің кірістері мен шығыстары айнымалылар деп, ал басқа шамалар – параметрлер деп аталады. Мұндай келісім шарт бойынша алынады. Қосымша келісімдер болмаса қайсысы айнымалы, қайсысы параметр деген сұраққа жауап табылмайды. Осындай келісім ретінде, мысалы, функциялар класы алынуы мүмкін. Айнымалыларды кірістегі және шығыстағы айнымалы деп бөлгеніміз де абсолютты болмайды. Мұндай бөлу тек қана анықталған жүйеге қолданылады. Зерттелетін жүйенің анықталған қасиеттеріне сүйену керек. Жүйе кірістері (экзогендік айнымалылар) жүйеден тыс пайда болады және сыртқы себептер әрекеттері нәтижесінен туады; жүйе шығыстары (эндогендік айнымалылар) экзогендік айнымалылар жүйеге әсер еткен себебінен жүйеде пайда болады. Математикалық модельдердің бас құрастырушылары – функционалдық тәуелділіктер. Олар жүйенің немесе компоненттің айнымалыларының және параметрлерінің жүріс-тұрысын бейнелейді. Әдетте олар экзогендік (х) және эндогендік (у) айнымалылар немесе айнымалылар және олардан тәуелді параметрлер (р) арасындағы ішкі қатынастарды орнатады: а) y = φ(p,x), б) р = ψ(x,y). φ функциясы көбінесе операторлық (немесе оператор), ал ψ функциясы – параметрлік деп аталады. Жүйенің жұмысының заңы аналитикалық, графикалық, кестелік, т.б. түрде берілуі мүмкін. Модельдердің соңғы құрамдастырушысы – шектеулер. Қарапайым кезде шектеулер деп модель аргументтерінің векторының өзгеру аймағын түсінеді xÎDx. Модель параметрлері де кейбір рұқсат етілген аймақта берілуі мүмкінpÎDp. Көбінесе модельденетін жүйе қоршаған ортаға әсер етпейді деп белгіленеді. Қоршаған ортаның әсерін есепке алмау негізделген болуы керек. 2.2 Математикалық модельдердің негізгі түрлері Қолданудың әртүрлі аспектілерін қанағаттандыратын жалпы универсалды модельді жасау мүмкін емес. Басқарылатын объекттің кейбір қасиеттерін қамтып көрсететін ақпаратты алу үшін модельдерді классификациялау қажет. Классификациялаудың негізінде φ оператордың ерекшеліктері жатады. Уақыттық және кеңістіктік белгілері бойынша басқару объекттердің барлық түрлерін келесі кластарға бөлуге болады: статикалық немесе динамикалық; сызықты немесе сызықты емес; уақыт бойынша үздіксіз немесе дискретті; стационарлы немесе стационарлы емес; параметрлері кеңістік бойынша өзгеретін процестер және параметрлі кеңістік бойынша өзгермейтін процестер. Математикалық модельдер сәйкес объектілерді суреттейтін болғандықтан, оларға да осы кластарды қолдануға болады. Модельдің толық атауына айтылған белгілердің барлығы кіруі мүмкін. Осы белгілер модельдердің сәйкес типтер атауларының негізі болып табылды. Жүйеде зерттелетін процестер сипаттарына сәйкес модельдердің барлығын келесі түрлерге бөлуге болады. Процесте кез келген кездейсоқ әсерлер жоқ деп есептелсе, процесс детерминерленген (анықталған) деп аталады; осындай процестерді бейнелейтін модельдер – детерминерленген модель болады. Ықтималдық процестер мен оқиғаларды бейнелейтін модельдер стохастикалық модель деп аталады; бұл кезде кездейсоқ процестің бірсыпыра іске асырылуы болжанып, орта сипаттамалары бағаланады. Стационарлы және стационарлы емес модельдер. Егер де φ оператордың түрі және оның p параметрлері уақыт бойынша өзгермесе, яғни келесі орындалса φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x],яғниy= φ(p,x) онда модель стационарлы болып табылады. Егер де модель параметрлері уақыт бойынша өзгеретін болса y= φ[p(t),x] модель параметрлік стационарлыемес. Уақыттан функция түрі де тәуелді болса, бұл жағдай стационарлы еместіктің ең жалпы түрі болады. Бұл кезде функцияға тағы бір аргумент қосылады: y= φ(p,t,x) Статикалық және динамикалық модельдер. Модель түрлерін осылай бөлгеннің негізінде зерттелетін объекттің материалды жүйе ретінде қозғалысының ерекшеліктері жатады. Басқару есептер көзқарасы жағынан модельдер туралы әңгімелесек, кеңістік деп геометриялық кеңістікті атамайтынымызды еске алу қажет. Бұл кезде кеңістік деп күй кеңістігін, яғни шығудағы у айнымалыларының күй координаталарын түсінеміз. увекторының элементтері ретінде әдетте бақыланатын технологиялық параметрлер (шығын, қысым, температура, ылғалдық, тұтқырлық, ж.б.) болады. у векторының элементтерінің құрамы объекттің өзі үшін (модельге қарағанда) толығырақ болуы мүмкін, себебі модельдеу кезде нақты объекттің қасиеттерінің тек қана бір бөлігін оқу қажет. Күй кеңістігінде және уақыт бойынша басқару объекттің қозғалысы y(t) векторлық процесс көмегімен бағаланады. Егер де жүйе күйі өзгермесе, яғни жүйеде тепе-теңдік орындалса, жүйе моделі статикалық деп аталады, бірақ қозғалыс тепе-теңдіктегі объекттің статикалық күйімен байланысқан. Статикалық модельдердің математикалық бейнелеуіне айнымалы ретінде уақыт кірмейді, бұл бейнелеу алгебралық теңдеулерден немесе объект таратылған параметрлері бар объект болса, дифференциалдық теңдеулерден тұрады. Статикалық модельдер әдетте сызықты емес болады. Олар объекттің бір режимнен басқа режимге көшу себебінен пайда болатын тепе-теңдік жағдайын тура бейнелейді. Динамикалық модель объекттің күйінің уақыт бойынша өзгеруін бейнелейді. Осындай модельдердің математикалық бейнелеуіне міндетті түрде уақыт бойынша туынды кіреді. Динамикалық модельдер дифференциалды теңдеулерді қолданады. Бұл теңдеулердің дәл шешімдері дифференциалдық теңдеулердің тек қана бірсыпыра кластарына белгілі. Көбінесе жуықты болатын сандық әдістерді қолдану керек болады. Басқару мақсаттарымен көбінесе динамикалық модельді кірудегі және шығудағы айнымалыларды байланыстыратын беріліс функция ретінде көрсетеді. Сызықты және сызықты емес модельдер.Математикадағы анықтама бойынша келесі L(λ1x1+λ2x2)=λ1L(x1)+λ2L(x2) шарт орындалса L(x) функциясы сызықты болады. Сол сияқты көп өлшемді функциялар үшін сызықты функцияда тек қана алгебралық қосу және айнымалыны тұрақты коэффициентке көбейту операциялары қолданылады. Егер де модель операторының өрнегінде сызықты емес операциялар болса, модель сызықты емес болады, кері жағдайда – сызықты. Жинақталған және таратылған параметрлері бар модельдер.Біздер кіргізген терминология бойынша модель атауында “параметрлер” сөздің орнына ”күй координатасы” түсініктемесін қолдану дұрыс болар еді. Бірақ бұл технологиялық процестерді модельдеу тақырыбы бойынша жұмыстардың бәрінде кездесетін қалыптасқан атау. Егер де процесс айнымалылары уақыт бойынша, сонымен бірге кеңістік бойынша да (немесе тек кеңістік бойынша) өзгеретін болса, онда осындай процестерді бейнелейтін модельдер таратылған параметрлері бар модельдер деп аталады. Бұл кезде z=(z1,z2,z3) геометриялық кеңістігі еңгізіледі және теңдеулердің түрі келесідей болады: y(z)=φ[p(z),z,x)], p(z)=ψ[y(z),z,x]. Олардың математикалық бейнелеуі әдетте дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерден немесе қарапайым дифференциалдық теңдеулерден (жалғыз кеңістік координатасы бар стационарлы процестерде) тұрады. Егер де объекттің күй координаталар мәндерінің кеңістік бойынша біркелкі еместігін есепке алмауға болса, яғни келесі градиент  болса, сәйкес модель – жинақталған параметрлері бар модель болады. Олар үшін масса мен энергия бір нүктеде жинақталған сияқты.Кеңістіктің өлшемі міндетті түрде 3-ке тең болмауы мүмкін. Мысалы, жылытылатын жұмыс ортасы бар және жұқа бүйірлі сырты бар құбырдың моделі әдетте объекттің бір өлшемділігін қолданады – тек қана құбыр ұзындығы есептелінеді. Сонымен бірге, қалың бүйір арқылы жұмыс ортаның шектелген көлемге жылы тасымалдау процесі де тек қана бүйір жуандығын есепке алатын бір өлшемді модельмен бейнелене алады, т.б. Белгілі объекттер үшін сәйкес теңдеулердің түрі негізделуі керек. Уақыт бойынша үздіксіз және дискретті модельдер.Үздіксіз модельдер жүйелердегі үздіксіз процестерді бейнелейді. Уақыт үздіксіз аргумент ретінде қарастырылатын объект күйін бейнелейтін модельдер уақыт бойынша үздіксіз модель болады: y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)]. Дискретті модельдер дискретті болып табылатын процестерді бейнелеуге қолданылады. Дискретті модель объект жүріс-тұрысын дискретті уақыттың аралықтарында болжай алмайды. Егер де уақыт бойынша ∆t қадамымен кванттауды еңгізсек, онда  шкала қарастырылады, мұнда i=0,1,2… дискретті уақыт мағынасы болады. Сонда дискретті модель келесі түрде болады:y(i)=φ[p(i),x(i),∆t]; p(i)=ψ[x(i),y(i),∆t]. ∆t қадамы дұрыс таңдалынса, дискретті модельден алдын ала берілген дәлдікпен нәтижені алуға болады. ∆t өзгерсе, айырымдық теңдеудің де коэффициенттері қайта есептелінуі керек. Дискретті-үздіксіз модельдер. Егер де үздіксіз процестермен бірге объектте дискретті процестер бар екендігін көрсету керек болса, дискретті-үздіксіз модельдер қолданылады. Дәріс №3. Тақырып: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі түріндегі математикалық модельдер . Қарастырылатын сұрақтар: Қолдану салалары. Негізгі ұғымдар. Үлгілерді қалыптастыру мысалдары. Шешу әдістері. Тікелей әдістер. Гаусс Әдісі. LU&ыдырау әдісі. Матрицалық әдіс. Итерациялық әдістер. Қарапайым Итерация әдісі (дәйекті жуықтау әдісі). Зейдель Әдісі. Кейбір физикалық жүйелерді зерттеу сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) түріндегі математикалық модельдерге әкеледі. Кейде САТЖ шешу қажеттілігі техникалық объектіні талдау немесе жобалау процесінде неғұрлым күрделі мәселені шешудегі аралық қадам (кезең) ретінде пайда болады. Сызықтық немесе дискретизация арқылы күрделі сызықты емес жүйелердің математикалық модельдері САТЖ шешіміне дейін азайтылатын ғылыми-техникалық мәселелердің едәуір саны бар. Мәселелерді шешудің бұл тәсілі Электротехника, жылу техникасы, акустика, электродинамика, гидродинамика, геофизика, Құрылыс механикасы және басқа да көптеген салаларда қолданылады. САТЖ статикалық модельдер класына жатады. Статикалық математикалық модельдер физикалық жүйелердің тұрақты (тепе-теңдік) жұмыс режимдерін сипаттайды. Оларда уақыт факторы ескерілмейді. Статикалық модельдерде t уақыты тәуелсіз айнымалы ретінде кірмейді. САТЖ математикалық аппаратын тарта отырып шешілетін міндеттердің мысалдары: 1) техникалық жүйелердің статикалық жағдайларын талдау. Объектінің жұмыс істеуінің статикалық режимі тұрақты сыртқы әсерлер кезінде оның барлық элементтерінің өзара әрекеттесу реакцияларының өзгермейтіндігімен сипатталады [2]; 2) Электр техникалық құрылғыларды жобалау және пайдалану кезінде олардың стационарлық режимдердегі жұмысын есептеу және талдау қажет. Тапсырма тиісті эквивалентті схемаларды есептеуге дейін азаяды. Есептеу САТЖ қалыптастыру мен шешуге негізделген; 3) математикалық модельді құру кезінде эксперимент нәтижесінде алынған хi, yi өлшеу нәтижелері негізінде зерттелетін объектінің , y кейбір параметрлерін функционалдық тәуелділікпен байланыстырамын , мұндағы i = 1 , 2, 3,..., N (деректерді жуықтаудың есептері); 4) айырымдық әдістермен қарапайым диф ференциалдық теңдеулер үшін шекті есептерді шешу кезінде; 5) математикалық модельдері жартылай туынды дифференциалдық теңдеулер класында құрылатын жүйелердегі процестерді зерттеу кезінде. Белгілі бір жағдайларда бастапқы модельді айырмашылыққа жақындату (іріктеу) нәтижесінде олар САТЖ түрінде математикалық қатынастарға келеді; 6) көптеген физикалық процестердің мәні Интегралдық теңдеулер арқылы математикалық түрде көрінеді. Олардың көпшілігін шешудің күрделілігіне байланысты зерттеуші белгілі жуықтау немесе іріктеу әдістерін қолдана отырып, САТЖ түріндегі модельді шешу мәселесін азайтуды жөн көреді; 7) автоматты реттеу жүйелерін тұрақты режимде зерттеу көптеген жағдайларда САТЖ түріндегі статикалық модельдерге әкеледі; 8) тепе-теңдік жағдайында Инженерлік конструкциялар мен құрылыстардың беріктігі мен орнықтылығын талдау. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйенің шешімін сандық әдісте тура (дәл) және итерациялық әдістер деп бөледі. ТУРА әдісте жүйенің шешімі арифметикалық амалдардың ақырлы санымен шектелетіндігімен сипатталады. Тіке әдіске жататындар: Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі). Практикада сандарының реті 103 -нан аспайтын жүйелерді шешуде тура әдісті қолданады. ИТЕРАЦИЯЛЫҚ әдістер жуықтауға жатады. Бұл әдістер жүйенің шешімін бірдей схемамен есептелген, тізбектелген жуықтаулардың шегі ретінде анықтайды. Итерациялық әдістерге мыналар жатады: жәй итерация әдісі, Зейдель әдісі, градиенттік әдістер. Тура шешу тәсілдері Гаусс әдісі  (3.3) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы: берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады: 1 тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру. 2 кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу. Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады. Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты. |