1. Элементы комбинаторики
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
= P(A) P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) – P(A)P(B). По условию задачи 5 1 10 2 ( ) ; ( ) 15 3 15 3 P A P B , поэтому вероятность события С равна 1 2 1 2 7 ( ) 3 3 3 3 9 P ой способ Событие С является противоположным событию С ни из одной урны белый шар не вынут, те. оба шара ‒ черные. Поэтому 2 1 7 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 3 3 9 P C P C P A B P A P Здесь были использованы формулы вероятности противоположных событий 1 2 ( ) 1 ( ) 1 3 3 P A P A ; 2 1 ( ) 1 ( ) 1 3 3 P B P ПРИМЕР 2. Цепь, изображенная на рисунке, состоит из четырех элементов a 1 , a 2 , a 3 , a 4 . Вероятности работоспособности элементов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6 и 0,85. Какова вероятность прохождения тока по цепи 33 Решение Пусть событие С ‒ по цепи идет ток.Обозначим через) часть цепи, состоящую из элементов a 1 и a 2 , а через (II) ‒ часть цепи, состоящую из элементов a 3 и a 4 . Части (I) и (II) расположены вцепи параллельно, поэтому для прохождения тока по всей цепи должна быть исправна хотя бы одна из цепей (I) или (II). Поэтому С = А + B, где событие А ‒ исправна часть (I), а событие B ‒ исправна часть (II). Вцепи) элементы расположены последовательно. Для прохождения по ней тока оба элемента a 1 и a 2 , должны быть исправными. Вероятность этого события 1 2 ( ) 0,9 0,8 0,72 p Аналогично, цепь (II) исправна, если исправны оба элемента a 3 и Вероятность этого события 3 4 ( ) 0,6 0,85 0,51 p B p p . Здесь удобней найти вероятность противоположного события C (ток по цепи не идет. Событие C произойдет, если неисправны сразу обе части цепи (I) и (II). В силу независимости элементов цепи ( ) ( ) ( ) (1 ( ))(1 ( )) (1 0,72) (1 0,51) 0,1372 p C p A p B p A p Тогда искомая вероятность ( ) 1 ( ) 1 0,1372 0,8628 p C p C a 1 a 2 a 4 a 3 (I) (II) Рис К примеру 2 34 ПРИМЕР 3. В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось синего шара Решение й способ Событие А – вынуты два шара разных цветов событие пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность события А при условии, что событие B произошло ( ) ( / ) ( ) P AB P A B P Для вычисления вероятностей воспользуемся подходящими комбинаторными формулами 2 20 2 30 ( ) C P B C ; 1 1 12 8 2 30 ( ) C C P AB C . Здесь 2 30 C – всего способов вынуть 2 шара из 30, 2 20 C – способов вынуть 2 не синих шара из 20, 1 12 C – способов выбора одного белого шара из 12, 1 8 C – одного красного шара из 8. Следовательно 1 1 2 12 8 30 2 2 30 20 48 ( / ) 95 C C C P A ой способ Будем теперь рассуждать несколько иначе. Поскольку известно, что синие шары не вынимались, то всего существует возможных вариантов исхода опыта. Событие Ай вынутый шар белый, событие B i – й вынутый шар – красный (i = 1, 2). Если первым вынут белый шара вторым красный, то вероятность такого события 1 2 ( ) ( ) P C P A B 1 2 1 12 8 ( ) ( / ) 20 19 P A P B A . Если первым вынут красный шара вторым белый, то вероятность этого события 1 2 ( ) ( ) P D P B A 1 2 1 8 12 ( ) ( / ) 20 19 P B P Нас устраивают оба рассмотренных события, т.к. порядок извлечения шаров не имеет значения. Тогда, учитывая несовместность событий C и D, получаем искомую вероятность извлечения шаров разных цветов при условии, что ни один синий шар не вынут ( / ) ( ) ( ) ( ) P A B P C D P C P D 12 8 8 12 48 20 19 20 19 ПРИМЕР 4. В коробке лежат две конфеты с вареньем и четыре с суфле. Конфеты одинаковы по внешнему виду. Сестры Маша и Даша поочередно съедают по одной конфете (начинает Маша. Девочки договорились, что той, которой первой достанется конфета с вареньем, придется в этот день убирать квартиру. Какова вероятность, что квартиру придется убирать Даше Решение Маше придется убирать квартиру (событие A), если конфета с вареньем попадется ей либо на первом круге испытания событие A 1 ), либо нам (событие A 2 ), либо нам (событие A 3 ): 1 2 3 A A A A . Поскольку на двух девочек приходятся всего 6 конфет, более трех кругов испытаний проводить не придется. Обозначим через , ( 1, 2,3) i M i событие, состоящее в том, что Маша при своей той попытке взяла плохую конфету с вареньем. Через , ( 1, 2,3) i D i 36 обозначим событие, состоящее в том, что плохую конфету на той попытке взяла Даша. Событие A 2 произойдет, если в й раз Маша вынула конфету с суфле (событие 1 M ), затем такую же вынула Даша ( 1 D ), а уж затем Маше на ой попытке досталась конфета с вареньем событие 2 M ). Событие A 3 произойдет, если при первых четырех попытках вынимались конфеты с суфле. При этом хорошие конфеты оказались бы разобранными, и Маше при ее очередной, ей по счету, попытке обязательно досталась бы плохая конфета с вареньем. Запишем выражения для событий A 1 , A 2 , A 3 через исходы каждой из попыток 1 1 , A M 2 1 1 2 , A M D M 3 1 1 2 2 3 A M D События 1 2 3 , , A A A несовместны. Поэтому 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) p A p A p A p A . По теореме умножения имеем 1 1 2 1 ( ) ( ) , 6 3 p A p M 2 1 1 1 2 1 1 4 3 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( / ( )) , 6 5 4 5 p A p M p D M p M M D 3 4 3 2 1 1 ( ) 1 6 5 4 3 15 p Теперь получаем искомую вероятность 1 1 1 9 3 ( ) 3 5 15 15 5 p A 37 Таким образом, Маша (которая брала конфету первой) будет убирать квартиру с вероятностью 3/5, а Даша ‒ с вероятностью 2/5. Быть первым всегда труднее) Задачи к разделу 4 4.1. В урне лежат 3 черных и 5 белых шаров. Из урны по очереди вынимают три шара. Событие A ‒ первые два шара белые, ай черный событие B ‒ среди вынутых шаров два белых, а один черный Какова вероятность этих событий Какая из вероятностей больше и почему 4.2. В ящике шкафа лежат 10 красных и 6 синих носков. Студент, не глядя, вынимает из ящика два носка. Какова вероятность, что вынутые носки окажутся одного цвета и студент сможет поехать на занятия в институт 4.3. Решить туже задачу, если носки лежат в двух ящиках, причем в первом 5 белых, 11 черных и 8 красных носков, а во втором, соответственно и 6. Студент один носок берет из первого ящика, а другой из второго. 4.4. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 , авто- рым стрелком – 0,6. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность событий а) только один из них попадет в цель б) хотя бы один из стрелков промахнулся 4.5. В условиях задачи 4.4 стрелки делают по два выстрела. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель 4.6. Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число окажется кратным а) 2 или 5, б) 2 и 5 ? 38 4.7. В лабораторию для анализа поступило 7 канистр с бензином. Из сопроводительных документов известно, что три из них содержат бензин типа А, две – типа В и две – типа С. Наугад вскрыли три бочки. Какова вероятность обнаружить в них бензин всех трех типов 4.8. Первый пресс штампует стандартные болты с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью 0,95. На первом прессе изготовили 3 болта, а на втором – два. Какова вероятность, что все 5 болтов стандартные 4.9. Вероятность появления неисправности в автомобиле Лада При- орав течение одного дня равна 0,05. Какова вероятность, что в автомобиле не возникнет ни одной неисправности в течение трех дней 4.10. Глубинный манометр испытывают на герметизацию. Проводят не более 5 испытаний, при каждом из которых манометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первой поломки манометр ремонтируется, а после второй – признается испорченным. Какова вероятность, что после пяти испытаний манометр будет признан негодным 4.11. В нефтеносном районе бурят одновременно 6 скважин. Каждая из скважин вскрывает месторождение независимо от других с вероятностью. Какова вероятность вскрытия месторождения Изменится ли эта вероятность, если работает одна буровая установка, которая прекращает бурение при вскрытии месторождения Сколько нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрытия месторождения превысила 0,7? 4.12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Студент Карапузов может ответить на первый вопрос с вероятностью 0,9; на второй на третий вопрос – с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что студент Карапузов сдаст экзамен, если для этого надо а) ответить на все вопросы б) ответить хотя бы на два вопроса 4.13. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Какова вероятность, что из трех заданных вопросов студент будет знать не менее 2? 4.14. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,6; второго – 0,7. Найти вероятности событий A – только один стрелок попал в мишень B – хотя бы один из стрелков попал в мишень C – ни один из стрелков не попал D – по крайней мере один из стрелков не попал в мишень. 4.15. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на риса, б, в, где. Вероятность работоспособности элемента равна p k . Элементы работают независимо друг от друга. Для каждой из схем найти вероятность прохождения тока по цепи. a 3 a 6 a 3 б a 1 a 4 a 2 a 5 a 3 a 4 г a 1 в a 3 a 4 a 1 a 2 40 Рис. 8. К задаче 4.15 4.16. Гардеробщица выдала номерки четырем джентльменам, сдавшим свои цилиндры, но затем перепутала головные уборы и повесила их наугад. Найти вероятности событий A – каждый джентльмен получит свой цилиндр B – ровно три джентльмена получат свой цилиндр C – ровно два человека получат свой головной убор D – ровно один получит свой цилиндр E – никто не получит своего цилиндра. 4.17. Какое из двух событий более вероятно событие А – при одновременном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна единица или событие В – при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз выпадут две единицы 4.18. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет орел. Определить вероятности выигрыша для каждого игрока. 4.19. Три человека по очереди подбрасывают монету. Тот, у кого раньше выпадет решка, выигрывает. Какова вероятность выигрыша каждого из игроков a 1 a 2 a 3 a 4 a 2 a 3 де 41 4.20. Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет шестерка. Определить вероятности выигрыша для первого и для второго игроков. 4.21. Вероятность получения студентом НЧ. положительной оценки на экзамене равна 0,2. Сколько пересдач потребуется студенту НЧ. для того, чтобы сдать экзамен с вероятностью, большей 0,8? 4.22. Студент может сдать экзамен по математике с вероятностью 0,5. Если он воспользуется шпаргалкой, то его шансы повысятся до 0,7. Однако с вероятностью 0,3 шпаргалка будет обнаружена, и студента с экзамена удалят. Звонок другу повысит вероятность сдачи до 0,8. Однако в этом случае с вероятностью 0,25 он будет застигнут за этим неблаговидным занятием, а на пересдаче его шансы понизятся в два раза. Как лучше поступить студенту 4.23. В целях экономии государственных средств Иван-царевич решил, что он должен жениться на девушке, день рождения которой совпадает сего днем рождения. Сколько девушек ему придется опросить, чтобы среди них оказалась хотя бы одна потенциальная невеста с вероятностью не менее 0,5? 42 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса сли событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н, Н, …, Н, образующих полную группу, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности где Р(Н i ) – вероятность гипотезы Н (очевидно, что должно выполнятся равенство 1 ( ) 1 n i i P H ). Вероятность РАН) представляет собой условную вероятность наступления события А, если гипотеза Н i верна. С формулой полной вероятности связана формула Байеса , позволяющая переоценить вероятности гипотез Н, Н, …, Несли известно, что в результате опыта событие А произошло. А именно, если вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) были Р(Н 1 ), …, Р(Н n ), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) могут быть найдены по формулам , Е 1 ( ) ( ) ( / ) n i i i P A P H P A H 1 2 ( ) ( / ) ( / ) , , , ..., ( ) k k k P H P A H P H A k n P A 43 где вероятность события А находится по формуле полной вероятности. При этом, поскольку события Н, Н, …, Н несовместны и образуют полную группу, по-прежнему, справедливо соотношение 1 1 ( / ) n k k P H A ). ПРИМЕР 1. Водной урне лежат 6 белых и 4 черных шара, в другой – 4 белых и 3 черных. Из й урны наудачу переложили во 2- ую урну один шара после перемешивания из ой урны наудачу достали один шар, который оказался белым. Какова вероятность а) что из первой урны во вторую был переложен белый шар б) что вынутый из ой урны белый шар первоначально находился впервой урне Рис. 9. К примеру 1 Решение а) Пусть событие А – из второй урны вынут белый шар. Рассмотрим две гипотезы гипотеза Низ первой урны был переложен белый шар, гипотеза Н – был переложен черный шар. Вычислим вероятности этих гипотез 1 2 6 3 4 2 ( ) , ( ) 10 5 10 5 P H P В случае выполнения гипотезы Н во второй урне оказываются 5 белых и 3 черных шара, поэтому условная вероятность вынуть белый шар из второй урны равна 1 5 8 ( / ) P A H . При реализации гипотезы Н во второй урне оказываются 4 белых и 4 черных шара, и условная вероятность вынуть белый шар равна 2 4 1 ( / ) 8 2 P A По формуле полной вероятности получаем 1 1 2 2 23 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 40 P A P H P A H P H P A H . Теперь по формуле Байеса можно найти вероятность гипотезы Низ й во 2-ую урну был переложен белый шар) при условии, что произошло событие А (из второй урны вынут белый шар 1 1 1 ( ) ( / ) 3 / 5 5 / 8 15 ( / ) ( ) 23 / 40 23 P H P A H P H A P A . б) Для нахождения вероятности того, что вынутый белый шар первоначально находился впервой урне, удобно считать, что на всех белых шарах впервой урне поставлена метка (рис. 9). Рассмотрим два несовместных события B 1 – из второй урны вынут белый шар сметкой вынут белый шар без метки. Тогда событие А (из й урны вынут белый шар) представляет собой сумму событий B 1 и B 2 : 1 2 A B B В задаче требуется найти условную вероятность события B 1 при осуществлении события А Имеем по формуле Байеса: 45 1 1 1 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) P B A P B P B A P A P Вероятность события А была найдена выше. Вероятность события найдем по формуле полной вероятности 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P B P H P B H P H P Здесь, по-прежнему, 1 2 3 2 ( ) , ( ) 5 5 P H P H . Заметим, что при выполнении гипотезы Н во второй урне оказывается 4 белых шара без метки, один ‒ сметкой и 3 черных шара, поэтому условная вероятность При выполнении гипотезы Н во второй урне оказываются 4 белых шара без метки и 4 черных шара, поэтому условная вероятность 1 2 ( / ) 0. P B H В результате получаем 1 3 1 2 3 ( ) 0 5 8 5 40 P Теперь по формуле Байеса может быть найдена искомая вероятность того, что вынутый белый шар первоначально лежал впервой урне, те. произошло событие B 1 при условии А 1 3 40 3 ( / ) 23 40 23 P ПРИМЕР 2. Фермер поручил двум охотникам застрелить волка, пообещав им в случае успеха 35000 рублей. Первый, более опытный, охотник попадает в зверя с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью. Охотники встретили волка и одновременно выстрелили. 46 Волк был поражен одной пулей. Как охотники должны поделить премию Решение Пусть событие А – волк поражен одной пулей. Рассмотрим две гипотезы гипотеза Н – попал первый охотник, гипотеза Н – попал второй охотник. Событие А может быть выражено через события Ни Н следующим образом 2 1 1 2 A H H H С учетом несовместности двух слагаемых и независимости событий Ни Н по формулам сложения и умножения вероятностей находим Условная вероятность события А (одно попадание) при осуществлении гипотезы Н (попадание первого охотника) равна вероятности промаха второго охотника 2 1 ( / ) ( ) 0,4 P A H P H . Аналогично, условная вероятность события А при осуществлении гипотезы Н 2 равна вероятности промаха первого охотника 1 2 ( / ) ( ) 0,1 P A H P Тогда по формуле Байеса 1 1 1 0, 9 0, 4 6 0, 42 7 ( ) ( / ) ( / ) ( ) P H P A H P H A P A , 2 2 2 0, 6 0,1 1 0, 42 7 ( ) ( / ) ( / ) ( ) P H P A H P H A P Премию охотники должны поделить в той же пропорции, в какой находятся условные вероятности их попадания 1 2 6 1 6 : 7 7 1 ( / ) ( / ) P H A P H A 47 Таким образом, первый охотник должен получит 6/7 частей премии, или 30000 рублей второй охотник должен получить 1/7 часть премии, то есть 5000 рублей. (Такой, на первый взгляд, не вполне справедливый дележ связан стем, что вероятность попадания го охотника велика, так что одно попадание, скорее всего, именно на его счету. Если бы попаданий было два, премию надо было делить поровну. Задачи к разделу 5 |