ср по алгебре. Самостоятельная работа (дифференциальное исчисление) (1). 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

• Название: 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
• Анкор: ср по алгебре
• Дата: 18.01.2022
• Размер: 362.92 Kb.
• Имя файла: Самостоятельная работа (дифференциальное исчисление) (1).pdf
• Тип: Документы; #335056

Вариант 1
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
1 2 −
=
x
y
. Вычислить
)
5
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
x
arctg
y
2 1
=
2)
)
3
sin(
)
3
(
2 2
+
+
+
=
x
ctgx
x
y
3)
1 2
)
3
(sin
−
=
x
x
y
4)
2
sin
=
+ xy
y
e
x
5)



−
=
+
=
),
1
ln(
2
arctgt
t
y
t
x
3. Найти касательную, проведённую к кривой
2 5
5 2
x
x
y
−
=
в точке
1
−
=
x
4. Дано
)
1
(
1 0
)
(
x
x
e
x
f
−
=
. Найти приближенное значение
)
05
,
1
(
f
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
3 2
2 3 +
−
=
x
x
y
на отрезке
 
2
,
1
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 2
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
3 4
2
+
−
=
x
x
y
. Вычислить
)
2
(−

y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
)
(
2
tgx
tg
y =
2)
2 1
cos ln
x
x
y
+
=
3)
x
x
x
y






+
=
2 1
4)
(
)
2
sin
2
=
+
+
−
y
x
x
y
5)



=
=
−
cos
,
sin
t
e
y
t
e
x
t
t
3. Точка движется прямолинейно по закону
3 2
t
t
t
S
+
+
=
. Чему равна скорость точки в тот момент, когда её ускорение равно 20 м/сек
2
4. Вычислить приближенно
02
,
1
arctg
5. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
2 2
)
(
x
x
x
f
−
=
на отрезке
 
1
,
0
. Найти соответствующее значение
C

Вариант 3
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
1 3 +
=
x
y
. Вычислить
)
0
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
2
ln
)
sin
2 3
(
x
x
y
−
=
2)
4 2
1 3
4
+
−

=
x
x
y
3)
(
)
x
x
y
2
cos
1
+
=
4)
y
x
y
x
+
=
+
5)





=






+
=
,
1 3
2
t
e
t
y
t
t
x
3.
Найти касательную, проведённую к кривой
2 2
1
x
tg
y =
в точке
2
/

=
x
4.
Найти приближенное значение
5
)
037
,
2
(
3
)
037
,
2
(
2 2
+
−
5.
Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
x
x
f
=
)
(
на отрезке
 
4
,
1
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 4
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
9 4
3 2
+
−
=
x
x
y
. Вычислить
)
1
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
(
)
2 3
4 2x
a
x
y
−
=
2)
2 1
arcsin
x
x
y
+
=
3)
( )
x
x
y
1
ln
=
4)
0 1
2 2
cos sin
3 2
=
+
−
−
+
y
x
x
y
y
x
5)



=
=
,
4 3
t
y
t
x
3. Найти касательную, проведеннуюк кривой
5 1 x
y
+
=
в точке пересечения этой кривой с осью абсцисс.
4. Найти приближенное значение
4983
,
0
arcsin
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
1 2
3
+
−
−
=
x
x
x
y
на отрезке
 
1
,
1
−
. Найти соответствующее значение
C

Вариант 5
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
3 4
x
x
y
−
=
. Вычислить
)
1
(−

y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
1 2
+

=
x
arcctg
x
y
2)
x
x
x
y
3
cos sin
3 2
+
=
3)
(
)
2 2
x
ctg
x
tg
y =
4)
y
x
y
ln
+
=
5)



=
=
sin
,
cos ln
2
t
t
y
t
t
x
3. Точка движется по оси абсцисс по закону
)
12 2
4
(
4 1
2 3
4
t
t
t
t
x
−
+
−
=
. В какой момент времени точка остановится?
4. На сколько приблизительно изменится сторона квадрата если его площадь уменьшить с 16 м
2
до 15,88 м
2 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
10 7
4 2
3
−
−
+
=
x
x
x
y
на отрезке


2
,
1
−
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 6
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
3 2
x
y =
. Вычислить
)
8
/
1
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
x
x
y
cos
2
cos 
=
2)
x
x
y
1
sin ln
−
=
3)
(
)
1 2
sin
+
=
x
x
y
4)
0
ln
=
+ y
x
y
5)



=
+
=
),
1
ln(
2
arcctgt
y
t
x
3. К кривой
x
x
y
ln
−
=
в некоторой точке проведена касательная с угловым коэффициентом -1. Найти эту касательную.
4. Найти приближенное значение
4 5
,
16 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
35 6
2
−
+
=
x
x
y
на отрезке


1
,
5 −
−
. Найти соответствующее значение
C

Вариант 7
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
x
y
8
=
. Показать, что
)
2
(
)
2
(
y
y

=
−

2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
3 2
6x
x
y
−
=
2)
x
tg
e
y
x
2
cos

=
−
3)
(
)
1 2
+
=
x
arctgx
y
4)
0 2
)
ln(
=
+
+
+
y
x
y
x
5)



=
=
sin
,
cos
2 2
2 2
t
e
y
t
e
x
t
t
3. Точка совершает гармонические колебания по закону
4
sin
3
t
x

=
. Найти скорость и ускорение точки как функции времени.
4.
Найти приближенное значение
15
,
0
e
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
3 2
)
4
( −
=
x
y
на отрезке
 
8
,
0
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 8
1.
Пользуясь определением производной, показать, что функция
x
y =
не имеет производную в точке
0
=
x
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
x
tg
y
3 4
1 4
=
2)
x
arctgx
y
5
ln
=
3)
(
)
3
sin
x
x
y =
4)
y
x
y
x
sin
5 5
2
−
=
+
5)



=
+
=
sin
,
5 0
ln cos
t
y
t
tg
t
x
3. Касательная, проведенная в некоторой точке к кривой
x
x
y
4 4
−
=
, параллельна оси абсцисс. Найти точку касания.
4. Найти приближенное значение
3 97
,
0 5. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
x
x
x
x
f
5 4
)
(
2 3
+
−
=
на отрезке
 
3
,
0
. Найти соответствующее значение
C

Вариант 9
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 2
+
=
x
y
. Вычислить
)
2
(−

y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
3 2
3
log
2
x
y
+
=
2)
x
x
ctg
y
2 3
2 2
−
=
3)
( )
3
x
x
y =
4)
y
x
y
x
y
+
+
+
=
6 6
6 5)



+
=
+
=
−
3 3
,
sin cos
t
t
y
t
t
x
3. К параболе
8 5
3 2
+
−
=
x
x
y
в некоторой точке проведена касательная под углом

45
к оси абсцисс. Найти точку касания.
4. Найти приближенное значение
1
,
10
lg
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
14 9
2
+
+
=
x
x
y
на отрезке


2
,
7 −
−
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 10
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 3
5 2
x
x
y
+
=
. Вычислить
)
1
(−

y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
)
1
(
4 5
3
−

=
x
x
arctg
y
2)
x
x
y
3
cos
3
sin
2
=
3)
( )
x
x
y
5
=
4)
0
)
1
(
2 2
=
−
−
+
y
xy
x
5)



+
=
−
=
).
cos
2
sin
(
),
sin
2
cos
(
t
t
t
t
y
t
t
t
t
x
3. К параболе
1 2
+
+
=
x
x
y
в некоторой точке проведена касательная, угловой коэффициент которой равен 3. Доказать, что эта касательная проходит через начало координат.
4. Найти приближенное значение
49
,
0
arcsin
5. Показать, что теорема Лагранжа не применима для функции
x
x
f
1
)
(
=
на отрезке


2
,
2
−
. Пояснить утверждение графически.

Вариант 11
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
)
1
lg(
x
y
+
=
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
)
1
ln(
2 x
x
e
e
y
+
+
=
2)
x
x
y
4
cos
2 4
sin
−
=
3)
( )
x
x
y
cos
2
=
4)
0 4
ln
2 2
=
−
+
x
y
x
5)





+
=
+
=
1 3
,
1 3
2 2
2
t
t
y
t
t
x
3. Твердое тело колеблется вокруг неподвижной оси по закону






=
t
2
cos
4


Найти угловую скорость как функцию времени.
4. Найти приближенное значение
3 01
,
8 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
3 2
)
2
( −
=
x
y
на отрезке
 
4
,
0
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 12
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 3
x
x
y
−
=
. Вычислить
)
1
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
x
x
y
sin
1 2

+
=
2)
(
)
2
sin arccos
x
y =
3)
( )
x
x
y
4
cos
4
=
4)
0
)
cos(
sin
=
−
−
y
x
x
y
5)



−
=
+
=
).
cos
(sin
2
),
sin
(cos
2
t
t
t
y
t
t
t
x
3. В период разгона маховик вращается по закону
3 1
,
0 t
=

. Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна
30 рад/сек?
4. Найти приближенное значение
011
,
1
ln
5. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
tgx
x
f
=
)
(
на отрезке
 

,
0

Вариант 13
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 2
x
y
+
=
. Вычислить
)
2
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
x
x
tg
y =
2)
x
x
y
2
ln
2
)
ln(ln
2
−
=
3)
( )
x
x
y
4
sin
=
4)
y
x
y
y
sin cos =
−
5)



+
=
+
=
,
1
ln
2
ctgt
tgt
y
ctgt
x
3. Точка совершает гармонические колебания по закону
4
sin
3
t
x

=
. Найти ближайший от начала движения момент времени, в который скорость равна нулю.
4. Применима ли теорема Ролля для функции
3 2
1
)
(
x
x
f
+
=
на отрезке
 
1
,
1
−
Вариант 14
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 3 +
=
x
x
y
. Вычислить
)
1
(
y
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
2 2
arcsin
2
x
y =
2)
3 2
3 12
x
arctg
x
y =
3)
(
)
x
x
y
2
cos
=
4)
yx
x
y
−
=
2
sin
5)





=
=
cos
3 1
,
sin
3 1
3 3
t
y
t
x
3. Найти острый угол между касательными, проведенными к параболе
2 2
x
x
y
−
=
в точках с абсциссами -1 и 1.
4. Найти приближенное значение
3 02
,
1 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
x
y
sin
4
=
на отрезке
 

,
0
. Найти соответствующее значение
C

Вариант 15
1.
Пользуясь определением производной, найти производную функции
2 1
1
x
y
+
=
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
6 2
arcsin
2
−
=
x
y
2)
)
3
ln(
2
+

=
−
x
e
y
x
3)
(
)
x
x
y
2 1
+
=
4)
y
x
y
e
x
+
=
sin
5)






=
=
sin
2
,
cos
2 2
2
t
t
y
t
t
x
3. Точка движется по закону



−
=
=
,
t
t
e
y
e
x
Через сколько времени после начала движения скорость точки будет в 10 раз больше начальной?
4. Найти приближенное значение
05
,
1
arctg
5. Для функций
2
)
(
2
+
= x
x
f
и
1
)
(
3
−
= x
x

проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке
 
2
,
1
. Найти соответствующее значение
C
Вариант 16
6. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 =
√1 + 3𝑥. Вычислить 𝑦
′
(5).
7. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 =
1
𝑡𝑔2𝑥
2)
𝑦 = (𝑥
3
+ 1)𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
2 3)
𝑦 = (t𝑔 3 𝑥)
𝑥
2
−1 4)
𝑒
𝑥
ln 𝑦 + 𝑥𝑦 = 1 5)
{
𝑥 = 𝑙𝑛( 1 + 𝑡
3
),
𝑦 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡.
3. Найти касательную, проведённую к кривой 𝑦 = 𝑥
4
− 5𝑥 в точке 𝑥 = 1.
4. Дано 𝑓(𝑥) = 𝑒
(1−𝑥)
. Найти приближенное значение 𝑓(1,05).
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 𝑦 = √𝑥
2
− 3𝑥 + 2 3
на отрезке [1,2]. Найти соответствующее значение 𝐶.

Вариант 17
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 =
𝑥
2
+ 5𝑥 + 1. Вычислить 𝑦
′
(−1).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = 2𝑡𝑔(𝑙𝑛𝑥)
2)
𝑦 =
𝑙𝑛𝑡𝑔 𝑥
1+𝑥
2 3)
𝑦 = (
𝑥
1+𝑥
2
)
𝑐𝑜𝑠𝑥
4)
𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦
2
) + √2𝑥 − 𝑦 = 3 5)
{
𝑥 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ,
𝑦 = 𝑒
−𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑡 .
3. Точка движется прямолинейно по закону
𝑆 = 𝑡 + 𝑡
3
. Чему равна скорость точки в тот момент, когда её ускорение равно 10 м/сек
2
4. Вычислить приближенно
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,97 5. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑥
2
на отрезке [
−2,1]. Найти соответствующее значение
C
Вариант 18
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = √4𝑥 − 2. Вычислить 𝑦
′
(1).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = (3 − 2𝑙𝑛𝑥) 𝑠𝑖𝑛 𝑥
2 2)
𝑦 =
5 2
⋅ √
2𝑥+3
𝑥−2 3
3)
𝑦 = (𝑥 + 3)
tg 2𝑥
4)
√𝑥 + √𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦
5)
{
𝑥 = (
2 3
𝑙𝑛𝑡 + 1) 𝑡,
𝑦 = 𝑡
2
⋅ 𝑒
√𝑡
3.
Найти касательную, проведённую к кривой 𝑦 =
1 2
𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
в точке
𝑥 = 𝜋/2.
4.
Найти приближенное значение √
(2,021)
2
−3
(2,021)
2
+5 5.
Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
x
x
f
=
)
(
на отрезке [1,9]. Найти соответствующее значение
C

Вариант 19
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции 𝑦 =
𝑥
2
− 2𝑥 + 5. Вычислить 𝑦
′
(2).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = 𝑥
7
(𝑎 − 2𝑥
2
)
4 2)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1−𝑥
√1+𝑥
3)
𝑦 = (𝑠𝑖𝑛 𝑥)
1
𝑥
4)
𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑦 = 1 5)
{
𝑥 = √𝑡
5
,
𝑦 = √𝑡
4 3. Найти касательную, проведеннуюк кривой
𝑦 = 1 − 𝑥
3
в точке пересечения этой кривой с осью абсцисс.
4. Найти приближенное значение
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0 , 4983.
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
𝑦 = 𝑥
2
+ 𝑥 − 3 на отрезке [−1,0]. Найти соответствующее значение
C
Вариант 20
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = 2𝑥 + 𝑥
3
. Вычислить 𝑦
′
(−1).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥
2
+ 1 2)
𝑦 = 3𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠
5
(1 − 3 𝑥) 3) 𝑦 = (𝑡𝑔2𝑥)
𝑙𝑛
𝑥
2 4)
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛 𝑦
5)
{
𝑥 =
𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ,
𝑦 = 𝑡
3
𝑠𝑖𝑛 𝑡 .
3. Точка движется по оси абсцисс по закону 𝑥 = (3𝑡
2
− 12𝑡). В какой момент времени точка остановится?
4. На сколько приблизительно изменится сторона квадрата если его площадь уменьшить с 25 м
2
до 24,86 м
2 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
𝑦 = 4𝑥
2
− 8𝑥 − 10 на отрезке [−1,3]. Найти соответствующее значение
C

Вариант 21
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции 𝑦 =
√𝑥
4 3
. Вычислить 𝑦
′
(1/8).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = √𝑙𝑛 𝑥 ⋅ 7
√𝑐𝑜𝑠 𝑥
2)
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥−1
𝑥
)
3)
𝑦 = (𝑙𝑛 2 𝑥)
√𝑥+1 4)
𝑦
𝑥
+ 𝑡𝑔 𝑦 = 2 5)
{
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠( 1 + 𝑡
2
),
𝑦 = 𝑙𝑛𝑡.
3. К кривой 𝑦 = 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 в некоторой точке проведена касательная с угловым коэффициентом -1. Найти эту касательную.
4. Найти приближенное значение √28 3
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 𝑦 = 𝑥
2
− 6𝑥 + 8 на отрезке [2, 4]. Найти соответствующее значение 𝐶.
Вариант 22
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 =
8
𝑥
2
. Найти
𝑦
′
(2).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = √𝑥
2
+ 𝑥
4 2)
𝑦 = 2
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥
⋅ 𝑙𝑛
2
𝑥
3)
𝑦 = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑥
4)
𝑡𝑔( 𝑥 + 𝑦) + 2√𝑥 + 𝑦 = 0 5)
{
𝑥 = 𝑒
2𝑡
𝑙𝑛 𝑡 ,
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛
2
𝑡 .
3. Точка совершает гармонические колебания по закону
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑡
4
. Найти скорость и ускорение точки как функции времени.
4. Найти приближенное значение
3 2,15 5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
𝑦 = √(𝑥 − 1)
2 3
на отрезке [0,2]. Найти соответствующее значение
C

Вариант 23
1.
Пользуясь определением производной, показать, что функция
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛|𝑥| не имеет производную в точке 𝑥 = 0.
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 =
1 2
𝑡𝑔
5
(1 − 3𝑥)
2)
𝑦 =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑙𝑛
2
𝑥
3)
𝑦 = (𝑙𝑛 𝑥)
𝑥
3 4)
𝑦
3
+ 𝑥 = 3
𝑥
− 𝑠𝑖𝑛 𝑦
5)
{
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑙𝑛(𝑡 𝑔𝑡),
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 .
3. Касательная, проведенная в некоторой точке к кривой 𝑦 = 𝑥
4
+ 4𝑥, параллельна оси абсцисс. Найти точку касания.
4. Найти приближенное значение 0,96 4
5. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
𝑓(𝑥) = 𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 2 на отрезке [0,3]. Найти соответствующее значение 𝐶.
Вариант 24
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = 𝑥
3
− 𝑥. Вычислить 𝑦
′
(−2).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = √1 + 𝑙𝑜𝑔
3 3 𝑥
5 2)
𝑦 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2𝑥
6 3−𝑥
3)
𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑥
3 4)
𝑦 = 2
𝑥
+ 3
𝑦
+ 6
𝑥+𝑦
5)
{
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡 ,
𝑦 = 3
𝑡
+ 7 1−𝑡
3. К параболе 𝑦 = 3𝑥
2
− 4𝑥 + 7 в некоторой точке проведена касательная под углом 45
∘
к оси абсцисс. Найти точку касания.
4. Найти приближенное значение 𝑙𝑔 1 0,2.
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 𝑦 = √𝑥
2
+ 9𝑥 + 18 на отрезке [−6, −3]. Найти соответствующее значение 𝐶.

Вариант 25
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = 𝑥
3
− 3𝑥
2
. Вычислить 𝑦
′
(−1).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = 𝑡𝑔4𝑥 ⋅ (√𝑥
3 4
− 6)
2)
𝑦 =
𝑠𝑖𝑛 2
𝑥
𝑐𝑜𝑠
2 2
𝑥
3)
𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥)
3
𝑥
4)
𝑥
2
+ 3𝑥𝑦 − (𝑦 − 1)
4
=
0 5)
{
𝑥 = (𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡),
𝑦 = 𝑡 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 .
3. К параболе 𝑦 = 𝑥
2
− 4𝑥 + 9 в некоторой точке проведена касательная, угловой коэффициент которой равен 2. Доказать, что эта касательная проходит через начало координат.
4. Найти приближенное значение 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0 , 49 5. Показать, что теорема Лагранжа не применима для функции 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
2
на отрезке [−2,2]. Пояснить утверждение графически.
Вариант 26
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥.
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = sin⁡(𝑒
𝑥
+ √1 + 𝑒
2𝑥
)
2)
𝑦 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4𝑥
3−𝑐𝑜𝑠 4𝑥
3)
𝑦 = (𝑙𝑛𝑥)
𝑐𝑜𝑠 𝑥
4) tg
𝑥
2
+ 𝑦
3
𝑙𝑛 𝑥 − 1 = 0 5)
{
𝑥 =
3𝑡
1+𝑡
3
,
𝑦 =
3𝑡
2 1+𝑡
2 3. Твердое тело колеблется вокруг неподвижной оси по закону
𝜑 = 4 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
𝑡). Найти скорость как функцию времени.
4. Найти приближенное значение √16,09 4
5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 𝑦 = √(𝑥 − 2)
2 5
на отрезке [0,4]. Найти соответствующее значение
C

Вариант 27
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = 𝑥
2
− 𝑥
3
. Вычислить 𝑦
′
(1).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 = √1 + 𝑥
5
⋅ 𝑡𝑔 √𝑥
2)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑠𝑖𝑛 𝑥
3
) 3) 𝑦 = (√𝑥
3
)
𝑐𝑜𝑠(1−𝑥)
4)
𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠( 𝑥𝑦) = 0 5)
{
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ,
𝑦 = 𝑙𝑛𝑡 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 .
3. В период разгона маховик вращается по закону 𝜑 = 0,1𝑡
3
. Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна
30 рад/сек?
4. Найти приближенное значение 𝑙𝑛(1 , 017).
5. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 на отрезке
 

,
0
Вариант 28
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
𝑦 = √1 − 𝑥
2
. Вычислить 𝑦
′
(0).
2. Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные следующих функций:
1)
𝑦 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥
√𝑥
2)
𝑦 = 𝑙𝑛( 1 − 𝑙𝑛 𝑥) − 𝑙𝑛 2 𝑥 3) 𝑦 = (√𝑥)
𝑡𝑔 4𝑥
4)
𝑦 − 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦
5)
{
𝑥 = 2𝑡𝑔𝑡 + 1,
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑐𝑡𝑔𝑡.
3. Точка совершает гармонические колебания по закону 𝑥 = 4 𝑠𝑖𝑛
𝜋𝑡
4
. Найти ближайший от начала движения момент времени, в который скорость равна нулю.
4. Применима ли теорема Ролля для функции 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥
2 5
на отрезке
[−1,1].
5. Найти приближенное значение
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1 , 017).