Эконометрика, лекции. 1 Составитель Е. А. Парышева Введение
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
) ( k K P . Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид 0 1 : Н Левосторонней называют критическую область ) ; ( 1 k , определяемую из соотношения ) ( 1 k K P . Она используется в случае, когда альтернативная гипотеза имеет вид 0 1 : Н Общая схема проверки гипотез 1. Формулировка проверяемой (нулевой - Но) и альтернативной (Н) гипотез. Выбор соответствующего уровня значимости α. Определение объема выборки п. Выбор критерия К для проверки Н Определение критической области и области принятия гипотезы. Вычисление наблюдаемого значения критерия К набл 7. Принятие статистического решения. Тема 3. Соотношения между экономическими переменными. Линейная связь. Корреляция Различные экономические явления как на микро-, таки на макроуровне не являются независимыми, а связаны между собой (цена товара и спрос на него, объём производства и прибыль фирмы и.т.д.). Эта зависимость может быть строго функциональной (детермированной) и статистической. Зависимость между Y и X называется функциональной, когда каждому значению одного признака соответствует одно единственное значение другого признака. (Примером такой однозначной зависимости может служить зависимость площади круга от радиуса. В реальной действительности чаще встречается иная связь между явлениями, когда каждому значению одного признака могут соответствовать несколько значений другого (например, связь между возрастом детей и их ростом. Форма связи, при которой один или несколько взаимосвязанных показателей (факторов) оказывают влияние на другой показатель (результат) неоднозначно, ас определенной долей вероятности, называется статистической. В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, тов этом случае статистическую зависимость называют корреляционной. В зависимости от числа факторов, включаемых в модель, различают парную корреля- Область принятия гипотезы ) ( k K P 0 k k Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 22 цию (связь двух переменных) и множественную (зависимость результата от нескольких факторов. Корреляционный анализ состоит в определении направления, формы и степени связи тесноты) между двумя (несколькими) случайными признаками X и По направлению корреляция бывает положительной (прямой, если при увеличении значений одной переменной увеличивается значение другой, и отрицательной (обратной, если при увеличении значений одной переменной, уменьшается значение другой. По форме корреляционная связь может быть линейной (прямолинейной, когда изменение значений одного признака приводит к равномерному изменению другого (математически описывается уравнением прямой bX a Y ), и криволинейной, когда изменение значений одного признака приводит к неодинаковым изменениям другого (математически она описывается уравнениями кривых линий, например гиперболы x b a Y , параболы 2 cx bx a Y и т.д.). Простейшей формой зависимости между переменными является линейная зависимость. И проверка наличия такой зависимости, оценивание её индикаторов и параметров является одним из важнейших направлений эконометрики. Существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определённым образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. 3.1. Коэффициент линейной корреляции Наиболее простым, приближенным способом выявления корреляционной связи является графический. При небольшом объеме выборки экспериментальные данные представляют в виде двух рядов связанных между собой значений i x и у. Если каждую пару i i y x ; представить точкой на плоскости xОу , то получится так называемое корреляционное поле (рис. Если корреляционное поле представляет собой эллипс, ось которого расположена слева направо и снизу вверх (рис.1в), то можно полагать, что между признаками существует линейная положительная связь. Если корреляционное поле вытянуто вдоль оси слева направо и сверху вниз (рис.1г), то можно полагать наличие линейной отрицательной связи. В случае же если точки наблюдений располагаются на плоскости хаотично, те корреляционное поле образует круг (риса, то это свидетельствует об отсутствии связи между признаками. На рис.1б представлена строгая линейная функциональная связь. Под теснотой связи между двумя величинами понимают степень сопряженности между ними, которая обнаруживается с изменением изучаемых величин. Если каждому заданному значению соответствуют близкие друг другу значения Y , то связь считается тесной (сильной если же значения Y сильно разбросаны, то связь считается менее тесной. При тесной корреляционной связи корреляционное поле представляет собой более или менее сжатый эллипс. Количественным критерием направления и тесноты линейной связи является коэффициент линейной корреляции. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции. Он вычисляется по формуле y x y x n i i i y x y x y x n y y x x где i x , i y текущие значения признаков X и Y ; x и y средние арифметические значения признаков n y x y x n i i i 1 - среднее арифметическое произведений вариант, Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 23 n х х х х i x 2 2 2 и n y y у у у 2 2 средние квадратические отклонения этих признаков n объём выборки. Для вычисления коэффициента корреляции достаточно принять предположение о линейной связи между случайными признаками. Тогда вычисленный коэффициент корреляции и будет мерой этой линейной связи. Коэффициент линейной корреляции принимает значения отв случае строгой линейной отрицательной связи, до +1 в случае строгой линейной положительной связи (те. 1 1 r ). Близость коэффициента корреляции к 0 свидетельствует об отсутствии линейной связи между признаками, ноне об отсутствии связи между ними вообще. Коэффициенту корреляции можно дать наглядную графическую интерпретацию. Если 1 r , то между признаками существует линейная функциональная зависимость вида bX a Y , что означает полную корреляцию признаков. При 1 r , прямая имеет положительный наклон по отношению коси, при 1 r отрицательный (рис. б. Если 1 1 r , точки ) ; ( i i y x находятся в области ограниченной линией, напоминающей эллипс. Чем ближе коэффициент корреляции к 1 , тем уже эллипс и тем теснее точки сосредоточены вблизи прямой линии. Приговорят о положительной корреляции. В этом случае значения i y имеют тенденцию к возрастанию с увеличением i x (рис.1в). Приговорят об отрицательной корреляции значения i y имеют тенденцию к уменьшению с ростом i x (рис.1г). Если 0 r , то точки i i y x ; располагаются в области, ограниченной окружностью. Это означает, что между случайными признаками X и Y отсутствует корреляция, и такие признаки называются некоррелированными (риса. Отсутствие корреляции Полная корреляция y y 1 r 0 r 1 r x x а) б) Положительная корреляция Отрицательная корреляция y y 0 r 0 r x x в) г) Рис. 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 24 Также коэффициент линейной корреляции может быть близок (равен) нулю, когда между признаками есть связь, но она нелинейная (рис. При оценке тесноты связи можно использовать следующую условную таблицу Величина коэффициента корреляции при наличии Теснота связи прямой связи (+) обратной связи (−) Связь отсутствует Связь слабая 3 , 0 0 r 0 Связь умеренная 7 , 0 3 , 0 r 3 , 0 Связь сильная 1 7 , 0 r 7 , 0 Полная функциональная Заметим, что в числителе формулы для выборочного коэффициента линейной корреляции величин X и стоит их показатель ковариации: n y y x x Y X n i i i n 1 Этот показатель, как и коэффициент корреляции характеризует степень линейной связи величин и Y . Если он больше нуля, то связь между величинами положительная, если меньше нуля, то связь – отрицательная, равен нулю – линейная связь отсутствует. В отличие от коэффициента корреляции показатель ковариации нормирован – он имеет размерность, и его величина зависит от единиц измерения X и Y . В статистическом анализе показатель ковариации обычно используется, как промежуточный элемент расчёта коэффициента линейной корреляции. То. формула расчёта выборочного коэффициента корреляции приобретает вид Y X n n Y X Y X r , cov , 3.2. Оценка значимости (достоверности) коэффициента корреляции Следует отметить, что истинным показателем степени линейной связи переменных является теоретический коэффициент корреляции, который рассчитывается на основании данных всей генеральной совокупности (те. всех возможных значений показателей Х, где ) )( ( , cov Y M Y X M X M Y X - теоретический показатель ковариции, который вычисляется как математическое ожидание произведений отклонений СВ X и Y от их математических ожиданий. Как правило, теоретический коэффициент корреляции мы рассчитать не можем. Однако из того, что выборочный коэффициент неравен нулю 0 n r не следует, что теоретический коэффициент также 0 (те. показатели могут быть линейно независимыми. То. поданным случайной выборки нельзя утверждать, что связь между показателями существует. y х Рис r=0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 25 Выборочный коэффициент корреляции является оценкой теоретического коэффициента, т.к. он рассчитывается лишь для части значений переменных. Всегда существует ошибка коэффициента корреляции. Эта ошибка - расхождение между коэффициентом корреляции выборки объемом n и коэффициентом корреляции для генеральной совокупности определяется формулами 2 1 2 n r S r при 100 n ; и n r S r 2 1 при Проверка значимости коэффициента линейной корреляции означает проверку того, насколько мы можем доверять выборочным данным. С этой целью проверяется нулевая гипотеза ) 0 : ( 0 H о том, что значение коэффициента корреляции для генеральной совокупности равно нулю, те. в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Альтернативной является гипотеза Для проверки этой гипотезы рассчитывается t - статистика (критерий) Стьюдента: 2 1 2 r n r S r Которая имеет распределение Стьюдента с 2 n степенями свободы 1 По таблицам распределения Стьюдента определяется критическое значение кр Если рассчитанное значение критерия кр t t , то нуль-гипотеза отвергается, то есть вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля с вероятностью Если же кр t t , тогда нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В этом случае не исключается, что истинное значение коэффициента корреляции равно нулю, те. связь показателей можно считать статистически незначимой. Пример 1. В таблице приведены данные залет о совокупном доходе x и расходах наконечное потребление y . x 10 12 11 12 14 15 17 20 y 7 8 8 10 11 12 14 16 Изучить и измерить тесноту взаимосвязи между заданными показателями. Тема 4. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов Коэффициент корреляции указывает на степень тесноты взаимосвязи между двумя признаками, но он не дает ответа на вопрос, как изменение одного признака на одну единицу его размерности влияет на изменение другого признака. Для того чтобы ответить на этот вопрос, пользуются методами регрессионного анализа. Регрессионный анализ устанавливает форму зависимости между случайной величиной Y и значениями переменной величины Х, причем, значения Х считаются точно заданными. Уравнение регрессии – это формула статистической связи между переменными. Если эта формула линейна, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией (нескольких переменных – множественной. Выбор формулы зависимости называется спецификацией уравнения регрессии. Оценка значений параметров выбранной формулы называется параметризацией. Как же оценить значения параметров и проверить надёжность сделанных оценок Рассмотрим рисунок 1 Степень свободы равна числу переменных (объёму выборки, уменьшенному на число линейных связей между ними. Линейной связью, например, является формула расчёта выборочной средней. Т.к. в формулу коэффициента линейной корреляции входят два средних значения x и y , то объём выборки уменьшается именно на 2. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 26 На графике (а) взаимосвязь хи у близка к линейной, прямая линия 1 здесь близка к точкам наблюдений и последние отклоняются от неё лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий. На графике (б) реальная взаимосвязь величин хи у описывается нелинейной функцией 2, и какую бы мы ни провели прямую линию (например, 1), отклонения точек от неё будут неслучайными. На графике (в) взаимосвязь между переменными хи у отсутствует, и результаты параметризации любой формулы зависимости будут неудачными. Начальным пунктом эконометрического анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Всегда можно попытаться провести такую прямую линию, которая будет ближайшей к точкам наблюдений по их совокупности (например, на рисунке в) лучшей будет прямая 1, чем прямая 2). Теоретическое уравнение парной линейной регрессии имеет вид i i i x y , где , называются теоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами) регрессии i - случайным отклонением (случайной ошибкой. В общем виде теоретическую модель будем представлять в виде Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать все значения переменных Хите. всю генеральную совокупность, что практически невозможно. Задача состоит в следующем по имеющимся данным наблюдений i x , i y необходимо оценить значения параметров Пусть а – оценка параметра , b – оценка параметра Тогда оценённое уравнение регрессии имеет вида, где i теоретические значения зависимой переменной y, i e - наблюдаемые значения ошибок i . Это уравнение называется эмпирическим уравнением регрессии. Будем его записывать в виде e bX а Y ˆ В основе оценки параметров линейной регрессии лежит Метод Наименьших Квадратов (МНК) – это метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции. n i i i n i i i n i i bx a y y y e b a Q 1 2 1 2 1 Функция Q является квадратичной функцией двух параметров a и b. Т.к. она непрерывна, выпукла и ограничена снизу ( 0 Q ), поэтому она достигает минимума. Необходимым условием существования минимума является равенство нулю её частных производных пои у у у 1 1 2 1 2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 27 n i i i i b n i i i a x bx a y Q bx a y Q 1 1 0 2 0 2 n i n i n i i i i i n i i n i i y x x b x a y x b na 1 1 1 2 1 Разделив оба уравнения системы на n, получим y x x b x a y x b a 2 2 2 ) (x x y x xy b x b y a или 2 ) ( ) )( ( x x y y x x b x b y a i i Иначе можно записать , ) ( ) , cov( x b y a r x D y x b x y x и y средние квадратические отклонения значений тех же признаков. То. линия регрессии проходит через точку со средними значениями хи у y x, , а коэффициент регрессии b пропорционален показателю ковариации и коэффициенту линейной корреляции. Если кроме регрессии Y на X для тех же эмпирических значений найдено уравнение регрессии на Y ( bY а Х ˆ , где уху х, то произведение коэффициентов y x b b , : 2 r b b Коэффициент регрессии у это величина, показывающая, насколько единиц размерности изменится величина y при изменении величины x на одну единицу ее размерности. Аналогично определяется коэффициент х b Как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии может принимать и положительные и отрицательные значения. Например, если коэффициенту имеет знак "", то это означает, что при увеличении значения признака x на единицу его размерности значение признака уменьшается на величину, равную у |