Тема 2. Методы и модели линейного программирования (1). Тема 2. Методы и модели линейного программирования
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Тема №2. Методы и модели линейного программирования Общая постановка задачи линейного программирования. Методы и приемы решения задачи линейного программирования. Оптимальный и допустимый планы задачи линейного программирования. Двойственные задачи линейного программирования. Графическое решение задач линейного программирования. Допустимое решение (план) задачи линейного программирования – это такие значения переменных, которые удовлетворяют системе ограничений и условиям неотрицательности. Допустимое решение также называют планом. Область допустимых решений (ОДР) – это множество всех допустимых решений. Оптимальное решение (оптимальный план) или просто решение задачи линейного программирования – это такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция имеет экстремальное значение. Оптимальное решение также называют оптимальным планом. Задача ЛП имеет статическое оптимальное решение, поэтому, как только изменяются исходные условия, полученное решение теряет свою актуальность. Анализ чувствительности задачи ЛП как раз и связан с исследованием возможных изменений полученного оптимального решения в результате изменений исходных данных задачи. Анализ чувствительности задач линейного программирования На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение. Ресурсы относятся к дефицитным, если оптимальный план предусматривает их полное использование, при частичном использовании ресурсов они считаются недефицитными. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность. 1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов: 1) насколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ? 2) насколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ? 2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно? 3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение? 1 Практическое задание 2.1 Цель работы Приобретение навыков решения задач линейного программирования в табличном редакторе Microsoft Excel. Этап I. Проведем анализ чувствительности задачи о производстве двух видов продукции. 1. Откройте файл “Практическое задание 2.1”. 2. Снова запустите задачу на решение (Сервис > Поиск решения) и в окне «Результаты поиска решения» выделите с помощью мыши два типа отчетов: «Результаты» и «Устойчивость» (Рис. 2.1). Обратите внимание: для задач с целочисленными переменными возможно создать только отчет по результатам. 3. Проанализируйте первый полученный отчет - «Отчет по результатам 1». Рис. 2.1. Выделение типов отчетов, требуемых для анализа чувствительности Рис. 2.2. Лист отчета по результатам 2 Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе «Статус» («Состояние») соответствующее ограничение указывается как «связанное»; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается «не связан». В графе «Значение» приведены величины использованного ресурса. Для граничных условий в графе «Разница» показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием. Таблица отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения ЦФ. Если на ресурс наложено ограничение типа ≥, то в графе «Разница» дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма. Если на ресурс наложено ограничение типа ≤, то в графе «Разница» дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения. Так, анализ строки 19 (Рис. 2.2) отчета по результатам для задачи о выпуске продукции показывает, что время обработки на I оборудовании составило 7,25 ч. Неизрасходованным остается 2,75 ч из общего фонда времени, отведенного на обработку продукции на I оборудовании. Из этого следует, что запас недефицитного ресурса “Фонд времени работы на I оборудовании” можно уменьшить на 2,75 ч и это никак не повлияет на оптимальное решение. Отсюда следует, что количество рабочих, обслуживающих I оборудование, можно уменьшить или перевести их на выпуск другой продукции. Ресурсы время работы на II и III оборудовании являются дефицитными. На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать большее количество (в кг) продукции и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости. 4. Проанализируйте второй полученный отчет - «Отчет по устойчивости 1». Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц «Изменяемые ячейки» и «Ограничения» (Рис. 2.3). Таблица «Изменяемые ячейки» содержит информацию», относящуюся к переменным: · Результат решения задачи можно увидеть в столбце «Результ. значение». Рис. 2.3. Отчет по устойчивости 3 · Нормированная стоимость показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. · Коэффициенты ЦФ. · Предельные значения приращения целевых коэффициентов (столбцы «Допустимое Увеличение» и «Допустимое Уменьшение»), при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, допустимое увеличение цены на продукт А равно 2,5 тыс.руб./кг, а допустимое уменьшение – 0,5 тыс.руб./кг. Это означает, что если цена на продукт А возрастет более чем на 2,5 тыс.руб./кг., например станет равной 5 тыс.руб./кг., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпуск А. И если его цена будет снижена до 1 тыс.руб./кг., то оптимальное решение также измениться: выгоднее будет увеличить выпуск продукта B. А вот если цена на продукт станет равна 4 тыс.руб./кг. или 1,8 тыс.руб./кг, то оптимальное решение не измениться. Этап II. Убедитесь в этом самостоятельно, для этого: 1. Увеличьте цену на продукт А – установите 4 тыс.руб./кг (в ячейку B7 внесите 4) и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. 2. Уменьшите цену на продукт А – установите 1,8 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. Обратите внимание, что в обоих случаях оптимальное решение не изменилось. 3. Увеличьте цену на продукт А – установите 5 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. Обратите внимание, что оптимальное решение изменилось: целесообразно стало выпускать 4 кг продукта A и не выпускать продукт B. 4. Уменьшите цену на продукт А – установите 1 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. Обратите внимание, что оптимальное решение изменилось: целесообразно стало выпускать продукт A и продукт B в равных количествах. 5. Сохраните файл с полученными отчетами в своей папке с текущим именем. Таблица «Ограничения» содержит информацию, относящуюся к ограничениям. · Величина использованных ресурсов содержится в колонке «Результ. значение». · Предельные значения приращения ресурсов содержатся в столбцах «Допустимое Уменьшение» и «Допустимое Увеличение». В графе «Допустимое Уменьшение» показывается: · на сколько можно уменьшить ресурс (устранить излишек), в случае если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ≤; · на сколько можно увеличить ресурс (повысить минимально необходимое требование), в случае если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ≥. При этом при таких изменениях количества ресурса, оптимальное решение остается прежним. В графе «Допустимое Увеличение» показывается: · на сколько максимально надо увеличить ресурс, чтобы обеспечить увеличение значений оптимального решения, если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ≤; · на сколько максимально возможно уменьшить ресурс, чтобы обеспечить необходимое уменьшение значений оптимального решения, если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ≥. 4 Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов, так как анализ недефицитных ресурсов был дан выше (напоминаем, что в нашем случае только один ресурс не является дефицитным – время работы I оборудования). Анализируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больший, чем в оптимальном решении, объем продукции и получать более высокую прибыль. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы “Время обработки на II оборудовании” и “Время обработки на III оборудовании”. Поскольку знак ограничений этих ресурсов имеет вид ≤, то возникает вопрос, насколько максимально должен возрасти фонд времени работы этих оборудований, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе «Допустимое Увеличение». Фонд времени работы II оборудования имеет смысл увеличить самое большее на 3 часа, а III оборудования самое большее на 1,69 часа. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с найденным. Дальнейшее увеличение фонда времени работы оборудования II и III сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение, т.к. уже другие ресурсы станут дефицитными. Этап III. Убедитесь в этом самостоятельно, для этого снова откройте файл “Практическое задание 2.1” и поэкспериментируйте с исходными данными о фонде рабочего времени оборудования: 1. Увеличьте фонд рабочего времени для II оборудования – установите 14 часов (в ячейку F13 внесите 14) и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. 2. Установите исходное значение фонда времени для оборудования II (12 часов) и увеличьте фонд рабочего времени для III оборудования – установите 11 часов (в ячейку F14 внесите 11), осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. Обратите внимание, что в обоих случаях оптимальное решение изменилось и повысилась прибыль, но ресурс – фонд времени для оборудования I не стал дефицитным. 3. Фонд рабочего времени для II оборудования – установите 16 часов, для III оборудования – установите исходное значение 10 часов и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. 4. Фонд рабочего времени для II оборудования – установите исходное значение 12 часов, для III оборудования – установите значение 14 часов и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов. Обратите внимание, что в этих случаях оптимальное решение изменилось, но ресурс – фонд времени для оборудования I стал дефицитным. 5. Сохраните файл с полученными отчетами с Вашей фамилией. · Ценность дополнительной единицы i-го ресурса («Теневая цена») рассчитывается только для дефицитных ресурсов. После того как мы установили, что увеличение фонда рабочего времени оборудования II и III приведет к новым планам выпуска, обеспечивающим более высокую прибыль, возникает следующий вопрос. Что выгоднее в первую очередь увеличивать фонд рабочего времени для II оборудования или для III оборудования? Ответ на этот вопрос дает графа «Теневая цена». Для II оборудования она равна 0,25 тыс. руб./кг., а для III оборудования – 0,625 тыс.руб./кг. Отсюда вывод: в первую очередь выгодно увеличивать фонд рабочего времени для III оборудования. 5 Практическое задание 2.2 Цель работы Определение оптимальной инвестиционной программы предприятия. Дорожно-строительное предприятие рассматривает 6 вариантов инвестиционных проектов своего развития: 1) приобретение новых дорожных машин, 2) взятие специального мостового оборудования в лизинг, 3) увеличение мощности АБЗ, 4) автоматизация ряда производственных процессов, 5) реконструкция карьерного хозяйства, 6) внедрение новых методов производства отделочных работ. Размеры инвестиций на первый Io и второй год It и чистый дисконтируемый доход ЧДД* по указанным инвестиционным проектам приведены в таблице. Требуется составить: 1) вариант инвестиционной программы предприятия, если ограничение по объему финансирования F1 установлено только для первого года ее реализации; 2) вариант инвестиционной программы, если ограничение по объему финансирования F2 установлено и для второго года ее реализации; 3) по каждому из указанных вариантов инвестиционной программы рассмотреть две возможных ситуации их выполнения: а) частичного вхождения каждого из проектов в программу и б) их полного вхождения. Исходные данные для выполнения работы принимаются по таблице. Теоретические основы выполнения работы Инвестиционная программа – это стратегический план предприятия, в соответствии с которым будут реализованы проекты и решены определенные производственные задачи за счет привлеченных денежных средств. Моделирование инвестиционной деятельности предприятия сводится к рассмотрению возможных программ капитальных вложений в его развитие и определению такого ее варианта, при котором обеспечивается максимальная эффективность деятельности предприятия по заданному критерию при заданных ограничениях на инвестиционные ресурсы. В наиболее простом виде эта процедура, характеризующая завершение процесса разработки инвестиционной программы предприятия, может быть описана следующей моделью: где ЧДДi — чистый дисконтируемый доход от реализации i-го инвестиционного проекта; Кi — величина требуемых инвестиций для реализации i-го инвестиционного проекта; Zi — переменная, показывающая входит (полностью или частично) или не входит i-й проект в инвестиционную программу предприятия; F — заданный объем финансирования; n — количество рассматриваемых инвестиционных проектов. 6 Варианты заданий 7 В зависимости от того, требуется ли целочисленное решение этой задачи или не требуется, она может решаться двумя методами. Если целочисленное решение задачи не требуется, т.е. возможна реализация инвестиционных проектов не в полном объеме, то инвестиционная программа может быть составлена с использованием симплекс-метода линейного программирования или методом последовательного отбора вариантов, ранжированных по степени убывания положительных индексов доходности ИД (отношение чистого дохода к величине инвестиций, увеличенное на единицу), до полного исчерпания заданного объема финансирования. При необходимости целочисленного решения задачи (невозможности дробления инвестиционных проектов) она должна решаться методами целочисленного линейного программирования. Указания к выполнению 1. Выполнение работы следует начать с составления экономико- математической модели инновационной программы. Так, например, для первого варианта задания ее можно записать следующим образом Целевая функция 250*Z1+600*Z2+300*Z3+170*Z4+150*Z5 —> max Для начала предположим, что ограничение на финансирование программы в размере 1300 тыс. руб., установлено только для первого года ее реализации: 300*Z1+500*Z2+400*Zз+150*Z4+230*Z5 <= 1300. Исходные данные для разработки инвестиционной программы 8 и имеет место целочисленная постановка задачи: Z1=[0,1] , Z2=[0,1] , Z3=[0,1] , Z4=[0,1] , Z5=[0,1] . 2. Решение данной инвестиционной задачи в целочисленной постановке, как и последующих, осуществляется с использованием подпрограммы «Поиск решения» в среде Microsoft Excel по следующему алгоритму. А. Создание и заполнение формы для ввода условий задачи в операционную систему. Вид этой формы на рабочем листе Excel представлен в таблице. Заполнение всех ее ячеек за исключением H6 и H9 не требует особых комментариев, поскольку осуществляется путем переноса указанных в ней параметров из экономико-математической модели в соответствующую ячейку. Форма для ввода в операционную систему параметров экономико-математической модели Примечание: ЦФ - целевая функция, ЛЧ, ПЧ - соответственно левая и правая часть ограничений. Что же касается ячеек H6 и H9, то в них должны быть введены ни числа, а зависимости из экономико-математической модели, так как каждая из этих ячеек содержит сумму произведений неизвестных на числовые коэффициенты. Ввод этих зависимостей осуществляется с использованием Мастера Функций. Например, для представления целевой функции данная процедура предусматривает такую последовательность действий: • Kypcop в H6. • Kypcop на кнопку Мастер функций. На экране диалоговое окно Мастер функций-шаг 1 из 2. • Kypcop в окно Категория на категорию Математические. На экране Математические функции. • Kypcop в окно Функции на СУММПРОИЗВ. На экране диалоговое окно. 9 Рис. 2.4 Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ • В массив 1 ввести B3:F3, а в массив 2 - B6:F6 и нажать кнопку ОК. Поскольку в ячейках неизвестных B3:F3 не содержится никаких данных, в ячейке целевой функции H6 появится 0. Аналогично в ячейку H9 вводится зависимость, характеризующая ограничение на размер финансирования в модели. Б. Перенос параметров модели в операционную систему и решение задачи с использованием диалогового окна «Поиск решения» Для открытия диалогового окна «Поиск решения» необходимо сначала нажать на кнопку Сервис в меню программы Excel, а затем вызвать опцию Поиск решения. Работа в этом окне осуществляется по следующему алгоритму. 1. Останавливается целевая функция. Для этого курсором вводится в соответствующее окно ее адрес H6 в разработанной форме исходных данных. 2. Указывается критериальное направление целевой функции: в данном случае к максимальному значению. Вводятся адреса искомых переменных. Для этого курсор устанавливается в поле Изменяя ячейки, после чего вводятся их адреса ВЗ: F3. Рис. 2.5 Диалоговое окно «Поиск решения» 10 4. Вводятся все ограничения модели последовательным нажатием на кнопку Добавить. В результате нажатия этой кнопки на экране появляется следующее окно. Рис. 2.6 Диалоговое окно «Добавление ограничения» 5. Осуществляется решение задачи путем нажатия в диалоговом окне «Поиск решения» на кнопку Выполнить. Если решение задачи компьютером найдено, то на экране монитора появляется следующее окно с констатацией «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». При этом результаты решения получают отображение в соответствующих ячейках разработанной формы ввода в операционную систему параметров экономико-математической модели. После решения рассматриваемой задачи она имеет следующий вид. Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Рис. 2.7 Диалоговое окно «Результаты поиска решения» В результате решения получаем следующие значения искомых показателей: Z1=0; Z2=Z3=Z4=Z5=1, то есть в инвестиционную программу входят только второй, третий, четвертый и пятый инвестиционные проекты; при этом значение целевой функции составляет 1220 тыс. руб. 6. Далее практически по аналогичному алгоритму осуществляем решение данной инвестиционной задачи в нецелочисленной постановке, т.е. исходя из того, что искомые Z могут быть дробными величинами, т.е. 0 ≥ Z1 ≤ 1, 0 ≥ Z2 ≤ 1, 0 ≥ Zз ≤ 1, 0 ≥ Z4 ≤ 1, 0 ≥ Zs ≤ 1. 11 Вид формы для ввода в операционную систему параметров экономико-математической модели после решения задачи В этом случае при возможности частичного выполнения проектов после решения задачи получаем следующие результаты: Z1=Z2=Z4=1; Z=0,875; т.е. в инвестиционную программу полностью входят первый, второй и четвертый проекты и частично третий проект; при этом значение целевой функции составляет 1282 тыс. руб. Таким образом, при условии дробности проектов эффект от выполнения данной программы можно увеличить на 62 тыс. руб. 7. Теперь изменим условия задачи, полагая, что финансовые ограничения имеют место не только в первом, но и во втором году реализации инвестиционной программы (в размере 100 тыс. руб.). Тогда вводя дополнительное условие: 25*Z1+37*Z2+10*Z3+61*Z4+20*Z5 ≤ 100, и, решая эту задачу сначала методами целочисленного программирования, получаем следующие результаты: Z1=Z2=Z3=1 со значением целевой функции 1150 тыс. руб. Эти результаты также можно несколько улучшить, если допустить дробление инвестиционных проектов. При отказе от целочисленности, решая данную задачу методами нецелочисленного программирования, получаем, что в инвестиционную программу, помимо указанных выше первых трех проектов, частично войдет и четвертый проект, так как: Z1=Z2=Z3=1, Z4=0,46. При этом целевая функция увеличится на 78 тыс. руб., т.е. составит 1228 тыс. руб. 12 Задание для самостоятельного выполнения 2.1 1. Постройте математическую модели для следующей задачи ЛП и найдите ее оптимальное решение средствами Excel. Предприятие выпускает телевизоры, стереосистемы и акустические системы, используя общий склад комплектующих. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий для получения наибольшей прибыли. Общее количество запасов комплектующих, расход (шт.) на изготовление единицы изделия и прибыль от реализации единицы каждого представлены в таблице. Исходные данные Комплектующие Бытовая техника Запасы комплектующих на складе Телевизоры Стереосистемы Акуст.системы Шасси 1 1 0 450 Кинескоп 1 0 0 250 Динамик 2 2 1 800 Блок пит. 1 1 0 450 Элек. плата 2 1 1 600 Прибыль (руб.) 75 50 35 Если Вы все сделали правильно, то Вы должны получить оптимальное решение, которое приведено на рисунке. Рис. 2.8 Оптимальное решение 2. Проведите анализ оптимального решения данной задачи на чувствительность. 3. Переименуйте «Лист 2» в «Выводы» и разместите на нем результаты анализа: · опишите, какие комплектующие являются дефицитными, недефицитными; · нормированная стоимость для акустических систем отлична от нуля, объясните экономический смысл данного явления; 13 · укажите, насколько возможно увеличить (уменьшить) прибыль от продажи телевизоров, чтобы выпуск бытовой техники не изменился; · измениться ли оптимальное решение, если прибыль от реализации стереосистем будет равна 70 руб., 35 руб. (в случае положительного ответа, необходимо указать новое решение); · укажите, при какой прибыли выгодно будет выпускать акустические системы; · укажите, насколько можно уменьшить запасы шасси, кинескопов, блоков питания на складе, чтобы не было излишек; · укажите, насколько необходимо увеличить запасы динамиков и электронных плат, чтобы увеличить выпуск бытовой техники и повысить общую прибыль; · укажите, запасы какого ресурса выгоднее всего увеличить: динамиков или электронных плат и почему. 4. Сохраните файл с полученными отчетами. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 14 Задание для самостоятельного выполнения 2.2 1. Найдите для своего варианта оптимальное решение задачи линейного программирования, используя MS Excel, первоначально построив математическую модель задачи линейного программирования. Сохраните файл с решением. 2. Проведите анализ оптимального решения на чувствительность для данной задачи. 3. Переименуйте «Лист 2» в «Выводы» и разместите на нем результаты анализа: • опишите, какие ресурсы являются дефицитными, недефицитными (в случае недефицитных ресурсов предложите возможные способы использования излишек данных ресурсов); • укажите нормированную стоимость для изменяемых ячеек (если нормированная стоимость отлична от нуля, объясните экономический смысл данного явления); • укажите предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Приведите пример увеличения (уменьшения) целевых коэффициентов в допустимых (недопустимых) пределах и результаты изменения; • укажите насколько можно уменьшить ресурс, чтобы ликвидировать излишки и насколько надо максимально увеличить количество ресурса, чтобы обеспечить улучшение оптимального решения; • укажите теневую цену для каждого ресурса, сделайте выводы о том, какой ресурс выгоднее всего увеличить. 4. Сохраните файл с отчетами и выводами. Вариант 1 Для изготовления двух изделий используются три вида сырья. Общее количество сырья, расход (кг) на изготовление единицы изделия и цена единицы каждого изделия представлены в таблице. Составить оптимальный план производства изделий B1 и B2, обеспечивающий максимальный по стоимости выпуск продукции. Сырье Вид изделия Запасы сырья В1 В2 А1 4 3 120 А2 4 10 200 А3 0 15 180 Цена единицы изделия (тыс.руб.) 5 6 15 Вариант 2 На трех станках обрабатываются два изделия. Каждое изделие проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки каждого изделия на каждом станке, фонд полезного времени работы станков и отпускная цена единицы изделия. Найти план производства изделий, при котором прибыль предприятия от их реализации будет максимальной. Станки Вид изделия Фонд времени В1 В2 А1 4 2 48 А2 0 3 36 А3 2 2 40 Прибыль (тыс.руб.) 15 12 Вариант 3 На четырех станках обрабатываются два изделия. Каждое изделие проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки одного изделия и фонд полезного времени работы станков. Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную загрузку станков. Станки Вид изделия Фонд времени В1 В2 А1 5 7 70 А2 2 1 18 А3 0 2 16 А4 1 0 8 16 Вариант 4 Предприятие изготовляет два вида изделия. Каждое изделие требует обработки на трех видах оборудования. Известны прибыль, получаемая от реализации каждого изделия, трудоемкость обработки изделий и фонд времени работы оборудования (таблица). Сколько нужно изготовить тех или иных изделий, чтобы прибыль была наибольшей? Станки Вид изделия Запасы сырья В1 В2 А1 3 8 24 А2 2 7 14 А3 0 12 24 Прибыль (тыс.руб.) 2 3 Вариант 5 Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон. Количество пряжи каждого вида (кг), необходимой для изготовления 10 изделий, запасы каждого вида пряжи, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли. Вид сырья Затраты пряжи на 10 шт. (кг) Запасы (кг) Свитер Кофточка Шерсть 4 2 900 Силон 2 1 400 Нитрон 1 1 300 Прибыль (тыс.руб.) 6 5 17 Вариант 6 Для производства двух видов продукции в цехе используется три группы оборудования. Нормы затрат времени на один комплект изделий, фонд времени работы оборудования, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице. Определить вариант загрузки оборудования, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации продукции. Оборудование Норма затрат времени на один комплект изделий, ст.ч./ед. Фонд работы оборуд. ст.ч. Продукция первого вида Продукция второго вида А 2 2 14 Б 1 2 9 В 0 4 16 Прибыль (тыс.руб.) 2 3 Вариант 7 Для изготовления двух видов продуктов A1 и A2 используются три вида сырья: В1, В2, В3. Расход сырья для изготовления 1 кг продуктов и запасы (кг) приведены в таблице. Составить план производства, обеспечивающий максимальный по стоимости выпуск продукции. Сырье Вид изделия Запасы сырья А1 А2 В1 4 2 32 В2 2 3 32 В3 2 4 36 Цена 1 кг продукта (тыс.руб.) 5 8 18 Вариант 8 Для откорма крупного рогатого скота используются два вида кормов B1 и В2, в которые входят питательные вещества A1, A2, A3, A4. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость 1 кг корма и минимальное содержание питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составить рацион при условии минимальной стоимости. Питательные вещества Вид кормов Минимально необходимое количество питательных веществ В1 В2 А1 3 4 24 А2 1 2 18 А3 4 0 20 А4 0 1 6 Стоимость 1 кг (тыс. руб.) 2 1 Вариант 9 Предприятие изготовляет два вида продукции: №1 и №2. Каждая продукция требует обработки на четырех видах оборудования. Известны прибыль, получаемая от реализации каждой продукции, трудоемкость обработки продукции и фонд времени работы оборудования (таблица). Составить план производства, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции будет максимальной. Оборудование Вид продукции Запасы сырья №1 №2 А1 2 1 16 А2 1 1 10 А3 0 1 6 А4 1 0 7 Прибыль (тыс. руб.) 3 4 19 Вариант 10 Для изготовления двух видов конфет A и Б на кондитерской фабрике используются три вида сырья: какао, сахар, наполнитель. Общее количество запасов сырья, расход (кг) на изготовление 10 кг конфет и прибыль от реализации 10 кг конфет представлены в таблице 14. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. Сырье Вид конфет Запасы сырья А Б Какао 18 15 360 Сахар 6 4 192 Наполнитель 5 3 180 Прибыль (руб.) 90 100 Вариант 11 Для изготовления двух видов компота в столовой используются три вида сухофруктов: яблоки, вишня и слива. Общее количество запасов сухофруктов, расход (кг) на изготовление единицы компота и цена единицы каждого компота представлены в таблице. Составить оптимальный план производства компота B1 и B2, обеспечивающий максимальный товарный выпуск продукции. Вид сухофруктов Вид компота Запасы (кг) В1 В2 Яблоки 1,2 0,8 48 Вишня 0,6 0,2 16 Слива 0 1 50 Цена (руб.) 12 6 20 Вариант 12 Для подкорма почвы используются два вида удобрений, в которые входят: азот, фосфор, калий. Содержание количества единиц вещества в 1 кг каждого вида удобрения, стоимость 1 кг удобрения и минимальное содержание в удобрении представлены в таблице. Составить оптимальный план закупки удобрений при условии минимальной стоимости. Сырье Вид удобрения Минимально необходимое количество веществ А1 А2 Азот 3 2 10 Фосфор 4 6 20 Калий 1 3 7 Цена 1 кг удобрения (руб.) 30 40 Задание для самостоятельного выполнения 2.3 См. варианты в Практическом задании 2.2. Контрольные вопросы 2.1 1. Что такое дефицитные и недефицитные ресурсы? 2. Каковы предпосылки и основные задачи анализа оптимального решения на чувствительность? 3. Какую информацию о чувствительности оптимального решения задачи ЛП можно получить из отчета по результатам? 4. Какую информацию о чувствительности оптимального решения задачи ЛП можно получить из отчета по устойчивости? 5. Как численно определить диапазон изменения коэффициентов ЦФ, не изменяющий оптимального решения? 6. Где можно увидеть величину использованных ресурсов, допустимые увеличения (уменьшения) ресурсов? 7. Что такое ценность дополнительной единицы i-го ресурса? 8. Понятие инвестиционной программы предприятия. 9. Порядок формирования инвестиционной программы предприятия. 21 Примечание Чистый дисконтированный доход (Net Present Value, сокращенно NPV, ЧДД) показывает разницу между вложенным инвестициями и возвратными денежными потоками. Его также называют чистой дисконтированной стоимостью (ЧДС). ЧДС показывает уровень дохода, которую получат участники инвестиционного проекта после производства и реализации продукции, уплаты налогов, погашения кредитов и долгов перед поставщиками. Для того, чтобы адекватнее оценить эффективность бизнес-проекта, необходимо приведение всех платежей к одному моменту времени. Одним из способов достижения сравнимости является дисконтирование денежных потоков. Чаще всего используют эту формулу чистого дисконтированного дохода: Компоненты формулы: IC – сумма первоначальных инвестиций. N – число периодов для расчета. Обычно берется в годах, но может быть указано в месяцах или кварталах. t – номер года, для которого рассчитывается ЧПД. i – ставка дисконтирования. CFt – ожидаемый денежный поток за указанный промежуток времени. Чистая приведённая стоимость (Net Present Value, NPV) — финансовый показатель, который демонстрирует ожидаемый будущий доход проекта за вычетом его первоначальной стоимости. Проще говоря, NPV позволяет сравнить текущие деньги с будущими деньгами, которые из-за инфляции будут стоить дешевле. Взглянув на денежные потоки, которые в будущем ожидаются от инвестиций, и переведя их в сегодняшнюю стоимость, можно оценить, будет ли выгоден проект. Ставка дисконтирования показывает стоимость капитала для инвестора. Чаще всего этот параметр определяется по средневзвешенной стоимости капитала (WACC). Но также применяются и другие способы определения ставки: ● исходя из премии на риск; ● по дивидендам постоянного роста; ● на основе экспертной оценки; ● метод рыночных мультипликаторов; ● модель М. Кархарта. NPV ˃ 0 показывает, что инвестиции окажутся выгодными, но сравнение с другими направлениями вложений финансовых ресурсов должно быть проведено непременно до принятия окончательного решения. Тогда выбирается проект, показывающий наибольшую эффективность и прибыльность. NPV ˂ 0 – инвестирование окажется нецелесообразным вследствие его убыточности. NPV = 0 – при нулевом показателе ЧДД риск потери вложенных средств оказывается минимальным, но и сумма прибыли будет практически на нулевом уровне. 22 Пример 1 Алгоритм расчета такой: 1. Оценить денежные потоки от проекта — первоначальное вложение (отток) денежных средств и ожидаемые поступления (притоки) денежных средств в будущем. 2. Определить стоимость капитала (англ. Cost of Capital). В нашем случае это будет ставкой дисконтирования. 3. Продисконтировать все денежные потоки (притоки и оттоки) от проекта по ставке, которую вы оценили в п.2); 4. Сложить. Сумма всех дисконтированных потоков и будет равна NPV. Чтобы рассчитать NPV, возьмем для примера два проекта A и B, которые имеют следующую структуру денежных потоков на ближайшие 4 года: Денежный поток проектов A и B Год Проект A Проект B 0 ($10,000) ($10,000) 1 $5,000 $1,000 2 $4,000 $3,000 3 $3,000 $4,000 4 $1,000 $6,000 Оба проекта A и B имеют одинаковые первоначальные инвестиции в $10,000, но денежные потоки в последующие годы сильно разнятся. Проект A предполагает более быструю отдачу от инвестиций, но к четвертому году денежные поступления от проекта сильно упадут. Проект B, напротив, в первые два года показывает более низкие денежные притоки, чем поступления от Проекта A, но зато в последующие два года Проект B принесет больше денежных средств, чем проект A. Рассчитаем NPV инвестиционного проекта. Для упрощения расчета предположим, что стоимость капитала (ставка дисконтирования) составляет 10%. Напомним, что для того, чтобы привести денежный поток к сегодняшнему дню, нужно умножить денежную сумму на коэффициент 1/(1+R), при этом (1+R) надо возвести в степень, равную количеству лет. Величина этой дроби называется коэффициентом дисконтирования. Применим формулу NPV для Проекта A. У нас четыре годовых периода и пять денежных потоков. Первый поток ($10,000) — это наша инвестиция в момент времени «ноль», то есть сегодня. Если развернуть формулу NPV, приведенную чуть выше, то мы получим сумму из пяти слагаемых: 23 Если подставить в эту сумму данные из таблицы для Проекта A вместо CF и ставку 10% вместо R, то получим следующее выражение: То, что стоит в делителе, можно рассчитать, но проще взять готовое значение из таблицы коэффициентов дисконтирования и умножить эти коэффициенты на сумму денежного потока. В результате приведенная стоимость денежных потоков для проекта A равна $788,2. Расчет NPV для проекта A можно так же представить в виде таблицы и в виде шкалы времени: Расчет NPV для проекта A Год Проект A Ставка 10% Фактор Сумма 0 ($10,000) 1 1 ($10,000) 1 $5,000 1 / (1.10) 1 0.9091 $4,545.5 2 $4,000 1 / (1.10) 2 0.8264 $3,305.8 3 $3,000 1 / (1.10) 3 0.7513 $2,253.9 4 $1,000 1 / (1.10) 4 0.6830 $683.0 ИТОГО: $3,000 $788.2 Аналогичным образом рассчитаем NPV для проекта B. 24 Поскольку коэффициенты дисконтирования уменьшаются с течением времени, вклад в приведенную стоимость проекта больших ($4,000 и $6,000), но отдалённых по времени (годы 3 и 4) денежных потоков будет меньше, чем вклад от денежных поступлений в первые годы проекта. Поэтому ожидаемо, что для проекта B чистая приведенная стоимость денежных потоков будет меньше, чем для проекта A. Наши расчеты NPV для проекта B дали результат — $491,5. Детальный расчет NPV для проекта B показан ниже. Расчет NPV для проекта В Год Проект B Ставка 10% Фактор Сумма 0 ($10,000) 1 1 ($10,000) 1 $1,000 1 / (1.10) 1 0.9091 $909.1 2 $3,000 1 / (1.10) 2 0.8264 $2,479.2 3 $4,000 1 / (1.10) 3 0.7513 $3,005.2 4 $6,000 1 / (1.10) 4 0.6830 $4,098.0 ИТОГО: $4,000 $491.5 Вывод Оба эти проекта можно принять, так как NPV обоих проектов больше нуля, а, значит осуществление этих проектов приведет к увеличению доходов компании-инвестора. Если эти проекты взаимоисключающие и необходимо выбрать только один из них, то предпочтительнее выглядит проект A, поскольку его NPV=$788,2, что больше NPV=$491,5 проекта B. 25 Пример 2 В программе Excel уже предусмотрена формула для вычисления NPV. Эта функция называется ЧПС. При расчете NPV в Excel ставка дисконтирования автоматически переводится в единицы. Пользователь может указывать ее в процентах. Формулу расчета можно найти в функциях. В появившемся окне с аргументами функции впишите номер ячейки со ставкой. В значении 1 укажите интервал от первого до четвертого периода. Для точного расчета ЧТС прибавьте сумму за нулевой период к результатам вычисления. 26 27 |