Финансовая математика. Теория по разделу Финансовая математика. 1. простой процент сумму денег, положенную в банк под процент, будем называть первоначальным капиталом Простой процент вычисляется исключительно по первоначальному капиталу.
 Скачать 418.55 Kb.
|
|
РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ 1. ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ Сумму денег, положенную в банк под процент, будем называть первоначальным капиталом Простой процент вычисляется исключительно по первоначальному капиталу. Простой процент определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени, те. n i P I , где Р – первоначальная сумма, i – годовая процентная ставка п – период начисления (в годах, I - простой процент в денежном выражении. Пример 1. Годовая банковская процентная ставка i равна 12% , первоначальный капитал P – 1000 де. (денежных единиц, период начисления n – 3 месяца. Требуется определить процент. Решение Выразим период начисления в годах 3 n месяца или 12 3 = 4 1 года. Тогда 3 1 n года, Р = 1000 де, i = 0,12. Следовательно, 30 4 1 12 , 0 ед. Наращенная сумма при простом проценте Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой. При простой процентной ставке наращенная сумма рассчитывается по формуле ) 1 ( ni P S . Наращенную сумму часто называют будущей стоимостью первоначального капитала. Коэффициент ) 1 ( ni показывает наращенную сумму в расчете на 1 денежную единицу первоначального капитала и называется коэффициентом наращения, те k = ni 1 . Для данных из примера 1 k = 03 , 1 4 1 12 , 0 1 ) 1 ( ni , те при годовой процентной ставке 12% затри месяца наращенная сумма в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала составит 1,03 у.е. Пример 2. Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк на n=2 года под i=15 % годовых (проценты простые. Найти наращенную сумму. Решение руб 0 2 Пример 3: Первоначальная сумма Р руб, наращенная сумма руб, i=20 % годовых проценты простые . Найти период начисления. Решение Выразим n из формулы наращенной суммы. Получим 5 , 2 3000 2 0 3000 4500 iP P S n года. Пример 4: Первоначальная сумма Р = 20000 руб, наращенная руб, период начисления 5 , 0 n года. Найти простую процентную ставку. Решение Выразим i из формулы наращенной суммы. Получим 2 0 2000 5 0 20000 20200 nP P S i ( 20% годовых) 1.2. Математическое дисконтирование Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S , периоду начисления n и простой процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р ) 1 ( ni P S => Пример 5. Годовая процентная ставка равна 15%. Требуется определить текущую стоимость суммы, равной 8000 де, при сроке депозита, равном 7 месяцам. Решение S= 8000 де, i=15% = 0.15, 12 7 n . Следовательно, 32 , 7356 15 0 12 7 1 8000 де. Таким образом, чтобы получить 8000 де. через 7 месяцев, в настоящий момент нужно положить насчет де. Из формулы ni S P 1 следует, что коэффициент ni 1 1 показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, те. то количество денег, которое нужно положить насчет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Этот коэффициент называют коэффициентом дисконтирования. Эта величина обратная коэффициенту наращения, те k 1 2. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ В случае, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется насчет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один разв году (годовые проценты) . Для этого применяется сложная ставка наращения (сложные проценты. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что ив формуле наращения по простым процентам. Р – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и .т.д); S – наращенная сумма наконец срока ссуды n – период наращения (в годах i - годовая ставка сложных процентов. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит P+Pi=P(1+i). К концу второго года она достигнет величины P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i) 2 и т.д. В конце го года наращения сумма будет равна (2) n i P S ) 1 ( . Проценты за этот же срок в целом таковы Пример 1: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. рублей через 5 лет приросте по сложной процентной ставке 15,5 % годовых Решение По формуле (2) находим руб Зная первоначальную сумму Р, наращенную S и сложную годовую процентную ставку i , можно определить период начисления n в годах Пример 2: Р = 5000 у.е., S = 10500 у.е., i=20 % (сложных. Тогда период начисления года Зная первоначальную сумму Р , наращенную сумму S, период начисления n ( в годах, можно определить сложную годовую процентную ставку i: 1 Пример 3. Первоначальная сумма P = 2000 у.е, наращенная сумма S = 3500 у.е., период начисления n = 3. Тогда сложная процентная ставка ) % 5 , 20 ( 205 , 0 1 2000 3500 годовых. Случай изменения сложной ставки ссудного процента Пусть на интервалах начисления (в годах) применялись сложные процентные ставки соответственно. Тогда наращенная сумма k n k n n i i i P S ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 Пример К первоначальной сумме 3000 у.е. года применялась сложная процентная ставка 15% годовых, затем 3 года применялась сложная процентная ставка 12% годовых. Найти наращенную сумму. Решение 1 ( ) 15 , 0 1 ( 3000 ) 1 ( ) 1 ( 3 2 2 1 2 1 е у i i P S n n 2.2. Непрерывное начисление сложных процентов В практических финансово – кредитных операциях непрерывное наращение, те. наращение за бесконечно малые отрезки времени применяется редко ежедневная капитализация. При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. При начислении процентов т разв году по номинальной ставке i наращенная сумма определяется из уравнения m n m i P S ) 1 ( . Если m , то получим i n i m m i i n m m m n m m i P m i P m i P S ) ) 1 ( lim ( ) 1 ( lim ) 1 ( lim , но второй замечательный предел, тогда Отсюда i n e S P , n P S i ) ln( , i P S n ) ln( . ( Р - текущая стоимость будущего платежа при непрерывной капитализации, i - номинальная процентная ставка, n – период начисления. Пример 5. Первоначальная сумма Р = 7000 у.е., период начисления n= 2 года, сложная процентная ставка i =12% годовых. Начисление процентов происходит непрерывно. Найти наращенную сумму. Решение 74 , 8898 7 , 2 7000 7000 12 , 0 2 12 , 0 2 е e P S i n у.е. 3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ, РЕНТА Потоки платежей могут быть регулярными размеры платежейпостоянные или следуют установленному правилу, предусматривающие равные интервалы между платежами) и нерегулярными Члены потоков могут быть положительными поступления, таки отрицательными величинами (выплаты. Аннуитет (финансовая рента – это ряд последовательных платежей через одинаковые промежутки времени. Например регулярные взносы в пенсионный фонд – это пример аннуитета. Рента описывается следующими параметрами член ренты R – это размер отдельного платежа ренты период ренты временной интервал между двумя последовательными платежами срок ренты t – время от начала первого периода ренты до конца последнего. Если все платежи равны между собой, это постоянная рента, иначе переменная Существуют ренты постнумерандо - все платежи осуществляются в конце интервалов ренты пренумерандо – все платежи осуществляются вначале интервалов ренты. Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка i. Наращенная (будущая сумма ренты S – это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты. Современная (приведенная)стоимость ренты – это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования. Существуют ренты верные и условные Верные ренты подлежат безусловной оплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. Например, страховые выплаты в имущественном и личном страховании – пример условной ренты. 1. Конечная годовая рента Это самая простая рента в ней только один платеж R в году, длительность ее n лет, годовая процентная ставка i (сложная. При решении задач удобно использовать следующие формулы современной величины и наращенной суммы А Пример 1. Вкладчик в течении 6 лет вносит в банк 1500 у.е. Процентная ставка в банке i = 15% годовых сложных. Найти наращенную сумму. Решение 60 , 13130 15 , 0 1 ) 15 , 0 1 ( 1500 1 ) 1 ( 6 е у i i R S n Пример 2. Семья хочет накопить $ 12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка в банке 15%. Как долго ей придется копить Дано S=$12000 R= $1000 i = 15%(0,15) Найти : n - ? Решение i i R S n 1 ) 1 ( ) ( 4 , 4 84 , 1 log 84 , 1 15 , 1 1000 15 , 0 12000 1 15 , 1 15 , 0 1 ) 15 , 0 1 ( 1000 12000 года. Рента конечная общая – и платежи и начисления процентов несколько разв году. 2.1. Пусть платежи начисляются p – разв году через равные интервалы времени и суммарный годовой платеж равен R. Тогда единичный платеж p R ; проценты начисляются m разв году, также через равные интервалы времени. В этом случае наращенная сумма находится по формуле Современная стоимость (величина) ренты А 2.2. Число платежей в году равно 1 ( p = 1) зато проценты начисляются m – разв году. В этом случае наращенная сумма 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( m mn m i m i R S ; современная стоимость А Число платежей в году несколько раз p , проценты начисляются 1 разв году (m = 1). Тогда : наращенная сумма 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 p n m i m i p R S ; современная стоимость А. Если число платежей в году и число начислений процентов совпадают (p=m). наращенная сумма m i m i m R S mn 1 ) 1 ( 2.5. Вечная годовая рента Под вечной годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты бесконечна, но современная величина равна i R А Примеры решения задач. Задача Семья хочет через 6 лет купить дачу за $12000. Какую сумму одинаковую) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить $12000, если годовая ставка процента в банке 8%? Дано S=$12000 n = 6 лет i = 8%(0,08) Найти : R-? Решение случай 1.1 i i R S n 1 ) 1 ( => 1600 6 , 0 960 1 08 , 1 08 , 0 12000 1 ) 1 ( 6 n i i S R $ Ответ R = Задача Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 6000 руб, на которые банк начисляет каждые полгода 7% по схеме сложных процентов. Сколько будет на счете через 4 года Дано R=12000 руб ( за год) n = 4 года i = 14 % (годовых p = m = 2 Найти : S-? Решение случай 2.4. ) ( 82 , 61558 07 , 0 2 1 ) 2 14 , 0 1 ( 12000 1 ) 1 ( 8 руб m i m i m R S mn Ответ: S=61558,82 руб. Задача 3. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $500 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4 % по схеме сложных процентов. Сколько денег накопится на счете через 5 лет Дано R=$500 n = 5 лет i = 8% (годовых p = 1 m = 2 Найти : S-? Решение случай 2.2. 1 2 08 , 0 1 1 2 08 , 0 1 500 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 10 m mn m i m i R S = 2943 Ответ S = $ Задача 4. Входе судебного заседания выяснилось, что гражданин N недоплачивал налогов 100 рублей ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3% ежемесячно. Какую сумму должен заплатить гражданин N? Дано R=100 руб. n = 2 года i = 3% (годовых) m = 24 (число платежей) Найти : S-? Решение случай 1.1 Искомая сумма есть наращенная величина ренты с единичным платежом 100 руби числом платежей 24. 3443 43 , 34 100 03 , 0 1 ) 03 , 0 1 ( 100 1 ) 1 ( 24 руб i i R S n Ответ: 3443 рубля. Задача 5. Бизнесмен арендовал виллу зав год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%? Решение случай 2.5. Выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна 200000 $ 05 , 0 А |