Поверхность второго порядка. 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка

• Название: 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка
• Анкор: Поверхность второго порядка
• Дата: 06.01.2023
• Размер: 1.24 Mb.
• Имя файла: referat.doc
• Тип: Документы; #874172

CREATED by KID

Содержание.

• 
  Понятие поверхности второго порядка.
  
  1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
  
  
  
• 
  Классификация поверхностей второго порядка.
  
  1. Классификация центральных поверхностей.
  

 1°. Эллипсоид.

 2°. Однополостный гиперболоид.

 3°. Двуполостный гиперболоид.
 4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

 2°. Параболический цилиндр
• Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. 
   Эллипсоид.
   2. Гиперболоиды.
   

 1°. Однополостный гиперболоид.

 2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

 1°. Эллиптический параболоид.
 2°. Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

 1°. Конус второго порядка.
 2°. Эллиптический цилиндр.
 3°. Гиперболический цилиндр.
 4°. Параболический цилиндр.
Список использованной литературы.
1. «Аналитическая геометрия» В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z²+ 2a₁₂xy + 2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄x +2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄ =0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.
1
. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.
являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z² + а₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ • a₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ удовлетворяют условию :



Возможны следующие случаи :
 1°. Коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ одного знака, а коэффициента₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ противоположен знаку коэффициента а₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа



положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:


Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

 2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0, а₄₄ < 0. Тогда числа



положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:



Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его глав­ными осями.

 3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0, а₂₂ < 0, a₃₃ > 0, а₄₄ < 0. Тогда :



Обозначим эти числа соответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:


Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

 4°. Коэффициент а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0. Обозначим



соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде


Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка.



2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃z´² + 2а´₁₄x´ +2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄ =0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вы­численное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.


1°. Один из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равен нулю. Ради определенности будем считать, чтоa´₃₃ = 0 (если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам
Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁на a₁₁ , а´₂₂ на а₂₂ , а´₃₄ на p и а´₄₄на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Oxyz :
a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0 (9)

1
) Пусть р = 0, q = 0. ПоверхностьSраспадается на пару пло­скостей
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а₂₂одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а₂₂различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид
a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0 (10)
Известно, что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , qимеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. ци­линдр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , qимеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂имеют одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины



положительны.


Обозначая их соответственно через а² и b², мы приведем уравнение (10) к виду


Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду


3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами




(0, 0, ).
При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав­нении (9)


Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0 (13)
Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:



Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид



Это уравнение также легко может быть получено из (13).

 2°. Два из коэффициентовa´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, что a´₁₁= 0 и а´₂₂= 0 Перейдем от х,', у', z'к. новым координатам х, у, z по формулам :


Подставляя х', у' и z', найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃ на a_{33 ,} a´₁₄ на р,a´₂₄ на q и a´₄₄ на r , по­лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz:

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)
1
) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃ иr одинаковы, и вещественными, если знаки a₃₃ и r различ­ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид
a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
которое является уравнением параболического цилиндра с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1 . Эллипсоид.


Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии L_h пересечения эл­липсоида с плоскостями

z = h (20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции L^*_h ли­нии L_h на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид



Е
сли положить

то уравнение (21) можно записать в виде


т
. е. L^*_h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как L_h получается «подъемом» L^*_h на высоту h по оси Оz (см. (20)), то и L_h представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)
Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.


Эллипсоид .


2. Гиперболоиды.

 1°. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

у равнению (4) однополостного гиперболоида


Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.




 2°. Двуполостный гиперболоид.

Из канонического уравнения (5) двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.




3. Параболоиды.

 1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида


мы видим, что для него Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.




 2°. Гиперболический пара­болоид. Из канонического уравнения (15)
гиперболического параболои­да вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоско­стями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического пaраболоида.
Прим.: получение «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.
Линии z=h пересечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы



с полуосями





а при h < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)



с полуосями
И
спользуя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :
Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечение плоско­стью Oxz (Оуz), когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­ида плоскостью Oyz (Oxz).

Прим.:Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Г
иперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

 1°. Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М₀(х₀, у₀, z₀) ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

Т ак как точка М₀(х₀, у₀, z₀) лежит на конусе (6), то :

К
оординаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответ­ственно tx₀ , ty₀ , tz₀ , где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем t² за скоб­ку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на ко­нусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :
 2°. Эллиптический цилиндр.





Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

 3°. Гиперболический цилиндр.





Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

 4°. Параболический цилиндр.

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.