Эконометрика, лекции. 1 Составитель Е. А. Парышева Введение
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
1 ,y 2 – эндогенные переменные, x 1 ,x 2 – экзогенные. Коэффициенты ik b при эндогенных и ij a – при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях ) ( x x и ) ( y y от среднего уровня, поэтому свободный член в каждом уравнении отсутствует. Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную. Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных 1 1 , 2 1 21 2 , 1 1 11 1 ˆ ˆ ˆ m nm n n m m m m x x y x х у x x y (5) ij коэффициенты приведенной формы модели. По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений. Применяя МНК, можно оценить ij , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные. Коэффициенты приведённой формы представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели. Для структурной модели вида (4) приведенная форма модели имеет вид 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 , y x x u y x x u (6) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 67 Из первого уравнения (4) можно выразить 2 y следующим образом (ради упрощения опускаем случайную величину 1 11 1 2 12 y a x Подставляя во второе уравнение (4), имеем 1 11 1 21 1 22 2 12 y a x b y a x b , Откуда 11 22 12 1 1 2 12 21 12 21 1 1 a a b y x x b b b Аналогично выразим у из второго уравнения системы (4) и подставив в первое, получим То. система (4) принимает вид 11 22 12 1 1 2 12 21 12 21 11 21 22 2 1 2 12 21 12 21 , 1 1 1 1 a a b y x x b b b b a b a y x x b b b Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты приведенной формы модели) будут выражаться через коэффициенты структурной формы следующим образом 11 22 12 11 12 12 21 12 21 11 21 22 21 22 12 21 12 21 , , 1 1 , 1 1 a a b b b b b a b a b b b Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. 10.3. Проблема идентификации При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. Структурная модель (3) в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Приведенная модель (5) в полном виде содержит nm параметров. Таким образом, в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Поэтому n(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены через nm параметров приведенной формы модели. Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов. С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить натри вида А) идентифицируемые Б) неидентифицируемые; В) сверхидентифицируемые. А) Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, те. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 68 Б) Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, ив результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Модель (3) в полном виде всегда неиден- тифицируема. В) Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе приведенных коэффициентов можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифи- цируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров. Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Необходимое условие идентифицируемости (счётное правило проверки на идентифици- руемость): Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, ноне входят в данное уравнение. Тогда Н – уравнение идентифицируемо; D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо; D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо. Это счетное правило отражает необходимое, ноне достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенными экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой неравен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного. Для оценки параметров структурной формы система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема. Пример. Проверить каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации 2 32 1 31 2 32 1 31 3 4 24 3 23 2 22 1 21 2 2 12 1 11 3 13 2 12 1 x a x a y b y b y x a x a x a y b y x a x a y b y b y 10.4. Оценивание параметров структурной модели Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили два метода оценивания коэффициентов структурной модели косвенный метод наименьших квадратов (КМНК); двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК); трёхшаговый метод наименьших квадратов МНК; метод максимального правдоподобия с полной информацией метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. Косвенный и двухшаговый методы подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. КМНК применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а ДМНК – для оценки коэффициентов сверхидентифируемой модели. Метод максимального правдоподобия с полной информацией рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения, разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность, к середине х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой последнего. Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы 1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели. 2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ij 3. Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели. Рассмотрим применение КМНК для модели 2 2 22 1 21 2 , 1 1 11 2 12 1 x a y у x a y b Пусть мы располагаем некоторыми данными по 5 регионам Регион 1 y 2 y 1 x 2 x 1 2 5 1 3 2 3 6 2 1 3 4 7 3 2 4 5 8 2 5 5 6 5 4 6 Средние 4 6,2 2,4 3,4 Приведенная форма модели имеет вид , 2 2 22 1 21 2 , 1 2 12 1 11 1 u х х у x x где 2 , 1 u случайные ошибки приведенной формы модели. Для каждого уравнения приведенной формы применим традиционный МНК и определим δ- коэффициенты. Для простоты работаем в отклонениях, тех х х y y y Тогда система нормальных уравнений для первого уравнения системы составит 2 1 2 2 12 2 1 11 1 1 2 1 12 2 1 х ух х х х у х х х Для приведенных данных система составит 10 2 , 17 2 , 4 , 6 2 , 4 2 , 5 12 11 12 Отсюда получаем первое уравнение (и аналогично второе Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 70 2 2 1 2 1 2 1 1 00557 , 0 072 , 0 373 , 0 их х у и х х Перейдем к структурной форме следующим образом исключим из первого уравнения приведенной формы x 2 , выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое уравнение 00557 , 0 072 , 0 2 1 ух Первое уравнение структурной формы 1 2 2 1 1 1 97 , 3 966 , 66 00557 , 0 072 , 0 373 , 0 х у у х х у Аналогично исключим из второго уравнения x 1 , выразив его через первое уравнение и подставив во второе 2 2 1 2 2 1 1 00557 , 0 852 , 0 373 , 0 072 , 0 ˆ ; 852 , 0 х х у уху х , 2 1 2 026 , 0 х у у второе уравнение структурной формы. Структурная форма модели имеет вид 2 2 1 2 , 1 1 2 1 026 , 0 085 , 0 97 , 3 х у у х у Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения, те. перейти от переменных в виде отклонений от среднего к исходным переменными b у А x a y b у А Тогда структурная модель имеет вид 2 2 1 2 , 1 1 2 1 026 , 0 085 , 0 451 , 6 97 , 3 966 , 66 х у у х у у Если к каждому уравнению структурной формы применить традиционный МНК, торе- зультаты могут сильно отличаться. В данном примере будет 2 2 1 2 , 1 1 2 1 333 , 0 533 , 0 2 , 5 192 , 1 364 , 0 х у у х у y Двухшаговый МНК. ДМНК используется для сверхидентифицируемых систем. Основная идея ДМНК: на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Здесь дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной , 2 2 1 1 ˆ m im i i i x x x y и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели поданным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов - все уравнения системы сверхидентифицируемые; - система содержит также точно идентифицируемые уравнения. В первом случае для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Во втором случае структурные коэффициенты для точно идентифицируемых уравнений находятся из системы приведенных уравнений. ДМНК является наиболее общими широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 71 Рассмотрим модель 2 2 22 1 21 2 , 1 1 2 12 1 ) ( x a y у x y Она получена из предыдущего примера наложением ограничения 11 12 a b Поэтому первое уравнение стало сверхидентифицируемым. На первом шаге найдем приведенную форму модели. С использованием тех же исходных данных получим систему 2 2 1 2 , 1 2 1 1 00557 , 0 072 , 0 373 , 0 их х у и х На основе второго уравнения этой системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у те. 2 ˆу Подставим в это уравнение значениях их в форме отклонений от средних значений, запишем в виде таблицы 1 x 2 x 2 ˆy z x y 1 2 ˆ 1 y z y 1 2 z - 1,4 -0,4 0,103 -1,297 - 2 2,594 1,682 - 0,4 -2,4 0,042 -0,358 - 1 0,358 0,128 0,6 -1,4 - 0,035 0,565 0 0 0,319 - 0,4 1,6 0,02 -0,38 1 - 0,38 0,144 1,6 2,6 - 0,13 1,47 2 2,94 2,161 0 0 0 0 0 5,512 4,434 После того, как найдены оценки , 2 ˆy заменим в уравнении 1 2 12 1 x y b у фактические значения 2 y их оценками , 2 ˆy найдем значения новой переменной 1 2 ˆ x y z Применим МНК к уравнению z b у Получим 243 , 1 434 , 4 512 , 5 2 1 12 z z y В целом рассматриваемая система будет иметь вид 2 1 2 2 2 1 026 , 0 085 , 0 х у у х у у Второе уравнение не изменилось по сравнению с предыдущим примером. Тема 11. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В. Выявление структуры временного ряда Временнóй ряд – это совокупность значений, какого – либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждое значение (уровень) временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно разделить натри группы - факторы, формирующие тенденцию ряда - факторы, формирующие циклические колебания ряда - случайные факторы. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 72 Тенденция характеризует долговременное воздействие факторов на динамику показателя. Тенденция может быть возрастающей или убывающей. Циклические колебания могут носить сезонный характер или отражать динамику конъюнктуры рынка, а также фазу бизнес – цикла, в которой находится экономика страны. Реальные данные часто содержат все три компоненты. В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой Т, циклической ) (S и случайной Е компонент. В случае суммы имеет место аддитивная модель временного ряда , Е S Т у (1) в случае произведения – мультипликативная модель Е S Т у (2) Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление количественного выражения каждой из компонент и использование полученной информации для прогноза будущих значений ряда или построение модели взаимосвязи двух или более временных рядов. Сначала рассмотрим основные подходы к анализу отдельного временного ряда. Такой ряд может содержать, помимо случайной составляющей, либо только тенденцию, либо только сезонную (циклическую) компоненту, либо все компоненты вместе. Для того, чтобы выявить наличие той или иной неслучайной компоненты, исследуется корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда, или автокорреляция уровней ряда. Основная идея такого анализа заключается в том, что при наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и , 1 t те. при лаге 1. Он вычисляется последующей формуле n t n t t t n t t t y y y y y y y y |