1. Вывод уравнения малых поперечных колебаний упругой струны.
Будем рассматривать струну, расположенную вдоль оси х. колебания каждой точки струны с абсциссой х описываются 3 компонентами вектора смещения . Мы рассматриваем модель колебаний, в которой:
А) векторы смещения струны лежат в одной плоскости (x,U)
Б) вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к оси х (поперечные колебания)
В) рассматриваем лишь малые колебания (т.е такие, в которых можно пренебречь квадратом в сравнении с единицой.)
В рамках этой модели величину натяжения струны Т можно считать независимой от времени t.
Т.е в нач момент времени длина струны на участке равна , а в момент времени t:
Для малых колебаний:
Отсюда, в силу з-на Гука, следует, что струна со временем не растягивается, а следовательно .
Т.к мы рассматриваем только поперечные колебания, то нас интересует только проекция вектора натяжения на ось U. Обозначим ее через .
|
2. Вывод уравнения малых продольных колебаний упругого стержня.
Рассматриваем стержень, расположенный вдоль оси х. обозначения: S(x)- площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведено через точку х. κ(х) и ρ(х) – модуль Юнга и плотность в сечении с абсциссой х. - величина отклонения(вдоль стержня) сечения с абсциссой х в момент времени t (при этом предполагается, что вел отклонения всех точек фиксированного сечения одинакова). Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Малыми будем называть продольные колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются з-ну Гука.
Подсчитаем относительное удлинение участка в момент времени t. Координаты концов этого участка равны . Относительное удлинение участка равно
,
Т.е относительное удлинение в точке х в момент времени t равно , а величина натяжения, по з-ну Гука равна .
Пусть - плотность равнодействующих внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х. применяя 2 з-н Ньютона к участку стержня за время , получаем:
Это и есть уравнение малых продольных колебаний участка стержня в интегральной форме.
|
3. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.
рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой.
если с обоих концов поддерживать постоянную температуру и , то вдоль стержня установится линейное распределение температуры: (1).
кол-во тепла, протекающее через сечение стержня площади S за ед времени, дается экспериментальной ф-лой: (2) , где k-коэффициент теплопроводности.
1. По з-ну Фурье кол-во тепла, протекающее через сечение х за промежуток времени , равно:
(3) , где (4) – плотность теплового потока, равная кол-ву тепла, протекающего в ед времени через площадь в 1 . Этот з-н представляет обобщение ф-лы 2, которой можно придать интегральную форму: (5), где Q – кол-во тепла, протекающее за промежуток времени через сечение х. если стержень неоднороден, то k зависит от х.
2. Кол-во тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на , равно: (6), где с - удельная теплоемкость, m – масса тела, ρ – плотность, V – объем.
Если изменение температуры имеет различную вел-ну на разных участках стержня или стержень неоднороден, то: (7)
3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло. Напр есть тепловой источник (хим реакция, воля божья и т.д), то в рез-те действия этих источников на участке стержня за промежуток времени выделится кол-во тепла: (8) или в инт форме: (9)
|
4. Вывод уравнения диффузии
Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой, предполагая, что в любой момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки одинакова.
тогда процесс диффузии может быть описан ф-цией , представляющей концентрацию в сечении х в момент времени t.
Согласно з-ну Нернеста масса газа, протекающая через сечение х за промежуток времени , равна:
, (16), где D-коэффициент диффузии, S – площадь сечения трубки,
W(x,t) – плотность диффузионного потока, равная массе газа, протекающей в ед времени через ед площади.
По определению концентрации, кол-во газа в объеме V равно: , отсюда получаем, что изменение массы газа на участке трубки при изменении концентрации на равно:
, где с – коэффициент пористости.
Составим ур-ние баланса массы газа на участке за время :
.
Из этого ур-ния, применяя последовательно теорему о среднем, теорему о конечных приращениях и переходя к пределу при и (см билет номер 3), получим уравнение диффузии:
При выводе этого ур-ния мы считали, что в трубке нет источников вещ-ва и диффузия через стенки отсутствует.
Если коэффициент диффузии постоянен, то ур-ние диффузии принимает вид:
, где
|
5. Вывод уравнения электрический колебаний в проводах
– сила тока, U – напряжение; это параметры, характ. прохождение эл тока по проводу. Они являются ф-ми положения точки х и временем t. Применяя з-н Ома к участку длиной dx, можно написать, что падение напряжения на эл-те провода dx равняется сумме эдс:
, где R,L – сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанные на ед длины.
количество электричества, притекающее на эл-т провода dx за время dt
равно сумме кол-ва эл-ва, необходимого для зарядки эл-та dx, и кол-ва, теряющегося вследствие несовершенства изоляции:
С и G – коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, при этом коэффициент потерь в точке считается пропорциональным напряжению.
из этих формул получаем систему: называемой системой телеграфных ур-ний
чтобы получить одно уравнение, определяющее ф-ию i, продифференцируем 1 рав-во по х, второе по t, умножив его на С.производя вычитание в предположении постоянства коэффициентов, найдем:
, заменяя его значением из 2-ого ур-ния получим:
аналогично выглядит ур-ние для напряжения
эти 2 ур-ния наз-ся телеграфными
если потерями можно пренебречь, а сопротивление очень мало ( ), то мы получим известное ур-ние: ( )
|
6. Общая схема метода Фурье на примере простейшей одномерной задачи теплопроводности с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
|
7. Общая схема метода Фурье на примере простейшей одномерной задачи теплопроводности с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
|
8. Общая схема метода Фурье на примере простейшей одномерной задачи теплопроводности с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогат задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3. пусть
|
9. Общая схема метода Фурье на примере одномерного уравнения колебаний струны с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
|
Применяя ЗСЭ и исп ф-лы 5,7,9 получим ур-ние теплопроводности в интегральном виде:
(10)
чтобы получить ур-ние теплопроводности в диф виде, предп, что ф-ция непрер произв и .
Пользуясь теоремой о среднем получим: (11)
ур-ние 11 можно преобразовать, используя теор о конечных приращениях:
(12), где и - промежуточные точки интервалов и .
Из 12, после сокращения на получим: (13)
Переходы к пределу при и получим уравнение теплопроводности:
частный случай:
Если стержень однороден, то k,c,ρ можно считать постоянными, и ур-ние обычно записывают в виде:
, где , . – коэффициент температуропроводности.
Если отсутствуют источники, т.е , то ур-ние примет вид:
|
Если имеет непрерывные произв 2 пор, а и – непрерывную произв 1-ого пор, то дифференциальное уравнение малых продольных колебаний стержня:
Если , и постоянны, то, предполагая существование предыдущие ур-ние приводится к виду: , где ,
Это ур-ние так же гиперболического типа.
|
, где - угол касательной к кривой с осью х при
фиксированном t.
Количество движения участка в момент времени t равно: , где ρ-лин плотность струны.
Пусть - плотность равнодействующих внешних сил, действующих на струну в направлении оси U.
По 2 з-ну Ньютона изменение кол-ва движения на участке за время равно импульсу действующих сил(в данном случае ) и внешних сил ( ).
(1)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны между точками и в интегральной форме.
Если имеет непрерывные произв 2 пор, а T(x) – непрерывную произв 1-ого пор, то, применяя теор Лагранжа о приращении ф-ции и теор о среднем для интегралов в ур-нии (1), получим
(2) , где , .
Разделив обе части рав-ва (2) на и перейдя к пределу при и получим дифференциальное ур-ние малых поперечных колебаний струны:
(3)
В случае, когда T=const и ρ=const, ур-ние обычно пишут в виде:
(4), где , .
Ур-ние 4 называется одномерным волновым уравнением. Оно гиперболического типа.
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. н.у. Получим
т.е. являются коэф. Фурье ф-ии. при разложении её по синусам на интервале (0,l)
|
|
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполню ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье ф-ии. при разложении её по косинусам на интервале (0,l)
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполню ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье ф-ии. при разложении её по синусам на интервале (0,l)
|
10. Общая схема метода Фурье на примере одномерного уравнения колебаний струны с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
|
11. Общая схема метода Фурье на примере одномерного уравнения колебаний струны с классическими краевыми условиями
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
|
12. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности.
Ищем решение в виде суммы двух функций
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
|
12. т.е. являются коэф. Фурье ф-ии. при разложении её по синусам на интервале (0,l)
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
где Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
|
13. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения колебаний струны.
Ищем решение в виде суммы двух функций
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
|
13 явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
|
14. Схема метода Фурье для неоднородного уравнения колебаний струны.
Ищем решение в виде суммы двух функций
Для решения задачи рассмотрим основную вспомогательную задачу.
Найти решения не равное тождественно нулю, удовл. одн. г.у. и представимо в виде:
где X(x) – функция только переменногоx, T(t) – функция только переменногоt. Подставляя в уравнение и производя деление обеих частей равенства на получаем
где , т.к. левая часть зависит от t, а правая только от x
Г.у. дают Получена зад. о собств. знач. (ЗШЛ)
|
14. ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
|
15. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция будет определяться как решение уравнения
С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы и
Для чего достаточно положить
|
1. из г. у.
2.
3.
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполню ну. Получим
|
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
|
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
ф-ия удовл. н.у. так как им удовл. все члены ряда требуя выполн. ну. Получим
т.е. являются коэф. Фурье на интервале (0,l)
|
Решение задачи будет искать в виде ряда Фурье по собственным ф-м предыдущей задачи
Для нахождения функции представим функцию f(x,t) в виде ряда
где Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
|
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
|
Ответ:
|
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде найти можно не всегда, но всегда её можно найти в виде
Таким образом нахождение функции сводится к нахождению функции дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями
Решение этой задачи вопрос 12 за исключением того, что отсутствует нулевой член ЗШЛ и
|
где Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты будут равны нулю т.е.
Ответ:
|
- собств.знач., соотв. им нетривиальные решения собств. ф-ий ЗШЛ
1. из г. у.
2.
3.
Будем искать решение основной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям
Этим же значениям соотв. решения уравн.
Возвращаясь к осн. вспомогат. зад. видно, что
явл. частными решениями уравн. удовл. нулевым г.у. Перейдем к решению осн. задачи.
|
16. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция будет определяться как решение уравнения С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы и
Для чего достаточно положить
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде найти можно не всегда, но всегда её можно найти в виде
|
17. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция будет определяться как решение уравнения С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы и
Для чего достаточно положить
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде найти можно не всегда, но всегда её можно найти в виде
|
18. Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий приём по сведению задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями
Введём новую функцию
Представляющее отклонение от некоторой известной функции U(x,t).
Эта функция будет определяться как решение уравнения
С дополнительными условиями
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) так, чтобы и
Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах, можно подобрать функцию так, чтобы для функции выполнялись однородные краевые условия того же вида. Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случае функцию w в виде найти можно не всегда, но всегда её можно найти в виде
|
19. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Пусть ф-ция – есть решение этой системы. Тогда
– т.к. слева – ф-ия, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны т.т.т., когда они – константы :
дополняем условием периодичности, т.к. , а и должна быть непрерывной.
общее решение:
ф-ция не уд. усл. периодичности ни при каких (кроме ), ф-ция уд. усл. периодичности, только при , ф-ция уд. усл. титт, когда
ф-ция
– физически осмыслены только огр. решения, а - неогр. . т.к. нас интересуют только лин. независ. решения, то можно положить
при - это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену:
общее решение:
т.к. нас интересуют только ограниченные решения, то когда ур-ние решается в круге, содержащем начало координат B = 0 и
|
20. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Пусть ф-ция – есть решение этой системы. Тогда
– т.к. слева – ф-ция, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны титт, когда они – константы :
дополняем условием периодичности, т.к. , а и должна быть непрерывной.
общее решение:
ф-ция не уд. усл. периодичности ни при каких (кроме ), ф-ция уд. усл. периодичности, только при , ф-ция уд. усл. титт, когда
ф-ция
– физически осмысленытолько огр. решения, а - неогр. . т.к. нас интересуют только лин. независ. решения, то можно положить
при - это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену:
общее решение:
т.к. нас интересуют только ограниченные решения, то когда ур-ние решается во внешности круга, содержащего начало координат, и
|
21. Внутренняя задача Неймана для уравнения Лапласа в круге
Уравнение Лапласа примет вид
Ищем реш-е методом разд-ия переменных
делим на и ум-ем на
фун-я U, а след-но и Фдолжны быть непрерывными, то
,
есть реш-е ур-ия Лапласа т.и т. , когда -реш-е ур-ия:
, при
1)
,
Фун-я lnr неогр. ни внутри круга, ни вне круга, тослед-но нужно рассмотреть только случай = 0. Т.к нас интересуют только линейно независимые решения, то = 1 :
|
22. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Найти ограниченную фун-ю u(r, ) из условий:
Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне круга
Пусть ф-ция – есть решение этой системы. Тогда
– т.к. слева – ф-ция, завис. только от r,а справа – только от ,то они равны титт, когда они – константы :
дополняем условием периодичности, т.к. , а и должна быть непрерывной.
общее решение:
ф-ция не уд. усл. периодичности ни при каких (кроме ), ф-ция уд. усл. периодичности, только при , ф-ция уд. усл. титт, когда
ф-ция
– физически осмысленытолько огр. решения, а - неогр. . т.к. нас интересуют только лин. независ. решения, то можно положить
при - это ур-ние Эйлера; решаем, делая замену:
общее решение:
|
23. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению внутри кольца.
Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:
Пусть , тогда краевые условия примут вид:
Запишем уравнение в полярных координатах:
Будем искать решение уравнения в виде:
Уравнение примет вид:
Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
при
при
|
24. Задача Неймана для уравнения Лапласа в кольце.
Шаг 1. Решение ур-ия Лапласа в полярных координатах.
Сложив решения ур-ия Лапласа в круге и вне круга, мы в точности как задаче Дирихле для ур-ия Лапласа в кольце (билет 23), получ. общ. реш-ие ур-ия Лапласа в полярных координатах:
.
Шаг 2. Использование краевых условий.
В задаче на обеих частях границы задано краевое условие 2-го рода – условие Неймана. Воспользуемся разложением ф-ий в тригоном-ий ряд Фурье на :
, (1)
, (2)
, , ; (3)
, , (4)
Продифференц-ем по и приравняем ряд
,
взятый при r=a и r=b, к рядам (1) и (2):
;
;
Получаем при : – это условие на ф-ии , т.к. для них должно выполняться рав-во , т.е.
,
а на никаких ограничений не накладывает: - , (5).
При остальных k:
;
.
|
Функцию ищем в виде чтобы она удовлетворяла краевым условиям. Вид искомой ф-ии на краях
Из первого краевого условия.
Из второго краевого условия с учетом
Таким образом нахождение функции сводится к нахождению функции дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями
|
Таким образом нахождение функции сводится к нахождению функции дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями
|
Таким образом нахождение функции сводится к нахождению функции дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями
|
2) ,
Данное ур-ие есть ур-ие Эйлера, поскольку степень множителей r при всех производ-
ных фун-й X(r) равна порядку этих производных. Эти ур-ия реш-ся при помощи замены:
не надо расс-ать случай r= − < 0, т.к в задаче r∈ (0, R). При , ,
, т.к. .
Т.к. ур-ие реш. В круге, содерж. Нач. коорд.,
Сост. Из ряд, чтобы найти общее реш. : ;
- усл. Неймана (II-го рода), расклад. В ряд Фурье на т.к. обр-т полную ортогнал. систему фун-й:
-сх-ся абс. и равн.
-произвольны (зад. Неймана имеет беск. семейство реш-й),
|
общее решение ур-ния Лапласа вне круга:
использование краевого условия (для нахождения ):
поскольку ф-ции обр. полную ортогон. систему ф-ций, то можно разложить в ряд по этой системе – фактически, в тригонометр. ряд Фурье – на :
при этом ряд сходится к абсолютно и равномерно на
при :
при :
Ответ:
|
Общее решение уравнения Лапласа в круге:
Используем краевое условие (для нахождения ):
поскольку ф-ции обр. полную ортогон. систему ф-ций, то можно разложить в ряд по этой системе – фактически, в тригонометр. ряд Фурье – на :
при этом ряд сходится к абсолютно и равномерно на . Приравняем ряд (1), взятый при к ряду (2)
Получаем при k=0: откуда , – произвольно.
При k=N: ), откуда в силу ЛНЗ функц. и
Ответ:
|
В силу линейной незав-ти ф-ий и , получ. при систему из 4-х ур-ий с 4-мя неизвестными:
, (6)
Матрицы обеих систем и обратимы, т.к. при их определители :
,
.
Найдем и :
,
.
Тогда из систем (6) получ:
,
,
или (7)
Ответ: , где - , коэф-ты , и опр-ся из ф-л (5) и (7), а и из (3) и (4), при этом необходимо, чтобы ф-ии удовлетворяли условию (в противном случае реш-ия в виде подобного ряда не ).
|
Общее решение имее вид:
Удовлетворим краевым условиям:
;
;
Итак, получили:
– решение задачи
|
т.к. нас интересуют только ограни решения, то когда ур-ние решается во внешности круга, содержащего начало координат, и общее решение ур-ния Лапласа вне круга:
Шаг 2. Использование краевого условия
В нашей задаче задано краевое условие II-го рода-условие Неймана:
Оно позволит нам найти коэфф-ты и в формуле (*).
Поскольку функции {1, , , } образуют полную ортог-ую систему фун-ий, то фун-ию можно разложить в ряд по этой системе-фактически, в тригоном-ий ряд Фурье на промежутке :
(**)
(1*)
(2*)
При этом ряд (**) сходится к абсолютно и равномерно на . Приравняем ряд
взятый при r=R к ряду (**):
При k=0 получаем:
это- условие на фун-ию , а требований на не накладывает, они могут быть любыми. На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений, отличающихся на константу. - произвольны. При
откуда, в силу ЛН фун-ий и ,
Ответ:
где коэффициенты и опр-ся из формул (1*) и (2*), а фун-ия удовлетворяет условию , в противном случае решения в виде подобного ряда не сущ-т.
|
25. Определение и взаимосвязь цилиндрических функций.
Опр. Ур-ние наз-ся ур-нием Бесселя.
Всякое решение ур-ния Бесселя наз-ся цилиндрической ф-цией.
Опр. Ф-ция наз-ся ф-цией Бесселя порядка v.
Она явл-ся решением ур-ния Бесселя.
Ф-ции Неймана:
Ф-ции Ханкеля I-го рода и II-го рода:
Модифицированные ф-ции Бесселя и Ханкеля:
Теорема: Фундаментальную систему решений (ФСР) ур-ния Бесселя образует каждая из пар ф-ций: Следствие: Общее решение ур-ния Бесселя задается каждой из формул:
|
26. Рекуррентные формулы для цилиндрических функций.
Для функ. Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы:
.
Их также можно переписать в виде .
Если из второй формулы вычесть первую, получим еще одно выражение
Для функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком верно равенство
|
27. Интегральные формулы для функций Бесселя.
имеют место следующие интегральные формулы:
1) Интегралы Ломмеля
где Z(x) – произвольные решения уравнения Бесселя:
|
28. Поведение функций Бесселя и Неймана.
Приведем для примера ф-и , Из определения получаем:
= .
.
* .
*
|
29. Скалярное произведение, ортогональность и норма функций Бесселя.
Опр. Скалярным произв-м на простр-ве решений урав-я Бесселя будем называть следующее скалярное произв-е в
Фун-ии, скаляр. произв-е которых равно нулю, наз-ся ортогональными.
Нормой фун-ии u(x) будем называть число
Теорема:
Усл. Число а числа -действительные корни урав-ия
Утв. Фун-ии и ортогональны
Теорема (аналог т. Стеклова).
Усл.Фун-ия удовлетворяет граничным условиям
и при фун-ия
|
30. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0; R].
Опр.: Уравнение
Называется уравнение Бесселя. Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.
Опр.: Функция называется функцией Бессиля порядка v. Она является решением уравнения Бесселя.
Теорема:
Утв. 1: Функция разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)
где
Утв. 2: В случае разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)
где μk – положительные корни уравнения J1(μ)=0.
|
31. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [a; b].
Опр. Ур-ие , , наз. ур-ием Бесселя. Всякое решение наз-ся – цилиндрической ф-ией.
Опр. Ф-я наз-ся ф-ией Бесселя порядка . Она явл. реш-ем ур-ия Бесселя. ]
Теор. Усл. – ортогональная сист. собств-х ф-ий задачи Ш-Л.
Утв. , удовлетворяющей краевым условиям, : , причем последний ряд сходится к абсолютно и равномерно на , а для верно: .
Теор. Усл. Ф-я – есть решение на ур-ия .
– полож-е реш-ия ур-ия
.
Утв. 1. Каждая из ф-ий , явл-ся решением задачи Ш-Л
При этом ф-я имеет вид
.
|
32. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра. Рекуррентные формулы.
Ур-ние Лежандра:
Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , где – расстояние точки от фиксированной точки . Пусть и – радиусы векторы точек и , а – угол между ними:
где и или (в обоих случаях меньше единицы).
Производящая ф-ция полиномов:
раскладывая ее в ряд по степеням :
Коэффициенты явл. Полиномами n-ной степени и наз-ся полиномами Лежандра.
Рекуррентные формулы:
Формула Родрига (для вычисления многочленов):
|
33. Ортогональность и норма полиномов Лежандра.
Ортогональность: Полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:
при m
Норма: . Применим рекуррентную формулу дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в ) через и , а затем через и Учитывая ортогональность полиномов и , получим:
. Последовательное применение формулы дает . Подставив сюда находим квадрат нормы : Таким образом:
|
|
|
Для ф-ции Бесселя 0 и 1 порядка: Для ф-ции Бесселя полуцелого порядка:
|
Опр.: Через M мы будем обозначать следующий класс функций:
Опр.: Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бессиля на [0, R] мы будем называть задачу: найти числа λ и функции из условий:
При этом функции называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля, а числа λ – собственными числами ЗШЛ.
Оператор левой части уравнения ШЛ мы будем обозначать так:
Теорема:
Утв. 1: Все собственые числа ЗШЛ неотриц. и кратности 1.
Утв. 2: Число λ=0 есть собственное число ЗШЛ тогда и только тогда, когда , и ему соответствует собственная функция
Теорема: Утв.: Все положительные собственные числа ЗШЛ и соответствующие им функции имеют вид:
где - положительные корни уравнения
|
Утв.1. Фун-я разлагается в ряд Фурье на интер-ле (0,1)
Утв. 2. В случае фун-я разлагается в ряд Фурье на интер-ле (0,1)
где -полож-е корни ур-ия .
|
Графики некоторых ф-й.
Заметим, что Поэтому иногда говорят, что есть аналог a - аналог только – решения ур-ия , в то время как ф-и и – решения ур-ий Поскольку , функции в окрестности нуля ведут себя следующим образом: . Известно асимптотическое поведение ф-й Бесселя при
+ ), .
Теорема (Поведение в окрестности нуля).
Утв.
|
|
|
Утв. 2. .
Утв. 3. , .
[ Задача Ш-Л на ур-ия Бесселя на .
Опр. Через М обознач-ся следующий класс ф-ий: ; .
Задачей Ш-Л для ур-ия Бесс. на [0,1] наз-ся задача: найти числа и ф-ии из условий:
При этом ф-ии наз-ся собственными ф-ями задачи Ш-Л, а числа – собств-ми числами задачи Ш-Л. Оператор левой части ур-ия задачи Ш-Л обознач-ся: .
Теор. Утв. 1. Все собств-е числа задачи Ш-Л неотрицательны и кратности 1.
Утв. 2. Число – собств-ое число задачи Ш-Л т.и.т.т., когда , и ему соответствует собств-я ф-ия .
Теор. Утв. Все полож-е собств-е числа задачи Ш-Л и соответствующие им собств-е ф-ии имеют вид: , , , где – корни ур-ия .
|
34. Присоединенные функции Лежандра.
– присоединенные ф-ции Лежандра m-ого порядка.
- норма присоединенных ф-ции Лежандра m-ого порядка
Лемма: ф-ция , непр. на отр. и обращяющаяся в нуль на его концах при x=1 и x=-1, может быть равномерно аппроксимирована с степенью точности линейной комбинацией из присоединенных ф-ций порядка m.
|
35. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.
1) Реш-е ур-ия Лапласа в шаре в общем виде:
(1)
2)(2)
Ряд (2) сх-ся к абсолютно и равномерно на Приравняем ряд (1) при , к ряду (2): ,
при -произвольно
Аналогично, при , откуда, в силу линейной независимости фун-ии и ,
|
36. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.
Шаг 1. Реш-ие ур-ия Лапласа в шаре.
Шаг 2. Использование краевого условия .
При m=0:
;
Ответ:
P.S. – полиномы Лежандра.
|
37. Уравнение теплопроводности в сферических координатах. (*)
Шаг 1. Вид частных решений и предварительные рассуждения.
Найдем все решения задачи (*), имеющие вид Подставим это в ур-ие , получим равенство, которое в дальнейшем поделим на выражение . Получим
Первая дробь зав-ит только от t, а все остальное выр-ие – только от Поэтому их разность может быть нулем т. и т.т., когда такая, что:
Отсюда получаем ур-ие для
А также рав-во, связыв-ее и
Выраж-ее в скобках зав-т только от r, а последняя дробь – от . Это возможно т. и т.т., к. т., что:
|
37. Тогда по теореме о присоединенной фун-ии Лежандра порядка k:
Поэтому все нетривиальные решения ур-ия (4*) имеют вид
С учетом (5*), составляя ЛК всех решений, зав-х от k, получаем, что фун-ия (3*) есть решение (1*) т. и т. т., когда
Шаг 3. Решение задачи для
Для ф-ии мы получили урав-е: (6*)
Приведем его к виду ур-ия Бесселя с помощью замены переменных (для замены также нужны и ). Упростим полученное выражение, приведем подобные и наконец поделим на r и учтем, что . Добавив краевое условие, следующее из получим:
(7*)
Воспользуемся одной из ф-л, задающей ур-ие Бесселя (при v=k+1/2): и выпишем сис-му ЛН решений (7*):
, где -положит. корни ур-ия
|
38. Одномерное преобразование Фурье. Его элементарные свойства. Преобразование Фурье от производной.
Интегральным преобразованием Фурье ф-ции наз-ся:
При этом ф-цию можно восстановить по следующей формуле: Если четная ф-ция, то
Если нечетная ф-ция, то
Свойства преобразования Фурье:
Пусть – образ Фурье ф-ции при преобразовании Фурье.
|
39. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности. Формальное решение при помощи преобразования Фурье. Вывод формулы Пуассона.
Важное утверждение:
Пусть ф-ия определена на R и для нее сходится интеграл:
Тогда для функции существует преобразование Фурье:
При этом ф-ию можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:
Если - четная функция, то
Если – нечётная функция, то
Общая задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой:
(4.2)
Стандартным приемом здесь является разбить данную задачу на сумму двух задач:
1. С однородным уравнением и неоднородным начальным условием;
(2.2)
Применяем полное ИПФ в соответсвии с правилом по пространственной переменной x к равенству (2.1), так как задача рассматривается на всей прямой . Получим:
(2.2)
|
|
|
|
Ответ: где - полиномы Лежандра.
|
|
Важный интеграл:
Задача
Шаг 1. Применение преобразования Фурье.
Шаг 2. Решение ОДУ.
Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.
Ответ:
|
!! Т.о. решениями задачи для явл-ся
где где -положит. корни ур-ия .
Шаг 4. Составление общего решения задачи (*)
Ур-ие для ф-ции Т(t): Общее решение этого уравнения :
Выпишем ВСЕ решения (*):
Составим ЛК всех ЛН решений (*) и получим ответ:
где -положит. корни ур-ия .
|
Отсюда получаем ур-ия для и :
. (1*)
Шаг 2. Сферические гармоники
Если решение урав-ия (1*) искать в виде (3*) подставим это выражение в (1*), затем поделим на . Разделим пер-ые и получим сл. урав-ие: (2*)
Ур-ие (2*) необх-мо дополнить усл-ем периодичности, т.к. непр-на ⇒ должна быть непрерывна. Тогда для получаем задачу:
Общим решением является ф-ия
Первая ф-ия ни при каких не удовл. усл. периодичности. Третья ф-ия удовл. этому улс-ию т. и т.т.,к. .
!! Т.о. ф-ия (3*) есть решение (1*), т.е. является сфер-й фун-й т. и т.т., к.
(5*) ,а ф-ия есть реш-е ур-я
(4*)
В (4*) сделаем замену ,тогда для ф-ции
Возьмем I и II произв-ю подставим в (4*), затем разделим уравнение на и учтем, что и :
|
|
|
Общее решение однородного линейного уравнения (2.3) имеет вид:
Затем применяем обратное преобразование Фурье и используя важное утверждение, получаем:
Ответ:
2. С однородными начальным условием и неоднородным начальным условием;
(3.2)
Начало решения аналогично пункту 1.
Общее решение однородного линейного уравнения имет вид:
По методу вариации постоянной, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде: , подставив его в решение ОО, имеем:
Применяя начальное условие
Затем применяем обратное преобразование Фурье и получаем ответ.
Ответ:
Решением общей задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой будет являтся сумма решение пунктов 1 и 2.
Формулой Пуассона для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой называется формула:
| |
Скачать 389.84 Kb.