ггг. Документ Microsoft Word (2). Задача для бесконечной струны Слайд 2 Рассмотрим частный случай, в рамках которого уравнение колебаний получается

• Название: Задача для бесконечной струны Слайд 2 Рассмотрим частный случай, в рамках которого уравнение колебаний получается
• Дата: 08.11.2022
• Размер: 47.45 Kb.
• Имя файла: Документ Microsoft Word (2).docx
• Тип: Задача; #775674

Метод Даламбера

Задачадлябесконечнойструны

Слайд 2) Рассмотрим частный случай, в рамках которого уравнение колебаний получается сравнительно легко решить, а именно задачу о колебаниях бесконечной струны.

Представим себе очень длинную струну. Если длина достаточно велика, то влиянием концов струны на колебания, возникающие в ее средней части, можно пренебречь.

Следует отметить, что в процессе колебаний по струне влево и вправо бегут волны, которые, дойдя до концов, отражаются. Таким образом, если мы не учитываем влияние концов струны, то и влияние отраженных волн мы также не учитываем.

Будем рассматривать свободные колебания. Тогда задача будет выглядеть следующим образом: решить уравнение

²u

t²

 a²

²u

x² ,

(1)

при начальных условиях

u
t0

u

 f(x),
 F(x),

(2)

^tt0

где функции f(x) и F(x) заданы на всей числовой оси. Отметим отсутствие в этой задаче краевых условий для u(x, t): мы и не можем их поставить, т.к. струна считается бесконечной.

Слайд 3) Очевидно, задача (1), (2) является задачей Коши. Будем решать ее методомДаламбера, который называется также методомбегущихволн.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Покажем, что уравнению (1) удовлетворяет функция

u(x,t)  (x at)  (x at),

(3)

где  и  предполагаются дважды дифференцируемыми. Для этого нужно подставить эту функцию в уравнение (1) и убедиться, что получится тождество. Найдем предварительно соответствующие производные:

u^_x u^_x^_x

 ^(x at)  ^(x at),

 ^(x at)  ^(x at),

u_t^  a^(x at)  a^(x at),

^ut^t

 a²^(x at)  a²^(x at).

Тогда после подстановки в (1) получаем тождество:

a²^(x at)  a²^(x at)  a² (^(x at)  ^(x at)).

Теперь, когда мы знаем общее решение уравнения (1), необходимо определить неизвестные функции  и . Воспользуемся для этого начальными условиями. Пусть t= 0. Тогда

u(x,0)  (x)  (x),

u_t^(x,0)  a^(x)  a^(x),

Первое из условий (5), таким образом, даст нам выражение

( x)  ( x) f( x),