Теория разработки электронной поддержки. 1 Учебные материалы по дисциплине Элементы высшей математики
 Скачать 2.19 Mb.
|
|
1 Учебные материалы по дисциплине Элементы высшей математики (Часть 1) Содержание Раздел 1. Числа и векторы ........................................................................................................ Тема 1. Действительные числа ............................................................................................. Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами ................................. Тема 3. Проекция вектора на ось ....................................................................................... Раздел 2. Линейная алгебра .................................................................................................... Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы ........................................................................ Тема 2. Решения систем линейных уравнений методом Крамера .................................. Тема 3. Ранги базисные строки матрицы ......................................................................... Тема 4. Операции над матрицами ...................................................................................... Тема 5. Свойства операций над матрицами ...................................................................... Тема 6. Системы линейных уравнений ............................................................................. Тема 7. Матрица системы ................................................................................................... Тема 8. Метод Гаусса .......................................................................................................... Тема 9. Матричная форма решения системы .................................................................... Раздел 3. Аналитическая геометрия ...................................................................................... Тема 1. Прямая на плоскости. Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве ..................................................................... Тема 3. Взаимное расположение прямых .......................................................................... Тема 4. Прямая и плоскость ................................................................................................ Тема 5. Окружность ............................................................................................................. Тема 6. Эллипс ..................................................................................................................... Тема 7. Гипербола ................................................................................................................ Тема 8. Парабола ................................................................................................................ 104 2 Раздел 1. Числа и векторы Тема 1. Действительные числа Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа. Число — важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа 1, 2, 3, 4,... При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число и делить ее на долине нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей. Обозначаются , где m и n — целые числа — сокращение дроби — расширение. Дроби со знаменателем 10n, где n — целое число, называются десятичными 3 Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби — чистая периодическая дробь, — смешанная периодическая дробь. Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры. Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа. Числа целые (положительные и отрицательные, дробные положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической. Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа — введение действительных (вещественных) чисел — присоединением к рациональным числам иррациональных иррациональные числа — это бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата, в алгебре — при извлечении корней , примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e. Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс / ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. Числа натуральные (1, 2, 3,...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рациональные представимые в виде т п, где т и n ≠ 0 — целые числа) и иррациональные не представимые в виде т п) образуют множество действительных (вещественных) чисел. Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 24. Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением б) начало отсчета — точка 0; в) единица масштаба. 4 Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс / ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. Свойства действительных чисел 1. a + b = b + a. 2. аса+ с 3. а + 0 = а 4. а + а) = 0. 5. ab = b аса. а · 1 = a. 9. 10. a (b + c) = ab + ac. Степенью ас натуральным показателем п называется произведение п одинаковых сомножителей, равных а где а — основание степени п — показатель степени. В частности, 1n = 1; 0n = 0 (п ≠ 0). По определению Правила действий со степенями ас amn; 4. 5 5. Основные алгебраические формулы а 2 – b 2= (а – b) (а + b); а ± b)3 = а 3 ± а 2b + а b 2 ± b 3; а ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2; a 3 ± b 3 = (а ± b) (a 2 + ab + b 2); (2.3) а + b +... + k + l)2 = а 2 + b 2+...+ k 2 + l 2 + 2 (ab +...+ ak + al + bc +...+ bk + bl +... + kl); an – bn = (a – b)(an–1 + a n–2b + an–3b 2+... + abn–2+ bn–1). Например, (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + ac + bc); a 5 – b 5 = (a – b) (a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + b 4).) Корнем степени п из числа а называется число, п-я степень которого равна заданному числу а где а — подкоренное выражение п — показатель корня п N). Например, так как 35 = 243.) По определению Действие нахождения корня называется извлечением корня. 6 Арифметическим корнем, или арифметическим значением корня, п-й степени называется неотрицательное число (n я степень которого равна а. Например, — арифметические, — неарифметические корни) На множестве действительных чисел под корнем четной степени (п = 2k) из неотрицательного числа подразумевается его арифметическое значение (например, , а не –3). (На множестве комплексных чисел имеет п значений) Выражения, содержащие знак корня (радикал, называются иррациональными. Правила действий с корнями. ас Например, Указанные правила безоговорочно верны для арифметических корней Например, а не Для четного п = 2k. 7 те. (<...> например, так как так как По определению степень с рациональным дробным) показателем где ат п N. Например, Для степеней с дробным показателем сохраняются те же правила действий со степенями, приведенные выше. 8 Формула сложного радикала Пример 1. Упростить выражения Решение. а) Учитывая формулы, получаем 9 или по формуле сложного радикала Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 34–37. Запись n N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел. Z означает множество целых чисел. Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами t °, V, m, время, … Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление F, скорость, ускорение. Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс / ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой Аи конечной точкой В который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 1)). Рис. 1 Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, таки одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например а = АВ, или 10 Длиной модулем, или нормой) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор. Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными Векторы, лежащие водной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называют нулевыми обозначают Длина нулевого вектора равна нулю Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору. Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — Основы наук) — С. 119. Действия над векторами Произведением вектора на число λ называется вектор имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора , если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0 (рис. 2). Рис. 2 Вектором, противоположным вектору , называется произведение вектора на число (–1), те. Суммой двух векторов и называется вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 3) правило треугольника. 11 Рис. 3 Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 3) (правило параллелограмма. Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов есть вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора (правило многоугольника) рис. 4). Рис. 4 Если же векторы некомпланарны, то вектор представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах правило параллелепипеда) (рис. 5). 12 Рис. 5 Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на плоскости Оху являются два числах и у ( — риса в пространстве Oxyz — три числах, у, z ( — рис. 7). Рис. 6 Рис. 7 Вектор может быть записан в виде 13 где — единичные векторы, или орты, совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ох, Оу, Oz. Векторы называются компонентами вектора , а формула — разложением вектора по векторам . Длина вектора см. рис. 6 и 7) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат или Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119–121. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором с осями координат при этом Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121. 14 ВЕКТОРЫ ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Базис Координаты вектора A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) A (x 1; y 1; z 1), B (x 2; y 2; z 2) Длина вектора Действия над векторами Условие коллинеарности векторов 15 ВЕКТОРЫ ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Направляющие косинусы Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 16. Тема 3. Проекция вектора на ось Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка А'В' где АА' , ВВ' — рис. 8), те. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l, и со знаком «–», если эти направления противоположны Рис. 8 16 Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Скалярное произведение Определение Свойства Координатная форма Применение 1. Угол между векторами 2. Условие перпендикулярности 17 3. Работа 4. Проекция вектора Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17. Пример 2. Даны два единичных вектора и , угол между которыми 120°. Найти а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и ; б) проекцию вектора на направление вектора . Решение Рис. 9 1. Искомый угол φ (рис. 9) определим по формуле 18 По формулам найдем скалярное произведение векторов и и их длины Теперь и 2. По формуле Найдем Теперь ► Цит. по Высшая математика для экономистов Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия Золотой фонд российских учебников) — С. 66–67. 19 Пример 3. Даны векторы Найти а) скалярное произведение векторов, где б) угол между векторами Решение а) По определению По формуле найдем длины векторов : По формуле скалярное произведение б) По формуле угол между векторами определяется равенством откуда φ = arccos 0,52 ≈ 58°. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям (риса) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, те. ; б) вектор перпендикулярен каждому из векторов ив) вектор направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы образуют правую тройку векторов. Рис. 10 Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Векторное произведение Определение Свойства Координатная форма 21 НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Векторное произведение Применение 1. Площадь параллелограмма 2. Площадь треугольника 3. Условие коллинеарности: Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 18. Примеры 1. Дано , Найти Решение . . . 22 2. Дано , Найти Решение Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс / ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и , где есть векторное произведение векторов и Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. — Основы наук) — С. 123. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Смешанное произведение Определение Свойства Координатная форма 23 НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Смешанное произведение Применение 1. Объем параллелепипеда 2. Объем тетраэдра 3. Условие компланарности: 4. Условие принадлежности четырех точек одной плоскости Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 19. 24 Раздел 2. Линейная алгебра Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы Матрицы. Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида называется прямоугольной матрицей размерах где m - количество строка- количество столбцов. Определение 2. Числа, которые образуют матрицу, - a ij, где называются элементами матрицы. Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента a ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемента- в каком столбце находится этот элемент. Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. Виды матриц Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Матрица размерах называется матрицей-столбцом. Матрица размерах называется матрицей-строкой. 25 Определение 4. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы. Определение 5. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю. Определение 6. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n- го порядка и обозначается Е. Определение 7. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю. Примеры. Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. 125–126. 26 27 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители второго порядка Определители третьего порядка Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. - Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. - С. 6, 10. Определитель квадратной матрицы го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса. где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема, либо со знаком «–» (правая схема 28 Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения Цит. по Высшая математика для экономистов Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. - е изд, перераб. и доп. - М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - (Серия Золотой фонд российских учебников) - С. 11, 12. Свойства определителей Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется. Следствие Строки и столбцы в определителе равноправны, те. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов. Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и тоже число, то и весь определитель умножится на это число. Следствие Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный. Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю. Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю. Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т. д. Следствие Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю. Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменится. 29 Миноры и алгебраические дополнения Пусть дана прямоугольная матрица А размерах Определение 8. Минором порядка k данной матрицы, где k ≤ min (m; n), называется определитель k го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m - k) строки столбцов. Пример 4. Определение 9. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы An х n называется определитель (n - 1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен. Пример 5. Найдем дополнительный минор к элементу a31. Определение 10. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы An х n называется число Aij = (- 1)i+j· Mij. Пример 6. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a33. 30 Теорема 6. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. - разложение определителя пой строке. Теорема 7. Сумма попарных произведений элементов любой строки столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю. Вычисление определителей порядка n > 3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теорем 5 и 6. Пример 7. разложение определителя по первому столбцу Перед разложением определителя для удобства получают водном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют теорему 5. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками. 31 Цит. по Математика для экономистов учебное пособие / СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. 131–134. Задание 1. Вычислить определители матрицы A: Решение а) По формуле б) Определитель вычисляется по формуле Запоминать эту формулу не следует, достаточно применить правило треугольников, согласно которому три произведения элементов, показанных на левой схеме (п. 2), берутся со знакома три других произведения элементов, показанных на правой схеме (п. 2), берутся со знаком «–» |A| = 1 · 1 · 1 + 0 · 2 · 2 + 0 · 5 · 3 – 0 · 1 · 0 – 1 · 2 · 3 – 1 · 2 · 5 = –15. ► Задание 2. Вычислить тот же определитель, приведенный в заданию 1, б, используя его разложение по элементам а) первой строки б) второго столбца. 32 Решение а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле Теперь по теореме Лапласа |A| = a11 · A 11 + a12 · A12 + a13 · A13 = 1 · (– 5) + 2 · (– 5) + 0 · 15 = –15. б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца Теперь по формуле |A| = a21 · A21 + a22 · A22 + a32 · A32 = 2 · (– 5) + 1 · 1 – 3 · 2 = –15. ► Задание 3. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка 33 Решение С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк столбцов) добиваемся того, чтобы элемент a11 = 1. В данном случае достаточно поменять местами й и й столбцы при этом меняется знак определителя матрицы A: Умножая элементы й строки на числа (–aij); i = 1, 2, 3, 4, те. в данном случае на числа 1, (–2), (–1), и прибавляя их соответственно к элементам 2- й, й и й строк, добиваемся того, чтобы все элементы го столбца (кроме a11) равнялись нулю Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент a 22 = 1. В данном случае это возможно, если переставить ю и ю строки при этом меняется знак определителя. Умножая элементы й строки, полученной матрицы на числа (–a 12) (i = 3, 4), в данном случае на числа (–2) и 1, добиваемся того, чтобы все элементы го столбца (кроме a22) равнялись нулю. 34 Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы й строки полученной матрицы к элементам й. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов ► Цит. по Высшая математика для экономистов Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. - е изд, перераб. и доп. - М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - (Серия Золотой фонд российских учебников) - С. 13–14. Тема 2. Решения систем линейных уравнений методом Крамера Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными Теорема 8. теорема Крамера) |