1. Элементы комбинаторики
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
= AB, б) A + A = A, в) A A = A, г) (A + B) – B = A ? 2.13. Событие A состоит в том, что при сдаче экзамена по математике хотя бы один из трех студентов получил положительную оценку. Что представляет собой событие ? 19 2.14. Связь между вычислительным центром и управлением магистральных трубопроводов осуществляется потрем каналам. По каждому каналу может быть передан сигнал , ( 1,2,3) i A i о нормальной работе или i A ‒ об отказе. При передаче сигнал может быть искажен, поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события B ‒ принят сигнал о нормальной работе объекта C ‒ принят сигнал об отказе. 2.15. Бросается игральная кость. Рассматриваются события A – выпало четное число очков B – выпало нечетное число очков C – выпало число очков, большее трех. Описать события (A + B) C, A C + + B, B C + A, (A + C) B. 2.16. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Определены события А – вынута дама В – вынута карта черной масти С – вынута дама пик. Дать описание событий (A+B) C, A C +B, B C + A, (A +C) B. 2.17. У студента в тумбочке вперемешку лежат серые и черные носки. Утром, собираясь в темноте на первую пару, он наудачу берет два носка. Пусть определены события А – вынуты носки разных цветов, В – ровно один из вынутых носков черный, С – вынуты носки одного цвета, D ‒ оба вынутых носка серые, E ‒ хотя бы один из вынутых носков серый, F ‒ не вынуто ни одного черного носка. Описать события F). В каких из перечисленных случаев студент сможет поехать учиться (В носках различного цвета на занятиях в университете появляться не принято. 20 3. Классическое определение вероятности. Задача о выборке. Геометрическая вероятность ероятность характеризует степень объективной возможности наступления данного события. События А i (i = 1, 2, …, называются равновозможными , если при реализации некоторого комплекса условий каждое из них имеет одинаковую возможность наступить или не наступить. Например, при бросании монеты равновоз- можно выпадение орла или решки, а при бросании игральной кости – равновозможным является выпадение любого количества очков от 1 до 6. Пусть достоверное событие представляет собой сумму n рав- новозможных и попарно несовместных событий А (i = 1, 2, …, n), то есть 1 n i i A , , i j A A i j Такие события образуют полную группу попарно несовместных событий. Допустим, что событие А представляет собой сумму некоторых m событий, выбранных из набора событий А. Тогда вероятность события А равна отношению числа m событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех равновозможных событий Это и есть классическое определение вероятности. В ( ) m P A n 21 ПРИМЕР 1. В урне лежат 15 шаров, из которых 6 белых и 9 чёрных. Какова вероятность, что а) один наудачу извлечённый шар будет белым б) вынутые наудачу два шара окажутся белыми Решение а) Проводимое испытание имеет n = 15 равновозможных исходов общее количество шаров в урне. Пусть событие А – извлечённый шар оказался белым. Для события А благоприятны m = 6 исходов количество белых шаров в урне. Следовательно, искомая вероятность б) Пусть событие B – два извлечённых шара оказались белыми. Проводимое испытание (извлечение двух шаров) имеет 2 15 n C равно- возможных исходов (способов выбора двух шаров из их общего количества шаров) без учета порядка следования. Благоприятен событию выбор любых двух белых шаров. Число способов выбора 2 белых шаров (без учета порядка) из их общего количества (6 штук) равно числу сочетаний из 6 элементов по 2: 2 6 m C . Следовательно, по классическому определению вероятности 2 6 2 15 1 ( ) 7 C P Задача о выборке Cреди предметов имеется отмеченных. Наудачу выбирают предметов. Найти вероятность, что среди выбранных ровно предметов окажутся отмеченными, где 0 k m 22 Решение Всего существует ! !( )! n N N C n N n способов выбрать n предметов из N (без учета порядка. Отмеченные k предметов должны быть отобраны среди их общего числа m. Количество способов отбора отмеченных предметов равно k m C . Среди отобранных также должно находиться n – k неотмеченных предметов из их общего количества. Существует n k N m C способов отбора неотмеченных предметов. Тогда общее количество благоприятных исходов испытания равно произведению k n k m N m C C . Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания n k k m N ПРИМЕР 2. В студенческой группе по списку значится 20 человек, среди которых 5 отличников. Совет факультета предлагает увеличить количество часов на изучение курса математики и решил узнать мнение студентов группы поэтому вопросу. Отличники поддерживают предложение деканата, а остальные студенты считают, что курс математики вовсе следует сократить. Из группы случайным образом были отобраны три человека, и их мнение было принято. Какова вероятность, что среди отобранных студентов большинство окажется отличниками, которые поддержат план Совета по увеличению объема учебной программы дисциплины Высшая математика 23 Решение Воспользуемся формулой, полученной в задаче о выборке. При этом роль отмеченных предметов играют отличники, те. N = 20 (общее количество студентов в группе, m = 5 (количество отличников (количество отобранных на конференцию. К благоприятным (для Совета) исходам относятся случаи k = 2 или k = 3 количество отобранных отличников. Тогда искомая вероятность 2 1 3 0 5 15 5 15 3 20 5! 15! 5! 15! 5 4 15 5 4 15 8 3!2! 1!14! 2!3! 0!15! 2! 1 2! 15 20! 20 19 18 57 17!3! 3! C C C C P C Вероятность достаточно мала – скорее всего, количество часов на изучение математики не увеличат. Геометрическая вероятность Пусть в область G наудачу бросается точка. Вероятность попадания в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади, объёму) и не зависит от её расположения и формы. Таким образом, если событие А – попадание точки в область g, являющейся частью области G, то мера мера ( ) ( ) ( ) g mes g P A G mes ПРИМЕР 3. Вкруг радиуса R вписан правильный треугольник. Вкруг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри треугольника (рис. 5). 24 Рис. 5. К примеру 3 Решение Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга 2 2 3 3 3 3 0, 4137. 4 ПРИМЕР 4. На отрезке [0; 2 ] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х ух. Решение По условиям опыта координаты точки (х у) удовлетворяют системе неравенств 0 2 0 2, x y то есть точках у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в случае, если точка попадет в область g, определяемой неравенствами х ух. На рис. 6 эта область заштрихована. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (g) к площади квадрата (G). R 25 Имеем 2 2 0 1 4 mes ( площадь ( ) , 4 3 mes ( ) 2 2 4 g g x x dx G Тогда получаем искомую вероятность Задачи к разделу 3 3.1. В урне лежат 7 белых и 8 черных шаров. Вынули один шар, который оказался белым. Затем из урны взяли еще один шар. Какова вероятность, что он также белый Решить эту же задачу при условии, что цвет первого вынутого шара неизвестен. 3.2. Брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения шестерки Какова вероятность выпадения числа, большего четырех 3.3. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность, что это буква А Какова вероятность, что это гласная Рис К примеру 4 2 0 y 2 1 x g G mes ( ) 1 mes ( ) 3 g P G 26 3.4. Брошены три монеты. Какова вероятность, что выпадут два герба Какова вероятность, что выпадут две решки Объяснить, почему полученные вероятности равны. 3.5. На 6 карточках написаны буквы А, В, КМ, ОС. Карточки наудачу раскладываются вряд. Какова вероятность, что получится слово МОСКВА 3.6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются три буквы и располагаются вряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА 3.7. Среди 25 экзаменационных билетов только 5 хороших. Студенты Иванов и Петров по очереди берут по одному билету. Найти вероятности событий A – Иванов взял хороший билет B – Петров взял хороший билет C – оба студента взяли хорошие билеты. 3.8. Зимние шины автомобиля должны иметь определенное направление вращения, поэтому полный их комплект состоит из двух левых и двух правых шин. При монтаже автолюбитель забыл об этом обстоятельстве и поставил колеса случайным образом. Какова вероятность, что все колеса будут стоять правильно Какова вероятность, что только два колеса поставлены на нужную сторону автомобиля 3.9. Среди 100 изготовленных деталей 4 имеют брак. Детали отправлены двум потребителям в соотношении 3:2. Какова вероятность, что бракованные детали достанутся 1) двум потребителям поровну 2) только первому потребителю 27 3.10. В ЕГЭ по математике для каждой из 10 задач раздела А нужно было выбрать один правильный ответ из х предложенных вариантов. Сколькими способами можно было ответить на вопросы раздела А Какова вероятность ответить правильно на 9 вопросов из 10, если ответы выбирать случайным образом 3.11. Ваня и Маша стоят в очереди в столовую. Кроме них в очереди еще 8 человек. Какова вероятность, что 1) Ваня и Маша стоят рядом 2) между ними стоят три человека 3.12. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный и 3 белых шара 3.13. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный, 2 белых и 1 красный шар 3.14. В ящике для обуви лежат 10 разных пар ботинок. Наудачу взяты два ботинка. Какая вероятность, что они образуют пару 3.15. У студента в тумбочке вперемешку лежат 3 серых и 5 черных носков. Утром, собираясь в темноте на занятия, он, не глядя, берет два носка. Какая вероятность, что они окажутся одного цвета 3.16. У студента в шкафу лежат 4 серых, 6 черных и 5 коричневых носков. Он наугад берет три носка. Какая вероятность, что среди них будет пара одного цвета 28 3.17. В лифт семиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности событий A – все пассажиры выйдут на 4 этаже B – все пассажиры выйдут на одном и том же этаже C – все пассажиры выйдут на разных этажах. 3.18. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность, что это число будет кратно 5? 3.19. Телевизионный канал в течение каждого часа показывает четыре блока рекламы по 5 минут каждый. Время показа блока назначается случайным образом. Какова вероятность, что включив телевизор, придется смотреть рекламу Какая вероятность, что рекламу придется смотреть не более 2 минут 3.20. После землетрясения на участке между мим километрами магистрального нефтепровода произошло повреждение. Какова вероятность, что повреждение расположено между мим километрами магистрали 3.21. В квадрат с вершинами О, АС) наудачу брошена точка M (x, y). Какова вероятность, что ее координаты удовлетворяют условию y < 2x ? 3.22. На отрезок AB длиной 12 наудачу брошена точка M. Найти вероятность, что площадь квадрата, построенного на отрезке AM, будет заключена между значениями 36 и 81. 3.23. Монета имеет диаметр 20 мм, а толщину 2 мм. Какова вероятность, что при падении она встанет на ребро 29 3.24. Стержень длины 1 метр сломали натри части, выбирая места разлома случайным образом. Какова вероятность, что из получившихся частей можно составить треугольник 3.25. Два танкера должны подойти на разгрузку к причалу 1 сентября, причем прибытие каждого равновозможно в течение этих суток. Первому танкеру на разгрузку нужен 1 часа второму 2 часа. Какова вероятность, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала 3.26. Задача о встрече. Студент договорился встретиться со своей подругой в вестибюле университета между тремя и четырьмя часами дня. Первый пришедший навстречу ждет товарища 10 минута потом уходит. Какова вероятность встречи друзей, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа 3.27. На клавиатуру компьютера капнула капля кетчупа радиуса r см. Найти вероятность, что она не протекла между клавишами, если клавиши имеют форму квадрата со стороной a см, а капля после падения не растекается. 30 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей ля нахождения вероятности результата операций над событиями используется ряд теорем. Вероятность суммы двух событий Аи находится по формуле а) Если события Аи несовместны , то формула (а) упрощается б) Формулы (1) также называют теоремой сложения вероятностей. Если события А, А, ….., А попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей самих событий (обобщение формулы б 1 1 ( ) ( ) n n n k P A A P A Вероятность противоположного события А определяется по формуле Вероятность наступления события А при условии, что произошло событие B, называется условной вероятностью и находится по формуле ( ) ( / ) ( ) P A B P A B P Д ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) P A B P A P B 1 ( ) ( ) P A P A 31 Из формулы для условной вероятности следует теорема умножения вероятностей двух событий События Аи называются независимыми, если условные вероятности совпадают с соответствующими безусловными, те. Р) = P(A /B) и P(B) = P(B/A). Для независимых событий Аи вероятность произведения равна произведению вероятностей Для вычисления вероятности произведения n событий А, …, А, (n > 2) используется формула 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( / ( )) ( / ( )) n n n P A A A P A P A A P A A A P A A Если события А 1 ,…,.А n независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей P(A 1 A 2 … A n )=P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) … P(A n ). 1 2 3 ( ) ( ) ( ) P A P A P ПРИМЕР 1. Водной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров ‒ белый. Решение Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар, событие B из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами. ( ) ( ) ( ) ( ) (Р Ай способ Интересующее нас событие С – хотя бы из одной урны вынут белый шар ‒ можно выразить через события Аи С = А + B. (Заметим, что событие С происходит также ив случае, если оба шара белые. Используя формулу суммы событий, получим С) = P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Так как события Аи независимы, то P(AB) |