11 класс задание 8. 1. Иван составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Иван использует все пятибуквенные слова в алфавите A,
 Скачать 32.24 Kb.
|
|
1. Иван составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Иван использует все пятибуквенные слова в алфавите {A, B, C, D, E}, удовлетворяющие такому условию: кодовое слово не может начинаться с буквы E и заканчиваться буквой A. Сколько различных кодовых слов может использовать Иван? Решение. Подсчитаем число возможных кодовых слов: на первом месте может стоять любая из четырёх букв, на втором, третьем и четвёртом местах любая из пяти букв, на пятом — любая из четырёх букв: 4 · 5 · 5 · 5 · 4 = 2000. Ответ: 2000. 2. Все четырёхбуквенные слова, составленные из букв П, А, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так: 1. АААА 2. АААП 3. АААР 4. АААС 5. АААУ 6. ААПА … Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы У? Решение. Заменим буквы на цифры следующим образом: А — 0, П — 1, Р — 2, С — 3, У — 4. Получаем список: 1. 0000 2. 0001 3. 0002 4. 0003 5. 0004 6. 0010 ... Для нахождения первого слова, которое начинается с буквы У, нужно найти номер УААА, то есть 4000. Используется пятибуквенный алфавит, значит, нужно найти значение числа 40005 в десятичном виде. Им является число 50010, но поскольку номер в списке на единицу больше самого числа, то остаётся добавить к получившемуся числу единицу. Получаем 501. Ответ: 501. 3. Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 5. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно три раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем? Решение. Количество способов поставить три 1 на пять позиций —  После того, как определили позиции трёх 1, на оставшиеся две позиции можем поставить любое из четырёх чисел, это можно сделать способами.Итого всего кодов.4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА …… Укажите номер первого слова, которое начинается с буквы О. Решение. Из трёх букв можно составить 35 = 243 пятибуквенных слова. Т. к. слова идут в алфавитном порядке, то первая треть (81 шт) начинаются с «А», вторая треть (тоже 81) – с «О», а последняя треть – с «У», то есть первая буква меняется через 81 слово. Т. е. со слова с номером 82 первой буквой будет О. Ответ: 82. 5. Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина? Решение. Заметим, что поскольку гласных и согласных поровну, слово может начинаться с как с согласной, так и с гласной. Также учтём то, что каждую букву нужно использовать только один раз. Поставим на первое место любую из трёх согласных. На второе — любую из трех гласных. На третье — любую из двух оставшихся согласных. На четвертое — любую из двух оставшихся гласных. На пятое — одну оставшуюся согласную. На шестое — одну оставшуюся гласную. По правилу произведения, соответствующие количества способов перемножаем. Учитывая, что на первое место можно поставить как согласную, так и гласную, Полина может составить 2 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1 = 72 различных кода. Ответ: 72. 6. Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно два раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем? Решение. Количество способов поставить две 1 на пять позиций — После того, как определили позиции двух 1, на оставшиеся позиции можем поставить любое из трёх чисел, это можно сделать способами.Итого всего кодов.Ответ: 270. 7. Все 4-буквенные слова, составленные из букв В, И, Р, Т, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ВВВВ 2. ВВВИ 3. ВВВР 4. ВВВТ 5. ВВИВ …… Запишите слово, которое стоит на 249-м месте от начала списка. Решение. Заменим буквы В, И, Р, Т на 0, 1, 2, 3 (для них порядок очевиден – по возрастанию). Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры: 1. 0000 2. 0001 3. 0002 4. 0003 5. 0010 ... Полученная запись есть числа, записанные в четверичной системе счисления в порядке возрастания. Тогда на 249 месте будет стоять число 248 (т. к. первое число 0). Переведём число 248 в четверичную систему (деля и снося остаток справа налево): 248 / 4 = 62 (0) 62 / 4 = 15 (2) 15 / 4 = 3 (3) 3 / 4 = 0 (3) В четверичной системе 248 запишется как 3320. Произведём обратную замену и получим ТТРВ. Ответ: Т Т Р В. 8. Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей? Решение. На первом месте может быть 5 букв, на втором 4, на третьем 4, на четвёртом 4. То есть всего различных комбинаций Ответ: 320. 9. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Н, П, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААН 3. ААААП 4. АААНА 5. АААНН …… Запишите слово, которое стоит на 201-м месте от начала списка. Решение. Заменим все буквы на цифры по правилу А=0, Н=1, П=2. Получим такой список: 1. 00000 2. 00001 3. 00002 ... Можно заметить, что теперь это ряд чисел, записанный в троичной системе счисления. Тогда на 201-м месте стоит число 200. Осталось только перевести его в троичную систему счисления, после чего записать с помощью букв в начальном алфавите. 20010 = 211023 21102 = ПННАП Ответ: П Н Н А П. 10. Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей? Решение. На первой позиции в слове могут быть все четыре буквы А, В, С и Х, а со второй по пятую — 3. Значит, всего можно составить 4 · 3 · 3 · 3 · 3 = 324 слова. Ответ: 324. 11. Все 5-буквенные слова, составленные из букв Л, Н, Р, Т, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ЛЛЛЛЛ 2. ЛЛЛЛН 3. ЛЛЛЛР 4. ЛЛЛЛТ 5. ЛЛЛНЛ Запишите слово, которое стоит на 150-м месте от начала списка. Решение. Заменим буквы Л, Н, Р, Т на 0, 1, 2, 3 соответственно. Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры: 1. 00000 2. 00001 3. 00002 4. 00003 5. 00010 ... Полученная запись есть числа, записанные в четверичной системе счисления в порядке возрастания. Тогда на 150-м месте будет стоять число 149 (т. к. первое число 0). Переведём число 149 в четверичную систему: 149 / 4 = 37 (1) 37 / 4 = 9 (1) 9 / 4 = 2 (1) 2 / 4 = 0 (2) В четверичной системе 149 запишется как 2111. Поскольку слова 5-буквенные, добавим в начале числа незначащий нуль, получим 02111. Произведём обратную замену и получим ЛРННН. Ответ: ЛРННН. 12. Ольга составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Ольга использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, E, X, причём буква X появляется ровно 1 раз и только на первом или последнем месте. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Ольга? Решение. Слова, используемые Ольгой имеют вид Х*** или ***Х, где на месте * может стоять любая из 5 букв, кроме буквы Х. На это есть 53 = 125 вариантов в первом случае и столько же во втором. Всего 250 вариантов. Ответ: 250. |