Математика. 1. Матрицы, виды матриц
![]()
|
1. Матрицы, виды матриц Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов ![]() Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой ![]() Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом ![]() Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной. Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы ![]() Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной ![]() Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной ![]() Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю ![]() 2.Операции над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую неотрицательную степень, транспонирование. Сложение матриц: Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В cij = aij + bij Аналогично определяется разность матриц. Умножение матрицы на число: Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij. Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А. Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число: Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа. Умножение матриц (Произведение матриц): Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера. Свойства умножения матриц: Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)Т = ВТАТ; 7. (АВС)Т = СТВТАТ; 8. (А + В)Т = АТ + ВТ; 3. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: ![]() Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: ![]() Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей. ![]() Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка. 4.Свойства определителей матриц Свойства определителей матриц: Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т ![]() Следствие: Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов. Свойство № 2: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.: ![]() Свойство № 3: Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. ![]() Свойство № 4: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя. ![]() Следствия из свойств № 3 и № 4: Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю. Свойство № 5: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю. Свойство № 6: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле: ![]() Свойство № 7: Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины. ![]() 5.Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.Миноры матрицы Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij. Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка: ![]() тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель: ![]() При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:
, знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j. Алгебраические дополнения: Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Аij = (-1)i+j × Мij. Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Обратная матрица и её вычисление.Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка. ![]() Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица ![]() , где Аij - алгебраическое дополнение элемента аij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы). Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А-1 = А-1 × А = Е , где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А. Обратная матрица Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Для получения обратной матрицы используют формулу: ![]() , где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А. ![]() |