1 Московский энергетический институт

• Название: 1 Московский энергетический институт
• Анкор: SCT_1_1.pdf
• Дата: 08.05.2017
• Размер: 3.23 Mb.
• Имя файла: SCT_1_1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #7292
• страница: 4 из 5

C
, зависит только от топологии сетки.
Дискретизация двух оставшихся уравнений Максвелла в МКИ требует введения второй группы ячеек
G

, дуальной основному набору ячеек
G
x z y

55
Отмеченная «дуальность» означает, что а) каждую грань ячеек основной сетки пересекает только одно ребро дуальной сетки и наоборот, и б) каждая ячейка основной сетки содержит одну и только одну вершину дуальной сетки и наоборот.
Для декартовой сетки
G
дуальная (вторичная) сетка
G

определяется путем выбора для вершин ячеек сетки
G

центры ячеек сетки
G
. В более общем виде, для неструктурированного набора ячеек
G
, также возможно брать центры тяжести ячеек как граничные вершины для определения дуальной сетки
G

Такое определение может гарантировать взаимно однозначное отношение между ребрами ячеек G, пересекающими поверхности ячеек
G

, и наоборот. Вдоль граней
k
L

определенной таким образом сетки ячеек мы интегрируем напряженности магнитного поля, получая магнитодвижущую силу
∫
⋅
=
k
L
k
s
d
H
h

r r
)
, измеряемую в амперах. На поверхностях ячеек
G

электрические потоки и электрические токи распределяются по аналогии с электрическими напряжениями сетки и магнитными потоками граней на
G
Дискретизация закона Ампера в интегральной форме
( )
( ) ( )
3



,
,
,
R
A
A
d
t
r
J
t
r
D
t
s
d
t
r
H
A
A
∈
∀
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
=
⋅
∫∫
∫
∂
r r
r r
r r
r r
(2.26) может быть выполнена для каждой грани
A

дуальной ячейки
V

в полной аналогии с законом Фарадея, суммируя магнитные сеточные напряжения для того, чтобы получить ток смещения и ток проводимости через рассматриваемую грань ячейки.
В заключение, закон Гаусса в интегральной форме может быть дискретизирован для ячеек дуальной сетки. Обе эти дискретизации для набора ячеек дуальной сетки сводятся к матричным уравнениям с характерными топологическими операторами на сетке для дуального дискретного ротора
C

и для дуальной дискретной дивергенции
S

Для пары групп ячеек
{ }
G
G

,
полный набор дискретных матричных уравнений, так называемых уравнений Максвелла на сетке (
Maxwell-Grid-
Equations, MGE
), задается следующим образом:
,

,
j
d
dt
d
h
C
b
dt
d
e
C
))
))
)
))
)
+
=
−
=
(2.27)
,

,
0
q
d
S
b
S
=
=
))
))
(2.28)

56
Рис. 2.4. Сеточная пара
{ }
G
G

,
: пространственное расположение ячейки и
дуальной ей ячейки
Безвихревое электромагнитное поле в области Ω может быть представлено как градиентное поле скалярных потенциалов, согласно лемме
Пуанкаре. В контексте МКИ мы имеем дело с электрическими напряжениями сетки, располагаемыми на гранях сетки. Представляя их как разность значений двух узловых потенциалов (дискретные потенциалы
Φ(i,j,k)
располагаются на точках пересечения ячеек сетки
G
), имеем соотношение
(
)
(
)
(
)
k
j
i
e
k
j
i
k
j
i
x
,
,
,
,
,
,
1
)
=
Φ
+
+
Φ
−
. (2.29)
Объединяя величины этих дискретных потенциалов и их выражения (13) в вектора Φ по всему набору ячеек, получаем равенство
Φ
−
= G
e)
, (2.30) где матрица дискретного градиента
T
S

G
−
=
является отрицательной транспонированной матрицей дуального дискретного оператора дивергенции. Аналогичная процедура может быть применена и к магнитным потенциалам на вершинах дуального набора ячеек G

для получения матрицы дискретного градиента
T
S
−
для безвихревых магнитных напряжений дуальной сетки с
Ψ
−
= G
h

)
, где Ψ является вектором скалярных узловых магнитных потенциалов.
Для проведенной до сих пор дискретизации уравнений Максвелла область расчета была искусственно ограничена, и информация о том, что эти уравнения сохраняются, относится только к величинам, которые определены в точках (потенциалы), на ребрах (напряжения), гранях (токи) или в объеме ячейки (заряды). Получаемые уравнения являются точным представлением уравнений Максвелла на сдвоенном наборе ячеек
{ }
G
G

,
Приближение самого метода справедливы, когда величины напряжений и токов, располагающихся на двух различных наборах ячеек, связаны друг с другом через базовые материальные уравнения. В случае

57 простых декартовых сеток две группы ячеек
G
и
G

взаимоортогональны.
Здесь направления, связанные с гранью и с проходящим сквозь эту грань дуальным ребром, идентичны. Кроме того, с взаимно однозначным соответствием между гранями и пересекающими их дуальными ребрами это приведет к дискретным материальным матричным уравнениям
,
,
,
m
b
M
h
e
M
j
p
e
M
d
)
))
)
)
))
))
)
))
−
=
=
+
=
μ
σ
ε
(2.31) характеризующимся только диагональными матрицами для линейных или изотропных материальных тензоров. Здесь
ε
M
- матрица диэлектрических проницаемостей,
σ
M - матрица проводимостей (обычно вырожденная),
μ
M
- матрица магнитных проницаемостей, а
p
))
и
m)
проистекают от постоянных электрической и магнитной поляризаций. Материальные матрицы МКИ содержат метрическую информацию уравнений Максвелла на сетке, т.е. усредненную информацию о материале в пределах сетки (рис. 2.5).
Четыре введенных уравнения Максвелла на сетке (2.24) и (2.25) являются строгими и содержат только топологическую информацию, ошибка же дискретизации заключена в дискретных материальных уравнениях.
Рис. 2.5. Связь величин полей на G и
G

, выполняемая в материальных
уравнениях. Здесь электрическое напряжение сетки
m
e)
, распределенное на
ребре
G
L
m
∈
, связано с потоком грани
m
j
))
, относящимся к грани дуальной
ячейки
G
A
m

∈
.
Этот процесс затрагивает усреднение проводимостей
4 1
,...,
σ
σ
четырех ячеек величиной
m
σ
для площадки грани
m
A

. Связывающее базовое соотношение тогда записывается как
m
m
m
e
j
σ
=
, считая плотность тока

58 равной
∫
=
m
A
m
m
dA
j
j

))
и усредненную напряженность электрического поля
∫
=
m
L
m
m
ds
e
e
)
С введением максимальной длины
h
ребер ячейки сетки для пары декартовых сеток
{ }
G
G

,
результат связи электрических токов и электрических напряжений сетки может быть сведен в диагональную материальную матрицу проводимостей, определяемую из выражения
( )
( )
m
m
m
m
L
A
l
L
A
L
A
e
j
M
ds
dA
h
ds
dA
s
d
E
A
d
J
m
m
m
m
m
m
)
))
r r
r r
=
=
≈
Ο
+
=
⋅
⋅
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
,






σ
σ
κ
(2.32) для соответствующей пары из напряжения сетки
m
e)
вдоль ребра
G
L
m
∈
и потока
m
j
))
через грань
G
A
m

∈
. Здесь степень ошибки
l
имеет значение
2
=
l
в случае неоднородного шага сетки или если проводимости ячеек
i
σ
имеют различные значения, в противном случае
3
=
l
. Матрица диэлектрических проницаемостей материалов получается аналогично.
Координатные оси параллельны ортогональным сеткам, где каждая ячейка заполнена только одним материалом, как показано на рис. 2.5, что приводит к проблеме лестничной
(ступенчатой) аппроксимации криволинейных граничных поверхностей. Для преодоления этой проблемы в
МКИ для улучшения качества геометрической аппроксимации и материального усреднения внутри ячеек используются такие усложненные схемы, как техника треугольного заполнения (
triangular filling technique
), техника тетраэдрального заполнения (
tetrahedral filling technique
) и метод идеальной аппроксимации границы (
Perfect Boundary Approximation
), последняя из которых и нашла свое применение в
Microwave Studio
. Эти схемы позволяют использовать эффективные с точки зрения вычислений структурированные прямоугольные сетки, позволяя в то же время снизить ошибку аппроксимации свойств материала в методе (рис. 2.6).

59
Рис. 2.6. Процесс усреднения свойств материала ячейки для грани дуальной
ячейки
A

в присутствии частичных заполнений ячеек, в случае различных
электрических проводимостей внутри ячеек. Рис. слева отображает
ситуацию треугольно частично заполненных ячеек, рис. справа
характеризует тетраэдральные подобласти ячейки.
Если
i
A

есть площадь части грани
A

, секущей подобласть ячейки, заполненную материалом с проводимостью
i
σ
, то усредненное значение проводимости на
A

определяется как
i
i
i
i
A
A


1 6
3
,
1
∑
≠
=
⋅
=
σ
σ
. Отметим, что в обоих случаях подобласти ячейки с
3
κ
не учитываются при процессе усреднения (т.к. грань
A

лишь касается соответствующих подобластей, а не сечет их).
Уделим внимание алгебраическим свойствам матричных операторов.
Одним из важнейших свойств дискретного представления уравнений
Максвелла является дискретный аналог векторного аналитического уравнения
0
=
rot
div
, (2.33) задаваемым, для сдвоенного набора ячеек
{ }
G
G

,
, матричными уравнениями
0
=
SC
, (2.34)
0

=
C
S
, (2.35)
Эти выражения вытекают из того факта, что для всех ячеек сетки вычисление дискретной дивергенции состоит в суммировании компонент токов.
Рис. 2.7. Ячейка
G
V
i
∈
, которая показывает комплексное свойство
0
=
SC
матриц C и S сетки. Электрическое напряжение сетки
k
e)
, расположенное
на граничном ребре
k
L
, в роторном суммировании магнитных потоков
1
j
b
))
и
2
j
b
))
встречается один раз с положительным знаком, а другой – с
отрицательным

60
Для последних каждое напряжение в сетке (умножаемое слева на дискретную матрицу ротора
С
) учитывается дважды с различным знаком при подсчете ротора, дающим нулевую дивергенцию в результате полного суммирования (рис. 2.7). Этот результат из алгебраической топологии, где он также используется для доказательства выражения (2.33), напрямую перенесен по отношению к МКИ в дискретный электромагнетизм, где он справедлив для основных и дуальных сеток.
Важное свойство МКИ следует из дуальности групп сеток
G
и G

и обуславливается выражением для дискретных матриц ротора
T
C
C

=
. (2.36)
Преобразование уравнений (2.34) и (2.35) совместно с выражением (2.36) дает дискретные уравнения
0

=
T
S
C
, (2.37)
0
=
T
S
C
, (2.38) соответствующие векторному тождеству
0
=
grad
rot
. (2.39)
Из (2.34) и (2.35) видим, что дискретные поля, представленные как градиенты узловых векторов потенциалов как в (2.27), будут также безвихревыми и на дискретном уровне.
Матричные уравнения (2.34), (2.35), (2.37) и (2.38) содержат только выражения топологии сетки и не включают никаких метрических понятий.
С учетом набора свойств (2.34) - (2.38) и выражения (2.33), вытекающего из дуальности пары сеток
{ }
G
G

,
, могут быть получены важные результаты для дискретных полей на сетке, используя аппарат линейной алгебры.
Важной особенностью
МКИ, как схемы пространственной дискретизации для уравнений Максвелла, является «встроенное» уравнение непрерывности
( )
0



=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
j
d
dt
d
S
h
C
S
))
))
)
, (2.40) соответствующее аналитическому уравнению
0

0
=
+
⇔
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
j
S
q
dt
d
J
D
t
div
))
r r
. (2.41)
Дискретное уравнение непрерывности гарантирует, что фиктивные
(ложные) заряды будут отсутствовать. Такие нефизичные заряды могли бы привести к статическим полям, искажающим решения дискретных нестационарных полей.

61
Если процессы электромагнитного поля рассчитываются во временной области, то первостепенное значение обретают дискретная система сохранения энергии во времени и пространстве. Если это условие нарушается, то отсутствуют необходимые предпосылки для долгосрочного стабильного временного интегрирования процессов распространения электромагнитных волн без введения искусственного численного затухания (
artificial numerical
damping
).
Полученные выше выражения позволяют записать уравнения, являющиеся основой вычислений для расчетного устройства во временной области (
Transient solver
):
]

[
1 1
2 1
2 1
n
n
n
n
j
b
M
C
M
t
e
e
))
))
)
)
+
⋅
Δ
+
=
−
−
−
+
μ
ε
, (2.42)
2 1
1
+
+
⋅
Δ
+
=
n
n
n
e
C
t
b
b
)
))
))
,
(2.43) где верхний индекс характеризует номер временного такта. Согласно этим соотношениям искомыми переменными являются электрические напряжения и магнитные потоки. Оба типа неизвестных величин фиксируются поочередно во времени, как в последовательном алгоритме, показанном на рис. 2.8.
Рис. 2.8. Алгоритм последовательного вычисления электрических и
магнитных полей во временной области
Например, значение магнитной индукции при
t
= (
n
+1)Δ
t
вычисляется, зная магнитную индукцию на предыдущем временном шаге
t
=
n
Δ
t
и электрическое напряжение в середине предыдущего такта, т.е. при
t_
=(
n
+1/2)Δ
t
. Подобная схема представляет собой типичную реализацию метода конечных разностей во временной области (
FDTD
).
Преобразование в частотной области для уравнений Максвелла на сетке в (2.27) с
( )
( )
(
)
t
i
e
t
e
ω
exp
Re )
)
=
для случая материалов без потерь
(
0
=
σ
M
) и без внешнего источника тока (
0
=
e
j
))
) дает

62
b
i
e
C
))
)
ω
−
=
, (2.44)
e
M
i
b
M
C
)
))
ε
μ
ω
+
=

. (2.45)
Объединение этих уравнений приводит к основной алгебраической задаче поиска собственных частот с однородным двойным роторным (
curlcurl
) уравнением
e
M
e
C
M
C
)
)
ε
μ
ω
2

=
. (2.46)
Подобное выражение и положено в CST MWS в основу решающего устройства
Eigenmode
, предназначенного для вычисления собственных частот резонирующих структур. Дополнительная нормализация
e
M
e
)
)
2
/
1
,
ε
=
в уравнении (2.46) позволяет перейти к типичной задаче нахождения вещественных собственных частот
(
) (
)
,
2
,
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
e
e
CM
M
CM
M
T
)
)
ω
ε
μ
ε
μ
=
−
−
. (2.47)
При дополнительном предположении о симметричных и положительно определенных материальных матриц
μ
M
и
ε
M
, симметрия этой алгебраической задачи определения собственных частот непосредственно приводит к тому, что все собственные частоты
2
ω
из матрицы системы двойного ротора являются вещественными и неотрицательными. Таким образом, решение дискретного поля во временной области, которое всегда может быть разложено в виде линейной комбинации таких незатухающих собственных решений без потерь, не будет ни расти, ни затухать во времени.