Задача о распределении ресурсов. 1) при системе ограничений на переменные (2) Если целевая функция

• Название: 1) при системе ограничений на переменные (2) Если целевая функция
• Анкор: Задача о распределении ресурсов
• Дата: 14.03.2021
• Размер: 397.62 Kb.
• Имя файла: Задача о распределении ресурсов.pptx
• Тип: Задача; #184541

Задачи математического и линейного программирования
Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции
(1)
при системе ограничений на переменные
(2)
Если целевая функция
Если целевая функция
(1)
и система ограничений
(2)
линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЛП).
(3)
, , ,
(4)
т.е. требуется найти экстремум целевой функции (3) и соответствующие ему значения переменных при условии, что переменные удовлетворяют системе ограничений (4) и условию неотрицательности .
Задача использования ресурсов
Для изготовления нескольких видов продукции , …, используют видов ресурсов , ,…, (например, различные материалы, электроэнергию и т.д.).
Объём каждого вида ресурсов ограничен и известен:
Известно также количество каждого вида ресурса, расходуемого на производство единицы j-го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции . Условие задачи можно представить в виде табл. 1 Табл. 1
Табл. 1
Пусть количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести.
Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение
Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Следует учитывать, что все значения
,
Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции может быть представлена как функция для которой нужно найти максимальное значение. Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде:

• ,
• (5)

Каноническая форма задачи линейного программирования

• В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной форме записи.

• а) каноническая задача ЛП в координатной форме имеет вид:
(6)
Данную задачу можно записать, используя знак суммирования:

• б) каноническая задача ЛП в векторной форме имеет вид:
(7)
где

• в) каноническая задача ЛП в матричной форме имеет вид:
• где

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
При составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств. Поэтому необходимо уметь переходить от них к системам уравнений. Например, рассмотрим линейное неравенство (8) и прибавим к его левой части некоторую величину такую, чтобы неравенство превратилось в равенство
(9) , где
Неотрицательная переменная называется дополнительной переменной.
Следующая теорема даёт основание для возможности такого преобразования.
Теорема 1.
Теорема 1.
Каждому решению неравенства (8) соответствует единственное решение уравнения (9) и неравенства , и, наоборот, каждому решению уравнения (9)
с соответствует решение
неравенства (8).
Доказательство.
Пусть решение неравенства (8). Тогда
.
Возьмём число Ясно, что
Подставив в уравнение (9), получим
Первая часть теоремы доказана.
Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину , получаем
, и т.д.
Таким образом, доказанная теорема фактически устанавливает возможность приведения всякой задачи ЛП к каноническому виду. Для этого достаточно в каждое ограничение, имеющее вид неравенства, ввести свою дополнительную неотрицательную переменную. Замечание. В дальнейшем мы будем излагать симплекс-метод для канонической задачи ЛП при исследовании целевой функции на минимум. В тех задачах, где требуется найти максимум , достаточно рассмотреть функцию , найти её минимальное значение, а затем, меняя знак на противоположный, определить искомое максимальное значение .