1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень
х — с уравнения (1) находится внутри отрезка |о, Ь] (и <'с <: Ь).
Предположим также, что на [a, ft] функция /'(л)'имеет непрерывные
производные f (х) и /" (,г) постоянного знака, а ее значения )' (а) и
f (ft) — противоположных знаков. Выполнение этих условий обычно
достигается за счет уменьшения отрезка [a, ft]. Постоянство знака
f (х) указывает на монотонность функции f (х) на [a, ft] (либо только
возрастание, либо только убывание). Следовательно, в обоих слу-
чаях кривая // = /'(*) иа участке [a, ft] пересекает ось ОХ только
один раз, то есть х = с будет единственным корнем на [a, ft].
Постоянство же знака /' (х) на [a, ft] указывает на то, что направ-
ление вогнутости на этом отрезке не меняется.
Дугу кривой y = f(x) на [a, ft] заменим хордой, соединяющей
точки А(а, /(a)) и B(ft, f(ft)) (рис. 131). Примем —абсциссу точки
пересечения хорды с осью ОХ—за первое приближение корня.
Очевидно, \с — xx|
Для этого достаточно составить уравнение прямой, проходящей
через две точки А и В:
х — а __ y—f(a)
Ь—а f(b)—f(a)’ W
288 I
и подстановкой в это уравнение z/ = 0 найти точку пересечения
прямой (а значит, и хорды) с осью ОХ. Будем иметь:
х — а __ —f (а)
b — a
f(b) — f [а)'
Отсюда
X1 = а
(a) f
Эта формула, как ниже будет видно, является основной расчет-
ной формулой метода хорд. Случаи, отвечающие четырем комбина-
циям знаков f (х) и f” (х) изображены на рисунке 132 Как видно
из чертежей, во всех четырех случаях хг лежит между а и b с той
стороны от корня с, где fix') имее1 знак, противоположный знаку
f" (х) (последнее можно доказать и аналитически).
Практически в каждом из случаев определяем знак /(xj и,
сравнив его со знаками f (а) и f(b), выберем тот из двух отрезков
fa, xj и [хх, Ь}, на концах которого значения функции имеют
разные знаки. На кем и будет находиться искомый корень с.
Предположим для определенности, что на [а, Ь] производные
f (х) и /" (х) положительны (в остальных случаях рассуждения
ведутся аналогично). Тогда лу будет лежать между а и с. Следо-
вательно, корень с находится внутри отрезка [хх,Ь]. Применим
к этому отрезку снова формулу (3), положив в ней а = хх. Получим:
Ь -— Лл £. / .
Х2=Х1^_7^/(Х1).
Значение х2 оказывается между лу и с. Следовательно, с находится
внутри отрезка [х2, Применив к нему снова формулу (3), получим:
Х3 = х2 — f (-ч) >
и т. д. На п-м шагу (/г>1) будем иметь:
Хч == хл_1 - ’ f (x«-i) • (4)
В результате получится последовательность все более и более
точных значений корня. При этом, как видно из рисунка 131, все
они будут лежать с той же стороны от корня с, что и х1( то есть
а < < х% < х3
Заметим, что при сохранении знаков у f (х) и f" (х) можно
сделать следующий вывод: если значение f (хг) оказалось противо-
положного знака по сравнению с f(b), то f (х„) и при всех после-
дующих значениях п будет противоположного знака по сравнению
с /(&). Если же / (Xi)—противоположного знака по сравнению
с f(a), то этим же свойством обладают и все последующие зна-
чения f(xn).
Остается установить, что последовательность (5) сходится к с.
Действительно, эта последовательность возрастает и ограничена
с.
10 Бохан и др.
289
сверху. Значит, она имеет конечный предел d^c. Переходя
в равенстве (4) к пределу с учетом непрерывности f (х), получим:
d = d
f(b)-f(d)
Отсюда заключаем, что f(d) = O, то есть d— корень уравнения (1).
Но поскольку на [а, Ь] имеется только один корень, то d — c и
lim хп — с.
п -> со
Оценку погрешности приближения хп корня с можно получить
с помощью формулы Лагранжа:
f (хп) —f(c)= f (х0) (х„ — с), где х„ < х0 < с.
Так как с—корень уравнения (1), то f(c) = O, и мы получим:
V Iv л.1___ I f (Xn) I
л c
rw п Н/'(*») Г
Обозначим через т наименьшее значение \f (х)\ на [хп, Ь]. Тогда
If' (x0)|2sm, и мы получим следующую формулу для оценки откло-
нения приближенного значения корня хп от истинного значения с:
(6)
Замечание. Предупреждаем читателя, что хотя в остальных
трех случаях комбинаций знаков f'(x) 11 f" W (Рис- 132) рассуж-
дения ведутся аналогично, но для них сохранится только фор-
мула (3). Что же касается формулы (4), то она может измениться.
Именно, если предположить, что f (х) и f" (х) имеют разные знаки
на [а, Ь\, то для п>1 получим:
(вывод этой формулы предлагается сделать самостоятельно). Срав-
нивая (4) и (4'), видим, что произошла замена хп1 на а, b на xn_f
Пример 1. Решить уравнение х* — 5 = 0 методом хорд.
Эта задача равносильна задаче об извлечении квадратного корня из 5. Рас-
смотрим функцию ((х) = ха —5. Так как f (1) = — 4, f (2) =— 1, f (3) = 4, то корень
уравнения находится внутри отрезка [2, 3]. Положив в формуле (3) а = 2 и ft = 3,
получим первое приближение корня хх:
Ч__9 1
-х = 2-43=7=Ту -(-1)=2+у = 2,2-
Поскольку /(х1) = ( (2,2) = 4,84 — 5 < 0, a f (3) > 0, то корень находится внутри
отрезка [2,2; 3]. Применим к этому отрезку формулу (3), положив а = 2,2 и ft = 3.
Получим:
xa = 2,2-4_(^80J6) • (-0,16) =2,23076.
В силу того что f (х) = 2х и f" (х) = 2 постоянного знака на [2, 3], нет необ-
ходимости дальше определять знак / (хя); это значение будет отрицательным при
всех п.
290
Применим к отрезку [2,23076; 3] снова формулу (3). Получим:
ха = 2,23076 + ^g76 0,02372 = 2,23529.
Подсчитаем, какова будет погрешность приближения, если остановиться на
значении х3 Воспользуемся формулой (6). Производная f' (Х) = 2х есть возра-
стающая функция. Следовательно, на рассматриваемом отрезке [х3, ft] ее наимень-
шее значение равно значению па левом конце, то есть m = f' (х3) = 2 • х3 = 4,47058.
Найдем f (х3) — 0,00348. Тогда
I 0,0007 < о,ooi.
Если по условию конкретной задачи такая точность вычисления корня достаточна,
то можно остановиться па х3. В противном случае процесс приближения следует
продолжить.
Рассмотренный нами метод хорд иначе называют методом линей-
ной интерполяции. Такое название метод получил из-за того, что
в его основе лежит замена данной функции / (х) на каком-то участке
[а, й] линейной функцией у=
= f(a) + -5-2—^-7(х—а), полу-
чаемой из равенства (2). При
этом ее значения на концах [a, й]
совпадают со значениями функ-
ции /(х) (см. рис. 131).
2. Метод касательных.
Пусть на [а, Л] находится только
один корень с уравнения (1).
Предположим также, что на
Рис. 133.
этом отрезке существуют непре-
рывные производные f (х) и f" (х)
постоянного знака, а значения
функции /(а) и f (b) — противо-
положных знаков.
Идея метода касательных
состоит в том, что дуга кривой
у = f (х) на [а, й] заменяется
касательной к этой кривой,
проведенной в одной из точек
A (a, f (а)) и В (b, f (&)) (рис. 133),
и после этого абсцисса х(
точки пересечения касательной
с осью ОХ принимается за
первое приближение корня с.
При этом касательную следует
чтобы она пересекалась с осью
Рис. 134.
провести в той из точек А и В,
ОХ во внутренней точке [а, Ь], то
есть чтобы точка х) оказалась ближе к корню с, чем точки а и Ь.
В зависимости от комбинаций знаков /'(х) и f" (х) возможны
четыре случая, изображенные на рисунке 134. Как видно из черте-
10*
291
Жей, касательную нужно проводить в той из точек А и В, ордината
которой одного знака с f" (х), так как в этом случае касательная
всегда будет пересекать ось ОХ во внутренней точке [а, Ь]. Если
же провести касательную в точке, ордината которой имеет проти-
воположный знак с f" (х), то она может пересечь ось ОХ и вне
отрезка [a, й]
Для определенности рассмотрим снова случай, когда /' (х)>0
и f" (х)>0 (в других случаях рассуждения аналогичны). Тогда
касательную к кривой следует провести в точке В (b, f (Ь)). Соста-
вим ее уравнение: y-f(b) =
§ —f (b) (х— 6). Положив в этом
./7 уравнении у = 0, найдем аб-
7/ сциссу точки пересечения каса-
7/7 / h тельной с осью ОХ:
/77 ,// 1/1 Х
Ь Т/У (7)
_______у ' I у Эта формула является основ-
Т| —ус *7 ной расчетной формулой метода
f/oii касательных.
Как видно из чертежа 135,
А точка х/ лежит между с и Ь.
Рис. 135. Следовательно, корень с нахо-
дится внутри отрезка [a, x'J.
Кроме того, значение f (х/) одного знака с f" (х). Применим к этому
отрезку формулу (7), приняв Ь = х\. Получим второе приближение
корня х'2:
/...
./
Далее, точка х4 лежит между с и xj, a f (х'2) одного знака с f" (х).
Применим к отрезку [а, х2'| формулу (7), приняв Ь — х'%. Получим:
/____________________________х' f (*2)
и т. д. На п-м шагу (п>1) будем иметь:
/___/ f (Х 2-1) /о\
Xn-X^i Г(х,п
1Г
В результате выделится последовательность все более и более точ-
ных приближений корня с:
Xj >х2
>х3'>
7
хп с.
Эта последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно,
она имеет какой-то конечный предел d/c. Осуществив в равенстве
(8) предельный переход с учетом непрерывности f (х) и f (х), полу-
чим равенство:
и и у •
292
Из последнего следует, что f (d) = 0, то есть d есть корень уравнения
(1), и, следовательно, c — d.
Формула (6), полученная нами для оценки погрешности прибли-
жения методом хорд, применима также и при приближении методом
касательных.
Пример 2. Решить уравнение V — 5 = 0 методом касательных.
Положим f(x) = xb — 5. Как уже установлено в примере 1, эта функция на
отрезке [2, 3] меняет знак с минуса на плюс и имеет на этом отрезке непре-
рывные положительные производные f {х) — 2х и f" (х) = 2. Следовательно, каса-
тельную к кривой у = х2— 5 нужно проводить в точке В (3; 4). Воспользуемся
формулой (7), положив в ней 6 = 3. Получим первое приближение корня, х\:
Применив к отрезку |2; 2yj снова формулу (7), найдем второе приближение
корня, х2':
' 3 21 21 •
Третье приближение корня получим, если применим формулу (7) к отрезку
х3' = 2 2,23607, и т. д.
& 1 Уо I
Определим с помощью формулы (6), какова будет погрешность вычисления
корня, если остановиться на х3'. Так как производная f'(x) = 2x есть возраста-
ющая функция, то наименьшим ее значением на отрезке |з; 2 g-p j будет значение
/'(2) = 4, то есть т = 4. Значение Длг3') = (2.23607)® —5 = 0,00001. Следовательно,
, , , 0,00001
| х’я — с\ <---—
0,0000025.
Полученное нами приближенное значение корня является, как легко видеть,
значением с избытком, то есть с <. х3' =2,23607, в то время как при решении
этого же уравнения методом хорд (пример 1) получено приближение с недостат-
ком х3 = 2,23529 <; с.
Заметим, что рассмотренные нами методы приближенного реше-
ния уравнений обладают тем общим недостатком, что каждый из
них приводит к последовательности приближений только с одной
стороны от истинного значения корня с. Поэтому не представляется
возможным хорошо оценить допускаемую погрешность. Кстати ска-
зать, формула (6), которой мы пользовались при оценке прибли-
жений в примерах 1 и 2, во многих случаях дает слишком грубую
оценку. Фактически погрешность часто оказывается гораздо меньше,
чем показывает формула (6).
Если же метод хорд объединить с методом касательных, то есть
приближаться к истинному значению корня с одновременно с двух
сторон (хорда и касательная пересекают ось ОХ по разные стороны
293
от корня), то на первом шагу (при f (х) > О и f" (х) > 0) получим,-
XiCccx/.
На втором шагу вместо отрезка [а, &] уже рассматриваем отре-
зок [хъ х/] (рис. 135). Для него найдем
по формуле (4):
X, = X, — ттА------F7T f (х1)>
2 /(*1)
7(*1)
по формуле (8):
2 /(х/)
и снова х2<с<х2'. Затем рассматриваем отрезок [х2, х2'] и т. д.
На n-м шагу будем иметь: хп<с<хга', где для и>1 значения
хп и Хп вычисляются по формулам:
v __ v_______Х’п-1 ХП-1 f (v f (X'/l-l)
Хп'Хп^ f(x'„J)-/(x^1)-/^-i<’> Л<3)-
При этом lim х„ = lim х'„ = с.
Оценивая разность х„' — х„, получаем возможность сразу судить
о степени точности сделанных приближений. При таком комбини-
рованном методе приближений нет надобности ни в каких специаль-
ных формулах для оценки допускаемых погрешностей.
Пример 3. Найти все корни уравнения 2х — 4х = 0 с точностью до 0.0005.
Прежде всего заметим, что данное уравнение не имеет отрицательных корней,
так как при всех значениях х<0 будет 2* —4х>0.
Рассмотрим функцию f (х) = 2х — ix. Она непрерывная и имеет производные:
f (х) = 2Jf In 2 —4, f" (х) = 2* (In 2)“.
Из выражения производных видно, что функция убывает до некоторого зна-
чения аргумента х,„ при котором 2Ха 1п2 = 4 х0 = —— 2-—j , а потом посто-
янно возрастает; ее график вогнут вверх. Отсюда заключаем, что в точке х0
функция имеет минимум и пересечение ее графика с осью ОХ возможно не более
чем в двух точках. Это значит, что данное уравнение имеет не более двух
вещественных корней.
Для определения промежутков, содержащих корни, произведем последовательно
вычисления; /(0) —1, /(1)=—2, f(2)
—4, f (3) = — 4, f (4) — 0, f (5) — 12. Даль-
нейшие вычисления излишни, так как оба корня уравнения уже обнаружены:
один корень С] находится на отрезке [0, 1], а другой с2 = 4.
Найдем приближенное значение q с требуемой точностью.
На отрезке [0, 1] /'(х)<0, а /" (х)>0. Следовательно, функция на этом
отрезке убывает (от 1 до — 2) и ее график направлен вогнутостью вверх. В таком
случае (смотри соответствующий чертеж на рисунках 132 и 134) приближения по
методу хорд будут с избытком (справа от корня q), а приближения по методу
касательных —с недостатком (слева от q).
Положив в формуле (3) а = 0 и &=1, получим:
Х1 = 0---т-,п 1 . f (0) = | = 0,33333 ...==» 0,3334.
Формула же (7) при Ь = 0 дает:
294
При этом Xi — *] = 0,3334— 0,3023 = 0,0311, то есть точность приближения
на первом шагу недостаточна.
Проделаем еще один шаг, применив методы хорд и касательных уже к отрезку
(*n xj]. Предварительно вычислим значения, которые будут нужны:
t
/ (*>) = f = 2 3 - 4 • = 1,2600 - 1,3333 = - 0,0733,
f (х[) = 2»-3023 — 4 • 0,3023 = 1,2045 — 1,2092 = 0,0253,
/ (х;) = 2»’8|)гз • In 2—4= 1,2345 • 0,6931 —4 = —3,1444.
По формуле (3) при а — х[ и Ь^=хг находим:
х х-_____xi t —о 3023 I 0>03П • 0,0253—Q 3104
21 f (*i)-/(*]) U,AbW+ 0,0733 + 0,0253 u’3104-
По формуле же (7) при b — x't будем иметь:
0.3023+^_».з>оз.
Разность *,-*;=0,3104 - 0,3103 = 0,0001 показывает, что полученная точность
вычисления удовлетворяет заданной. Получили, что 0,3103 < с, < 0,3104. Любое
из чисел 0,3103 и 0,3104 можно взять за приближенное значение искомого корня
z,j и допускаемая при этом ошибка не превзойдет 0,0001. Их среднее арифмети-
ческое 0,31035 будет, очевидно, еще ближе к сх.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Почему при последовательном уменьшении промежутка, содержащего корень
(при комбинированном методе хорд и касательных), можно нижнюю его границу
округлять только в сторону уменьшения, а верхнюю—только в сторону увели-
чения?
2. Уточнить методом хорд корень уравнения *2—2 = 0, содержащийся на [1, 2|.
I
Найти хъ *2 и *8. Отв. *1 = 1^₽» 1,333; *2 = 1,394; хя = 1,412.
3. Уточнить методом касательных корень уравнения 3*=3*, отличный от еди-
ницы. Найти х[, *j и х',. Отв. *] = 0,53; л<.
=0,72, *'.==0,79.
4. Уравнение *4 + 6*2+14*2 —50=0 имеет два вещественных корня. Вычис-
лить их по комбинированному методу с точностью до 0,001.
Отв. *х =» — 3,155; *2 «= 1,425.
5. Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень
уравнения *6 — *===, содержащийся на отрезке (1; 1,1], Отв. с«= 1,04478.
О
i |
Скачать 29.92 Kb.