|
Эконометрика, лекции. 1 Составитель Е. А. Парышева Введение
4. МО произведения двух независимых СВ равно произведению их МО:
М(ХY) = M(X)M(Y). Зная только МО СВ нельзя судить ни о том, какие значения принимает СВ, ни о том, как эти значения рассеяны вокруг мат.ожидания. Те. МО полностью не характеризует СВ. Поэтому наряду с мат.ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Например, чтобы оценить, как рассеяны величины вокруг МО, используют дисперсию. Дисперсией СВ называют мат.ожидание квадрата отклонения СВ от ее МО:
2 При этом для дискретной СВ
k i
i i
k i
i i
n n
X
M
p x
p
X
M
x p
X
M
x p
X
M
x p
X
M
x
X
D
1 2
2 1
2 2
2 2
2 1
2 Для непрерывной СВ
2 2
2
)]
(
[
)
(
)
(
))
(
(
X
M
dx x
f x
dx Замечание. Дисперсия СВ – неслучайная постоянная величина. Пример 6. Найти дисперсию СВ Х, которая задана законом распределения Х
1 2
5 р
0,3 0,5 0,2 Решение. Найдем МО: М(Х) = 1∙0,3 + 2∙0,5 + 5∙0,2 = 2,3. Затем найдем возможные значения квадрата отклонениях х – M(X)]
2
= (2 – 2,3)
2
= 0,09; х – M(X)]
2
= (5 – 2,3)
2
= 7,29. Тогда, D(X) = 1,69∙0,3 + 0,09∙0,5+ 7,29∙0,2 = 2,01.
2 способ. М(Х) = 2,3. Вычислим M(X
2
) =
3
,
7 2
,
0 5
5
,
0 2
3
,
0 1
2 Искомая дисперсия равна D(X) = 7,3 – (2,3)
2
= 7,3 – 5,29 = 2,01.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
8 Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна 0: D(C) = 0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(CX) = C 2 D(X). 3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин D(X ± Y) = D(X) + D(Y). Следствие. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины С + Х) = D(X). Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ. Кроме дисперсии для оценки рассеяния СВ вокруг ее среднего значения служат и другие характеристики, например, среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением СВ Х называют квадратный корень из ее дисперсии ) ( ) ( Х D Х Размерность сред.квадр.отклонения совпадает с размерностью СВ. Пример 6. Решение. D(X) = 2,01 => 42 , 1 01 , 2 ) ( Х Чтобы оценить разброс значений СВ в процентах относительное среднего значения, вводится коэффициент вариации V(X), который рассчитывается по формуле % 100 ) ( ) ( ) ( X M X X V 1.4. Законы распределений СВ 1. Закон равномерного распределения вероятностей Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат всевозможные значения СВ, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Если всевозможные значения СВ принадлежат отрезку b a, , на котором функция f(x) сохраняет постоянное значение, то плотность вероятности , 0 ; , 1 ; , 0 ) ( b x b x a a b a x Функция распределения , 1 ; , ; , 0 ) ( b x b x a a b a x a x Математическое ожидание 2 ) ( b a X M ; дисперсия 12 ) ( ) ( 2 a Пример 7. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайные моменты времени. Какова вероятность, что ждать пассажиру придется не более 0,5 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче- ское отклонение СВ Х – времени ожидания поезда. f(x) a b 1 a b x F(x) 1 a b x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
9 Решение. СВ Х – время ожидания на временном отрезке
2
,
0
имеет равномерный закон распределения Вероятность того, что пассажир будет ждать не более
0,5 минуты равна
4 1
2 1
)
5
,
0 0
(
5
,
0 0
dx
X
P
Матем.ожидание
)
(
1 2
2 мин, дисперсия
,
3 1
12
)
0 2
(
)
(
2
X
D
.)
(
58
,
0 3
1
)
(
мин
Х
2. Нормальный закон распределения Нормальный закон распределения (нормальное распределение, распределение Гаусса) наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Опр. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной СВ, которое описывается плотностью
2 2
2
)
(
2 1
)
(
a x
e Оно определятся двумя параметрами аи. Вероятностный смысл этих параметров а = М(Х), σ
2
= D(X), те. σ – среднее квадратиче- ское отклонение. Функция нормального распределения F(x) = dz е
х a
z
2 2
2
)
(
2 Кривую нормального закона распределения называют нормальной (или кривой Гаусса. Рассмотрим как меняется нормальная кривая при изменении параметров аи Если σ=const и меняется а Меняется центр симметрии. Если аи меняется σ: При увеличении σ кривая станет более плоской. То. параметра (те. М(Х)) характеризует положение, а параметр σ (среднее квадратиче- ское отклонение ) форму нормальной кривой. Нормальное распределение с параметрами аи обозначается а σ). Если параметры а = 0, σ = 1, то нормальный закон распределения называется стандартным или нормированным N(0; 1). А кривая – стандартной. f(x)
2 1
0 0,5 2 x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
10 Плотность нормированного распределения
2 2
2 1
)
(
x e
x
(функция Лапласа, приложение 1) Функция распределения dz e
x x
z
0 2
2 Вероятность попадания нормированной СВ Х в интервал (0, х) можно найти, используя функцию Лапласа Ф(х): Р < Х < х) = х x
dz Функция распределения СВ Х, распределенная по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле
a x
x
F
2 Свойства СВ, распределённой по нормальному закону
1. Вероятность попадания СВ Х, распре- делённой по нормальному закону, винтер- вал [x
1
; x
2
], равна
)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
t t
х
Х
х
P
a x
t
1 1
,
a x
t
2 2
2. Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от МО а не превысит величину > 0 ( по абсолютной величине)
2
а
Х
Р
В частности, если
= σ:
6827
,
0 1
2
а
Х
Р
;
= 2σ:
9545
,
0 2
2 2
а
Х
Р
;
= 3σ:
9973
,
0 3
2 3
а
Х
Р
«Правило трёх сигм»: Если СВ Х имеет нормальный закона, то практически достоверно, что её значения заключены в интервале (а –
3σ ; а + 3σ). Нарушение правила является событием практически невозможным
3
а
Х
Р
0027
,
0 9973
,
0 1
3 1
а
Х
Р
Пример 8. Полагая, что рост мужчин определённой возрастной группы имеет нормальное распределение СВ Х с параметрами а = 173, σ
2
= 36, найти а) долю костюмов го роста (176 – 182), которые нужно предусмотреть в общем объёме производства. б) сформулировать правило х сигм». Решение. а) Р(176 Х 182) = Ф) – Ф) = Ф) – Ф) = 0,2418. где
5
,
0 6
173 176 1
t
,
5
,
1 6
173 182 2
t
).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
11 б) Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3σ = 173 – 36 = 155 см до а + 3σ = 173 + 36 = см.
3. Распределение
2
2
(или распределение Пирсона) имеет сумма квадратов n независимых СВ
)
1
,
0
(
i
Z
(имеющих стандартное нормальное распределение
n i
i
Z
1 Стандартная нормально распределенная СВ Число степеней свободы СВ
2
равно n . Число степеней свободы
равно числу СВ, её составляющих, уменьшенному на число линейных связей между ними.
2
определяется одним числом n
– числом степеней свободы. График плотности вероятности СВ, имеющей
2
- распределение лежит только впервой координатной четверти и имеет асимметричный вид с вытянутым правым хвостом. Однако с увеличением числа степеней свободы распределение
2
приближается к нормальному. Распределение
2
применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек
2
- распределения.
4. Распределение Стьюдента(t – распределение) Пусть СВ
)
1
,
0
(
Z
, СВ
2
- независимая от Z величина, имеющая распределение Тогда величина n
Z
T
2
имеет распределение Стьюдента (t – распределение) с n степенями свободы (записывают T n
T
). Распределение Стьюдента определяется только одним параметром n – числом степеней свободы. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента имеет симметричный относительно оси ординат колоколообразный вид. При увеличении числа степеней свободы распределение приближается к стандартизированному нормальному. При
30
n распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением. t – распределение применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек распределения Стьюдента. f(t)
n
5
n t f(x)
1
6
10
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
12 5. Распределение Фишера (F – распределение) Пусть V и W – независимые СВ, имеющие
2
- распределение (V
2
m
, W
2
n
). Тогда СВ n
W
m
V
F имеет распределение Фишера (F – распределение) со степенями свободы m и n записывают Оно определяется двумя параметрами m и n. При больших m и n оно приближается к нормальному. А также
)
;
1
(
2
n
F
Т
n
Таблица критических значений критерия Стьюдента
(
число степеней свободы) Уровень значимости-
Уровень значимости 0,05 0,01 0,001 v
0,1 0,05 0,01 0,001 1
6,314 12,71 63,657 636,62 23 1,714 2,069 2,807 3,768 2
2,920 4,303 9,925 31,599 24 1,711 2,064 2,797 3,745 3
2,353 3,182 5,841 12,924 25 1,708 2,060 2,787 3,725 4
2,132 2,776 4,604 8,610 26 1,706 2,056 2,779 3,707 5
2,015 2,571 4,032 6,869 27 1,703 2,052 2,771 3,690 6
1,943 2,447 3,707 5,959 28 1,701 2,048 2,763 3,674 7
1,895 2,365 3,499 5,408 29 1,699 2,045 2,756 3,656 8
1,860 2,306 3,355 5,040 30 1,697 2,042 2,750 3,646 9
1,833 2,262 3,250 4,781 35 1,689 2,031 2,726 3,598 10 1,812 2,228 3,169 4,587 40 1,684 2,021 2,704 3,554 11 1,796 2,201 3,106 4,437 45 1,680 2,014 2,690 3,527 12 1,782 2,179 3,055 4,318 50 1,676 2,009 2,678 3,505 13 1,771 2,160 3,012 4,221 60 1,670 2,000 2,660 3,505 14 1,761 2,145 2,977 4,140 70 1,664 1,994 2,649 3,458 15 1,753 2,131 2,947 4,073 80 1,662 1,990 2,639 3,416 16 1,746 2,120 2,921 4,015 90 1,661 1,987 2,632 3,402 17 1,740 2,110 2,898 3,965 100 1,660 1,984 2,626 3,391 18 1,734 2,101 2,878 3,922 120 1,658 1,980 2,617 3,373 19 1,729 2,093 2,861 3,883 150 1,656 1,978 2,612 3,359 20 1,725 2,086 2,845 3,850 200 1,653 1,972 2,501 3,340 21 1,721 2,080 2,831 3,819 500 1,648 1,965 2,586 3,210 22 1,717 2,074 2,819 3,792
1,645 1,960 2,580 3,291 f(F)
1
,
1
n m
60
,
6
n m
10
,
10
n m
F
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
13 Таблица значений критерия Фишера при уровне значимости
0, 05
m n
1 2
3 4
5 6
8 12 24
1 161,5 199,5 215,7 224,6 230,2 233,9 238,9 243,9 249,0 254,3 2
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50 3
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53 4
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63 5
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36 6
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67 7
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23 8
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,93 9
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2,11 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,08 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,25 2,05 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73 25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71 26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,89 1,62 35 4,12 3,26 2,87 2,64 2,48 2,37 2,22 2,04 1,83 1,57 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,00 1,79 1,51 45 4,06 3,21 2,81 2,58 2,42 2,31 2,15 1,97 1,76 1,48 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 1,95 1,74 1,44 60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39 70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,07 1,89 1,67 1,35 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,88 1,65 1,31 90 3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,04 1,86 1,64 1,28 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,30 2,19 2,03 1,85 1,63 1,26 125 3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,01 1,83 1,60 1,21 150 3,90 3,06 2,66 2,43 2,27 2,16 2,00 1,82 1,59 1,18 200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 1,98 1,80 1,57 1,14 300 3,87 3,03 2,64 2,41 2,25 2,13 1,97 1,79 1,55 1,10 400 3,86 3,02 2,63 2,40 2,24 2,12 1,96 1,78 1,54 1,07 500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 1,96 1,77 1,54 1,06 1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 1,95 1,76 1,53 1,03
3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,52 1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
14 Тема 2. Базовые понятия статистики. 2.1. Выборка и генеральная совокупность При исследовании реальных экономических процессов приходится обрабатывать большие объёмы экономических данных по разнообразным показателям, которые являются случайными величинами. Основная задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки экономических данных для получения научных и практических выводов. Иногда проводят сплошное обследование, те. исследуется каждый объект изучаемой совокупности относительно признака, которым интересуются. Однако изучение всей совокупности во многих случаях невозможно (трудоёмко, дорого- стояще и т.п.). Поэтому на практике вся совокупность анализируется редко, в таких случаях проводят несплошное обследование (наблюдение. К несплошным относится и выборочное наблюдение. В теории выборочного наблюдения приняты следующие определения Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой СВ Х приданном реальном комплексе условий. Выборочной совокупностью (выборкой) называется часть элементов генеральной совокупности, отобранная для изучения. Число элементов совокупности называется её объёмом. Например, из 1000 деталей отобрано 100 для изучения, тогда объём ген.совокупности N = 1000, объём выборки n=100. Для осуществления выводов о генеральной совокупности используют выборку ограниченного объёма. Поэтому задача математической статистики – исследование свойств выборки и обобщение этих свойств на генеральную совокупность. Полученный при этом вывод называют статистическим. Выборку называют репрезентативной, если она достаточно точно отражает изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности. Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, так, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные шансы попасть в выборку. Для обеспечения репрезентативности выборки применяют следующие способы отбора 1. Простой случайный отбор – объекты по одному извлекаются из ген.совокупности. Такой отбор дают обыкновенная лотерея, жеребьёвка, использование таблиц случайных чисел. 2. Механический отбор – вся генеральная ген.совокупность делится настолько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а затем из каждой группы извлекается и обследуется одна единица. 3. Типический отбор – объекты отбирают пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности. Он нужен для того, чтобы отразить сложную структуру ген.совокупности. При его проведении ген.совокупность предварительно подразделяется на качественно однородные группы, а затем из них производится случайный отбор. 4. Серийный отбор – объекты отбирают не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному обследованию. На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются вышеперечисленные способы. Выборка может быть повторной, когда объект после изучения возвращается в генеральную совокупность и могут снова попасть в выборку. И бесповторной, когда после изучения объект не возвращается в массив. |
|
|
Скачать 1.28 Mb.