22.Определение многочлена. Сложение, умножение на число и перемножение многочленов. Алгоритм Евклида деления многочлена на многочлен, целая часть, дробная часть и остаток от деления. Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры многочленов. Разложение многочлена на множители.
Многочлен-это сумма одночленов.
Сложение и вычитание многочленов:
-составить их сумму и разность соответственно;
-раскрыть скобки, прийти к многочлену,
-полученный многочлен привести к стандартному виду.
Для умножения многочлена на многочлен: необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.
f(x) , g(x) принадлежат P[x] ; g(x)не равно 0. Тогда можно разделить с остатком f(x) на g(x).
f(x)=g(x)q(x)+r(x) , если r(x) 0, степень r(x)<степени g(x).
Разделим g(x) на r(x) с остатком g(x)=r(x)q1(x)+r1(x), если r1(x)не равно0 степень r1 < степени r.
Разделим r(x) на r1(x) и т.д.
Так как степени остатков все время убывают, то на каком-то шаге остаток rk+1(x)=0.
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ; r(x)не равно 0
g(x)=r(x)q1(x)+r1(x) ; r1(x) не равно 0 ; cт. r1 < ст. r
(4) r(x)=r1(x)q2(x)+r2(x)
rk-1(x)=rk(x)qk+1(x)+rk+1(x), rk+1(x)=0.
Процесс последовательного получения равенств (4) называют алгоритмом Евклида для многочленов f(x) и g(x). Последний отличный от нуля остаток — rk.
Т.Безу Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x−a) равен P(a) .
Следствия из теоремы Безу:
Число a - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x−a .
Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x)=0 .
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть a - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число P(k) делится на a−k .
|
21.Определение комплексных чисел, действия над ними. Тригонометрическая и показательная формы для записи чисел. Возведение в целую степень и извлечение корня. Формула Муавра.
Комплексными числами называют пары (x,y) вещественных (действительных) чисел x и y, для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число (x,y) буквой z, то есть положим z=(x,y). Пусть z1=(x1,y1), z2=(x2,y2). Два комплексных числа z1 и z2 считаются равными тогда и только тогда, когда x1=x2 и y1=y2, то есть
{(x1,y1)=(x2,y2)}⇔{x1=x2} ∧ {y1=y2}
Запись комплексного числа z=(x,y)z=(x,y) в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Если x=0, то есть z=iy, то такое комплексное число называют чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи x+iy числа x и y считаются действительными (вещественными).
Число sqrt(x^2+y^2) обозначают |z| и называют модулем комплексного числа z, то есть |z|=|x+iy|= sqrt(x^2+y^2)
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
Коммутативности z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;
ассоциативности,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),(z1z2)z3=z1(z2z3);
дистрибутивности z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
Формула Муавра:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа z=x+iy справедливо равенство z=|z|(cosφ+isinφ).
|
20.Поверхности второго порядка: Эллипсоид, гиперболлоид и т д
|
19.
|
Скачать 451.75 Kb.