1 Московский энергетический институт

• Название: 1 Московский энергетический институт
• Анкор: SCT_1_1.pdf
• Дата: 08.05.2017
• Размер: 3.23 Mb.
• Имя файла: SCT_1_1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #7292
• страница: 5 из 5

2.2.1. Техника аппроксимации идеальной границы
Наибольший недостаток МКИ с использованием декартовых ортогональных сеток (рис. 2.9,а) состоит в сложности дискретизации изогнутых структур. Даже при заполнении треугольниками (рис. 2.9,б) не только электрические и магнитные поля, но иногда и такие характеристики, как значения резонансных частот и величины добротности
Q
, рассчитываются неверно из-за ошибок интегрирования вдоль изогнутых границ.

63
Рис. 2.9. Сеточная аппроксимация искривленных границ: стандартная
(а), треугольная (б), неортогональная (в), PBA (г)
Общий подход к учету искривленных границ состоит в использовании обобщенных неортогональных сеток (рис. 2.9,в). Но применение алгоритма неортогональной сетки ограничивается ростом численной сложности задачи и необходимостью создания облегающей границы структурированной неортогональной сетки.
В качестве более эффективного подхода была предложена техника идеальной аппроксимации границы (
Perfect Boundary Approximation, PBA
)
[4]. В этом подходе нет необходимости согласовывать (ортогональную) расчетную сетку с скругленными границами (рис. 2.9,г). Вместо этого учитывается дополнительная информация о содержимом ячеек пространства, что приводит к алгоритму второго порядка точности для границ произвольной формы. Помимо немного более сложного алгоритма предрасчетных операций, появляется только небольшая дополнительная вычислительная сложность во время расчета. Кроме того, процесс создания сетки становится довольно простым, отсутствует необходимость в использовании мелкого разбиения вблизи изогнутых поверхностей. В большинстве случаев даже эквидистантная сетка позволяет получить очень точные результаты.

64
Рис. 2.11. Проводная антенна на заднем стекле автомобиля
Техника идеальной аппроксимации границы эффективно работает, если аппроксимируемая структура превышает размер ячейки сетки. Для идеально проводящих (
PEC
) структур с размерами меньше разрешения дискретизации пространства метод тонкого листа (
Thin Sheet Technique, ТSТ
) позволяет иметь более одной не
PEC
области в пределах одной ячейки сетки (рис. 2.10).
Благодаря методам PBA и TST возможно анализировать такие тонкие пространственные структуры, как, например, проводную антенну на заднем стекле автомобиля
(рис. 2.11).
Грань типичной ячейки с
PBA
при одной не
PEC
области
TST
позволяет иметь две не
PEC
области
Область ячейки с более чем двумя не
PEC
областями (так называемая критическая ячейка,
critical cell
) должна быть полностью заполнена материалом
PEC
2.2.2. Иерархическая схема нанесения подсетки
Метод МКИ доказал свою эффективность в моделировании электромагнитных явлений. Обычно единственными ограничивающими точность моделирования факторами являются скорость вычислений компьютеров и объем оперативной памяти. Во многих задачах использование локального разбиения на сетку может существенно снизить требования к аппаратным ресурсам компьютеров, позволяя, таким образом, анализировать более сложные задачи на доступных на сегодняшний день компьютерах

65
(особенно в сочетании с описанными выше техниками
PBA
и
TST
).
Соответствующая техника называется в
Microwave Studio
иерархической схемой нанесения подсетки (
Multilevel Subgridding Scheme, MSS
). Пример использования
MSS
приведен на рис. 2.12.
Сетка без
MSS
Сетка с
MSS
Рис. 2.12. Разбиение на подсетку
При отсутствии потерь выражение
T
C
C

=
, полученное в п. 2.1.2 для основной сетки, означает, что системная матрица вещественна и симметрична. Следовательно, система имеет только вещественные собственные частоты. Это физически важное свойство также необходимо для устойчивого интегрирования дифференциальных уравнений во временной области. Интерпретация выражения
T
C
C

=
дает, что коэффициенты связи между составляющими векторов
e
i
и
b
j должны быть одинаковыми для вычисления
t
b
e
C
∂
∂
−
=
))
)
и
j
t
d
h
C
))
))
)
+
∂
∂
=

. Далее рассмотрим схему разбиения на подсетку, которая обладает упомянутыми выше свойствами.
Когда при разбиении вводится подсетка, поля внутри каждой ячейки подсетки также описываются уравнениями Маквелла на сетке (
MGE
).
Остановим свое внимание на переходе от сетки к подсетке и обратно.
Начнем рассмотрение с двухмерной задачи перехода от сетки к подсетке, как показано на рис. 2.13. По аналогии с происхождением базового
МКИ выберем дуальную сетку, отображенную на рис. 2.13. Основываясь на этой конфигурации, необходимо разделить магнитное напряжение в базовой сетке вплоть до дуальной сетки в переходе с сетки на подсетку в соответствии с геометрическими длинами. Используя пропорциональность магнитного напряжения вдоль дуальной сетки, мы можем таким образом вычислить компоненты электрического поля, тангенциальные к подсетке.
Чтобы удовлетворить уравнению
T
C
C

=
, нужно использовать одинаковые коэффициенты связи при вычислении вкладов компонент электрического поля в подсетке в тангенциальный (касательный) магнитный поток на базовой сетку.

66
Рис. 2.13. Двухмерный переход сетка-подсетка. Линии из точек
иллюстрируют ячейки дуальной сетки. Магнитное напряжение основной
сетки разделяется на дуальной сетке в соответствии с геометрическими
длинами. Необходимо использовать одни и те же коэффициенты связи при
вычислении
уравнений
для
электрических
и
магнитных
полей
соответственно. Связь между компонентами поля визуализирована
посредством стрелок на рисунке
Пока мы коснулись только двухмерного перехода. Схема может быть достаточно просто расширена до полностью трехмерного ввода подсетки путем линейной интерполяции магнитных полей вдоль третьего координатного направления в местах расположения компонент электрического поля в подсетке. Вновь необходимо рассматривать оба коэффициента связи, определяя компоненты электрического и магнитного полей.
Оставшийся вопрос – определить матрицы дивергенции, являющиеся согласованными с полученными раньше матрицами ротора. В то время как получить матрицу
S

нетрудно за счет простого добавления частей электрического потока через плоскости дуальной сетки, нахождение матрицы
S является более сложной операцией.
На рис. 2.14 изображены составляющие, вносящие вклад в дивергенцию магнитного поля внутри ячейки базовой сетки вслед за граничной плоскостью подсетки. Веса этих компонент различны и зависят от коэффициентов связи для магнитного поля, вносящего вклад в определение электрического поля.

67
Рис. 2.14. Матрица дивергенции S объединяет все показанные компоненты
поля в сетке и подсетке для определения дивергенции магнитного поля
внутри ячейки сетки, расположенной у плоскости перехода. Компоненты
тока вносятся с различными весами, зависящими от коэффициентов связи
для магнитного поля в матрицах ротора
Для применения подобного метода необходимо отметить еще два момента: для граней граничных плоскостей подсетки алгоритм необходимо немного модифицировать; металлические грани или углы внутри перехода сетка-подсетка также требуют дальнейших модификаций схемы. а)
б)
Рис. 2.15. Использование разбиения на подсетку позволило в данной задаче
снизить количество ячеек разбиения с 11 миллионов (а) до порядка 4.5
миллионов (б)
Выше мы рассмотрели обобщенную схему подсетки для МКИ. При расчете во временной области, одним из основных преимуществ алгоритма ввода подсетки является возможность использования различных временных

68 шагов в разных сетках. Вследствие улучшения качества разбиения в два раза для каждой подсетки мы можем выполнить два временных шага в подсетке, используя при этом один временной такт для основной сетки.
Тангенциальный магнитный поток на основной сетке будет приниматься постоянным во время корректировки электрических и магнитных полей в подсетке. Для подсетки, содержащей дополнительную подсетку, эта процедура приводит к рекурсивной модернизированной схеме.
2.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
На основании метода интегральных уравнений программа реализует метод моментов (Method of Moments, MoM) [1], используя для дискретизации интегрирование по поверхности электрических и магнитных полей.
Вследствие применения интегрирования по поверхности, при решении проблем больших электрических размеров данное решающее устройство использует гораздо меньше элементов разбиения, чем методы объемной дискретизации пространства. Тем не менее, числовая сложность MoM высока для расчета крупных структур.
Эта проблема обходится путем применения многоуровневого быстрого мультипольного метода (multi-level fast multipole method, MLFMM), как показано на рис. 2.16. В то время как MoM рассматривает непосредственную связь между всеми элементами сетки разбиения, в MLFMM область задачи сначала разделяется на отдельные блоки. Внутри каждого блока учитывается только связь с одной точкой, представляя эффект взаимодействия элементов, сгруппированных вместе (композиция, aggregation). На следующем уровне учитываются уже связи между блоками. Так строится многоуровневая иерархия. Информация о связях обратно передается по иерархии к отдельным элементам (дезагрегация, disaggregation, т.е. декомпозиция).

69
Рис. 2.16. Иерархическая связь частей структуры в методе MLFMM
Дополненное таким образом решающее устройство, основанное на методе интегральных уравнений, способно эффективно анализировать крупногабаритные структуры как с точки зрения сложности выполняемых операций, так и по отношению к объему требуемой памяти. Одним из его основных преимуществ является сочетание высокого порядка дискретизации элементов с решением прямым (обычным MoM) или итерационным
(композиция-декомпозиция в MLFMM) способом. Дискретизация высокого

70 порядка позволяет увеличить точность по сравнению с методами первого порядка.
Для сокращения численной сложности задачи при разбиении модели возможно применение так называемого смешанного порядка дискретизации.
В этом случае порядок многочлена дискретизирующей функции выбирается адаптивно в зависимости от размеров элементов сетки разбиения, которые самостоятельно выбираются генератором сетки в зависимости от особенностей структуры.
Это означает, что в тех областях, где имеется грубое разбиение и требуется анализировать мелкие детали (например апертура антенны), используется дискретизация малого порядка. В то же время, для ровных поверхностей площадок или фюзеляжа самолета применяется дискретизация более высокого порядка, что уменьшает количество необходимых элементов разбиения поверхностей.
Дополнительной особенностью основанного на методе интегральных уравнений решающего устройства является контроль за точностью MLFMM.
Это позволяет настраивать параметры MLFMM для отдельных моделей и, наряду с развитой системой предустановок, оптимизировать затрачиваемое на моделирование время и требуемую память. При этом рассматриваемое решающее устройство не ограничивается расчетом идеально проводящих поверхностей. Оно может также анализировать металлы с потерями и диэлектрические материалы (как без потерь, так и с их учетом).
Граничные условия свободного пространства
open
удовлетворяют требованиям большинства антенных задач и задач расчета ЭПР. Кроме того, имеется возможность задания электрической стенки для моделирования проводящих поверхностей. Возможными источниками поля являются дискретные порты и возбуждающие плоские волны, волноводные порты и импортированные дальние поля также доступны для проведения расчетов.
Последнее представляет собой эффективное средство для использования результатов анализа высокодетализированных моделей во временной или частотной областях МКИ при расчете крупных структур.
Электромагнитное поле, рассеиваемое трехмерными объектами, может быть рассчитано численно с помощью интегральных уравнений поля, где неизвестной функцией является распределение наводимых токов J(r).
Интегральные уравнения могут быть сведены к системе матричных уравнений посредством дискретизации MoM.
Получаемая система дискретных уравнений затем решается итерационным методом, которому (для N неизвестных на одну итерацию) обычно требуется объем оперативной памяти, пропорциональное N
2
(для хранения матрицы задачи), а время расчета итерации пропорционально N
3
Однако использование MLFMM позволяет эти величины до N·log(N) и
N·[log(N)]
2 соответственно, так что многие крупномасштабные задачи могут быть эффективно решены.

71
Наиболее общей формой уравнения, решаемого в задачах электродинамического моделирования методом моментов, является так называемой интегральное уравнение электрического поля (electric field
integral equation, EFIE). Оно может быть записано в следующем обобщенном виде
(
)
M
Э
Э
J
J
f
E
,
inc
=
, (2.48) где E
inc
– стороннее электрическое поле (источника), а
Э
J
и
M
J
– плотности электрического и магнитного токов соответственно. Как правило, программы, реализующие EFIE, используются для моделирования задач с открытыми границами (неограниченными), в которых электрическое поле доминирует в ближней зоне источника.
Другое уравнение, решаемое методом моментов, – интегральное уравнение магнитного поля (magnetic field integral equation, MFIE), записываемое в общем виде как
(
)
M
Э
M
J
J
f
H
,
inc
=
, (2.49) где H
inc
– напряженность стороннего магнитного поля. Метод MFIE подходит главным образом для решения задач с циркулирующими токами, где доминирующим является магнитное поле.
Формулировки метода моментов, основанные только на EFIE или только на MFIE, могут обладать нестабильным поведением, когда моделируемые поверхности образуют резонатор на определенной частоте.
Решение, позволяющее избежать возникновения ошибок, заключается в создании интегрального уравнения комбинированного поля (combined field
integral equation, CFIE), устойчивость которого была численно доказана для любого вида резонансных эффектов.
Формулировка CFIE требует большего объема вычислений для заполнения матрицы системы, но позволяет получить более стабильное решение, когда моделируемая поверхность достаточно велика для поддержания внутренних резонансов. Для трехмерных проводящих объектов
CFIE представляет собой линейную комбинацию EFIE и MFIE в соответствии с уравнением
(
)
MFIE
W
EFIE
CFIE
⋅
⋅
−
+
⋅
=
α
α
1
, (2.50) где W – собственный импеданс окружающей среды. Параметр α изменяется в пределах от 0 до 1 и может иметь любое значение из этого промежутка.
Считается, что α = 0.2 является оптимальной величиной.
MLFMM используется для решения дискретизации метода моментов
CFIE на поверхностной сетке разбиения (см. рис. 2.16). Поэтому, в отличие от стандартных методик MoM, решающее устройство, основанное на методе интегральных уравнений с MLFMM, снижает полный набор связей до одной в пределах многочисленных кубических областей модели. Последние затем

72 схожим образом рекурсивно объединяются в большие области, пока не получится одна область. При этом масштабирование по числу элементов разбиения значительно улучшается до Nlog(N).
Для применения метода моментов к CFIE неизвестное распределение тока J(R) раскладывается при помощи соответствующего набора из N
базисных функций в ряд в соответствии со стандартной дискретизацией по
Галеркину. В результате получается система линейных алгебраических уравнений, которая может быть записана в виде
N
j
b
a
A
j
i
N
i
ji
,...,
2
,
1 1
=
=
∑
=
. (2.51)
Элементы матрицы
А определяются как скалярное произведение выбранных базовых функций и интегрального оператора из CFIE.
Следовательно, применение MoM аппроксимирует интегральные уравнения матричными. Эти линейные уравнения могут быть эффективно определены с помощью быстрого мультипольного метода (fast multipole method, FMM) [8], использующего разделение членов, отражающее связи от ближайших областей, так что соответствующая левая часть (2.51) может быть записана в матричном виде
a
A
a
A
Aa
far
near
+
=
,
(2.52) где A
near характеризует ближнее взаимодействие элемента с элементом, а A
far
– дальнее взаимодействие группы элементов с группой (см. рис. 2.17). а) б)
Рис. 2.17. Иллюстрация взаимодействий между блоками в иерархиях FMM (а)
и MLFMM (б)

73
MLFMM является рекурсивным расширением FMM, где векторное матричное умножение реализуется в иерархической или многоуровневой многоступенчатой форме, которая может быть представлена в виде
∑
−
=
+
+
=
1 1
NL
i
i
i
t
i
NL
NL
t
NL
near
a
V
T
U
a
V
T
U
a
A
Aa
, (2.53) где V
i
, T
i
и U
i
представляют собой матрицы агрегации, переноса и дезагрегации соответственно, на i-м уровне, NL - общее число уровней. Эти матрицы, также как и
A
near
,
являются разреженными. В MLFMM V
i
и U
i
(i <
NL) вычисляются путем методов интерполяции и сопряженных с ними методов антерполяции (anterpolation). Для N неизвестных порядки вычислительной сложности в памяти и времени анализа составляют Nlog(N).
В заключение отметим, что решающее устройство
I-solver
, основанное на методе интегральных уравнений, является специализированным решающим устройством, реализующим MLFMM, и предназначено для расчета структур больших электрических размеров. Поэтому оно хорошо подходит для решения большемерных задач.