1. Элементы комбинаторики
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
5.1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных. Наудачу выбирают ящики вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым 5.2. Приборы зафиксировали утечку газа на участке газопровода, 40% которого расположено под землей и 60% – под водой. Вероятность в течение суток обнаружить утечку на подземном участке равна 0,7, а на подводном – 0,8. Какова вероятность, что утечка газа будет обнаружена не позже, чем через сутки 5.3. В воскресенье рано утром Петя решил пригласить одну из своих подруг покататься на лыжах. Маша и Вера согласятся на раннюю прогулку с вероятностью 0,1, а Лена – с вероятностью 0,05. Петя случайным образом набрал номер одной из трех своих подруги получил резкий отказ. Какова вероятность, что он позвонил Лене 5.4. В семье три дочери – Маша, Люба и Наташа – договорились, что каждый вечер одна из них будет мыть посуду. Старшая дочь, Маша, 48 моет посуду 3 раза в неделю, а остальные девочки – по два раза. Вероятность, что Маша разобьет тарелку, равна 0,02. Для Любы и Наташи эти вероятности соответственно равны 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но услышали звон разбитой тарелки. Помогите родителям выяснить, какая из дочерей с наибольшей вероятностью мыла посуду в тот вечер. 5.5. Два завода поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет 30% общего количества труби из них 95% стандартных. Завод В поставляет труба стандартных среди них 90%. Взятая наудачу труба оказалась нестандартной. Какова вероятность, что она изготовлена на заводе А 5.6. Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарного парка. Каждая из составляющих необходима для работы всего участка. Вероятность безотказной работы в течение времени T линейной части равна 0,9, а резервуарного парка – 0,8. Отказы в двух составляющих участка а) несовместны; б) независимы. Произошла авария. Какова вероятность, что она возникла только из-за неисправности линейной части 5.7. Из 20 студентов, сдающих экзамен, 8 подготовлены отлично знают все 40 вопросов, 6 – хорошо (знают 35 вопросов из 40), 4 – средне (знают 25 вопросов) и 2 – плохо (10 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три вопроса билета. Найти вероятность, что он подготовлена) хорошо, б) плохо. 5.8. Из 18-ти стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8; семеро – с вероятностью 0,7; четверо – с вероятностью 0,6 и двое – с 49 вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок 5.9. Страховая компания разделяет водителей потрем классам класс Н – низкого риска, класс Н – среднего риска, класс Н – высокого риска. 30% водителей попадает в первый класс, 50% – во второй класс ив третий класс. Вероятность в течение года попасть в аварию для водителя класса Н равна 0,01; для водителя класса Н 2 равна 0,02, а для водителя класса Н равна 0,08. Водитель Иванов в течение года попал в аварию. Какова вероятность, что он относится к классу Н к классу Н к классу Н 5.10. Водной урне лежат 5 белых и 3 черных шара, в другой – 2 белых и 7 черных. Из й урны наудачу переложили один шар во 2-ую урну, после перемешивания из ой урны также наудачу вынули один шар. Какова вероятность, что вынут белый шар Если известно, что из й урны вынут белый шар, то какова вероятность, что а) из ой урны во 2-ую был переложен белый шар б) вынутый белый шар первоначально лежал вой урне 5.11. У людей бывают четыре группы крови. При переливании крови больному необходимо учитывать совместимость поэтому параметру. Человеку с й группой можно перелить кровь донора любой группы больным с й или й группой можно переливать либо кровь той же группы, либо й группы. А человеку с группой I подойдет лишь кровь той же группы. 40% населения страны имеют I группу, II и III группы имеют по 25% населения, а 10% людей имеют IV группу. Найти вероятность, что а) случайно взятому больному можно перелить кровь одного случайно взятого донора б) случайно взятому больному можно провести переливание крови, если имеются два случайных донора. 5.12. На экзамен пришли 16 успевающих студента и 8 двоечников. Двоечник в среднем использует шпаргалку в 80% случаев, а успевающий студент только в 40%. После экзамена преподаватель нашел в аудитории шпаргалку. Какова вероятность, что ее уронил двоечник 5.13. Один стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, другой – с вероятностью и третий – с вероятностью 0,5. После залпа всех трех стрелков в мишени оказалось 2 пробоины. Какова вероятность, что промахнулся третий стрелок 5.14. В условиях предыдущей задачи после залпа трех стрелков в мишени оказалась только одна пробоина. Какова вероятность, что промахнулись й и й стрелки 5.15. Студент вовремя экзамена для решения сложной задачи решил воспользоваться мобильным телефоном, в котором записаны номера десяти его друзей. Пятеро адресатов могут решить задачу с вероятностью, четверо с вероятностью 0,5 и лишь один (обучающийся по специальности прикладная математика) с вероятностью 1. Первый же звонок другу позволил студенту правильно решить задачу. Какова вероятность, что он дозвонился до друга-математика? 5.16. 20% проблем с загрузкой компьютера связаны с ошибками, допущенными компанией Microsoft, ив одном случае из пятидесяти при этом приходится заново переустанавливать систему. 35% проблем связаны с наличием вируса (переустановка требуется водном случае 51 из 20). В остальных случаях проблемы возникают из-за действий пользователя, и переустановка требуется водном случае из 30. Ваш компьютер вышел из строя. Какова вероятность, что в этом виновата компания Microsoft, и Билл Гейтс принесет вам свои извинения 5.17. Впервой урне лежат 3 белых и 8 черных шаров, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наудачу переложили два шара во вторую урну, после чего из второй урны наудачу достают один шар, ион оказывается белым. 1) Какова вероятность, что из первой урны во вторую переложили два белых шара 2) Какова вероятность, что вынутый из второй урны шар первоначально находился впервой урне 5.18. Из двух монет одна имеет браки поэтому вероятность выпадения орла для нее равна 0,6. Наудачу взятая монета была подброшена два раза, и каждый раз выпадал орел. Какова вероятность, что была взята бракованная монета 5.19. Решить задачу 5.18, если известно, что монета подбрасывалась а) три раза б) n раз. 5.20. Впервой корзине лежат 4 белых и 2 подосиновика, во второй – 1 белый и 3 подосиновика. Ребенок переложил из первой корзины во вторую два гриба, после чего из второй наудачу достал два гриба, оказавшихся белыми. Какова вероятность, что при этом же условии из первой урны во вторую переложили белый и подосиновик два подосиновика Впервой урне лежат 9 белых и 1 черных шаров, во второй – 2 белых и 7 черных, в третьей, соответственно, 6 и 3. Из первой урны наудачу переложили один шар во вторую, а после перемешивания из второй урны переложили один шар в третью. Из третьей урны наудачу достали один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что при этом из первой урны во вторую переложили белый, а из второй в третью – черный шар Какова вероятность, что вынутый шар первоначально находился впервой урне во второй 5.22. Имеются три партии деталей по 20 штук в каждой. Число стандартных деталей в й, й и й партиях равно соответственно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвратили в туже партию и после перемешивания вторично извлекли из нее еще одну деталь, которая тоже оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третьей партии. 5.23. Экзаменатор решил помочь нерадивому студенту сдать экзамен по теории вероятностей. Вместе с двумя обычными билетами, ответы на которые студент не знает, он заготовил еще два билета с таблицей умножения на 2. Студент должен любым способом распределить эти 4 билета по двум кучкам. После чего, преподаватель наугад выбирает одну кучку, из нее случайным образом вынимает один билет и дает студенту. Как студент должен распределить билеты по кучкам, чтобы вероятность сдать экзамен была для него максимальной (таблицу умножения на 2 он знает 53 5.24. Из двух близнецов первым на свет появился мальчик. Какова вероятность, что следующим тоже появится мальчик, если среди всех близнецов вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равна p и q, а для разнополых близнецов вероятность рождения первым мальчика или девочки одинакова На шоссе одна за другой расположены две автозаправочные станции сначала компании «ВР», а затем – компании «Лукойл». 60% всех проезжающих шоферов принимают решение воспользоваться заправкой «ВР». При этом вероятность, что им это удастся сделать, равна 80% (остальные из-за большой очереди или отсутствия требуемого сорта бензина едут дальше. 15% из проехавших мимо автозаправочной станции «ВР» и 80% из тех, кому не удалось заправить на ней автомобиль, останавливаются затем на станции «Лукойл». Вероятность заправить автомобиль на АЗС «Лукойл» равна 85%. Остановленный инспектором ГАИ после двух автозаправочных станций автомобиль оказался заправленным. Какова вероятность, что его владелец воспользовался услугами ВРУ студента Вовы мобильный телефон звонит в среднем 5 разв час. Декан вызвал студента с объяснениями по поводу академической неуспеваемости ив течение 6 минут проводит с ним разъяснительную беседу. Если мобильный телефон студента Вовы за это время не зазвонит, то декан примет решение об отчислении студента с вероятностью, а если зазвонит, то с вероятностью 0,4. Какова вероятность, что после разговора с деканом студент будет отчислен 54 5.27. В передаче Поле чудес игроку показывают три шкатулки, водной из которых лежит приз. Игрок указывает на одну из шкатулок, после чего Якубович открывает одну из оставшихся, оказавшуюся пустой. Что лучше для игрока сохранить прежний выбор, или выбрать третью шкатулку Трое царских сыновей выпустили по одной стреле из лука. Для Бориса-царевича вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной- лягушкой равна 0,2, а в обычный пруд 0,6. Для Василия-царевича эти вероятности, соответственно, равны 0,4 и 0,3. Для Ивана-царевича эти вероятности равны 0,8 и 0,1. После испытания одна из стрел оказалась в пруду с Царевной-лягушкой. Какова вероятность, что это была стрела Ивана-царевича? |