Математика. 1. Матрицы, виды матриц
 Скачать 76.48 Kb.
|
|
1. Матрицы, виды матриц Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов  Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой  Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом  Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной. Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы  Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной  Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной  Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю  2.Операции над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую неотрицательную степень, транспонирование. Сложение матриц: Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В cij = aij + bij Аналогично определяется разность матриц. Умножение матрицы на число: Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij. Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А. Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число: Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа. Умножение матриц (Произведение матриц): Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера. Свойства умножения матриц: Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)Т = ВТАТ; 7. (АВС)Т = СТВТАТ; 8. (А + В)Т = АТ + ВТ; 3. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:  Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:  Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.  Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка. 4.Свойства определителей матриц Свойства определителей матриц: Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т  Следствие: Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов. Свойство № 2: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:  Свойство № 3: Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.  Свойство № 4: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.  Следствия из свойств № 3 и № 4: Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю. Свойство № 5: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю. Свойство № 6: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:  Свойство № 7: Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.  5.Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.Миноры матрицы Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij. Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:  тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель:  При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:
, знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j. Алгебраические дополнения: Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Аij = (-1)i+j × Мij. Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Обратная матрица и её вычисление.Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.  Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица  , где Аij - алгебраическое дополнение элемента аij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы). Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А-1 = А-1 × А = Е , где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А. Обратная матрица Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Для получения обратной матрицы используют формулу:  , где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А.  |
