1. Предел числовой последовательности и функции
![]()
|
1. Предел числовой последовательности и функции Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого 0 найдётся такое число 0, что из неравенства ![]() ![]() Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке а, если для любого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке а используют следующую символику: ![]() ![]() Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке ![]() ![]() Достаточно распространенными в курсе математики являются последовательности, то есть функции ![]() ![]() Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для произвольного ![]() ![]() ![]() ![]() При вычислении пределов обычно используют не определение предела, а теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим, оформив результат в форме табл. 1. Таблица 1 Практическое вычисление пределов
Продолжение табл.1
При нахождении пределов вида ![]() если существуют конечные пределы ![]() ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Найти ![]() Решение. Здесь ![]() следовательно, ![]() Пример 2. Найти ![]() Решение. Имеем ![]() Поэтому ![]() Пример 3. Найти ![]() Решение. Здесь ![]() ![]() ![]() Можно найти предел проще, не прибегая к общему приёму, а именно ![]() ![]() ![]() Cравнение бесконечно малых функций Определение. Если ![]() ![]() Пусть функции х и х являются бесконечно малыми при хх ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() х(х). Аналогичные определения можно сформулировать и при х х х хх ![]() ![]() При вычислении пределов пользуются следующей теоремой: предел произведения или частного бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией. Пусть х бесконечно малая функция при хх ![]() 1) sinхх 2) tgхх 3) arcsinxx 4) arctgx(x 5) log(1+x ![]() ![]() 7) a ![]() ![]() (1+x ![]() Пример 1. Найти ![]() Решение. Так как sin x x, a arctg 2x 2x при х0, то ![]() Пример 2. Найти ![]() Решение. Здесь ![]() ![]() 3. Непрерывность функцииФункция f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел ![]() 3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е. ![]() Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области. Те точки области определения функции, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Различают разрывы двух видов. Если в точке а существуют односторонние пределы функции, но, по крайней мере, один из них не равен значению данной функции в точке а, то говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв первого рода. При этом возможны следующие случаи: f(a0)=f(a+0)f(a) (в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет устранимый разрыв); f(a0)f(a+0) (в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв с конечным скачком. При этом число f(a+0) f(a0)называют скачком функции f(x) точке а). Функция f(x) в точке а имеет разрыв второго рода, если в этой точке по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке ![]() Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств. Приведём одно из них. Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке ![]() ![]() В задачах 1-5 определить, какого рода разрывы имеют следующие функции в точке а Пример 1. ![]() Решение. Если х30, то ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 2. ![]() Решение. Выделим целую часть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, функция при х1 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х=1 является точкой разрыва 2-го рода. Пример 3. ![]() Решение. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. ![]() Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5. ![]() ![]() Решение. Если х10, то ![]() ![]() ![]() 4. Дифференцирование функции Пусть функция ![]() ![]() Определение. Предел отношения приращения ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычисление производной называется дифференцированием функции. Так как дифференцирование функций с использованием только таблицы производных элементарных функций и основных правил дифференцирования не вызывает особых затруднений, то мы остановимся лишь на приемах вычисления производных сложных функций. |