задачи по ла. задачи (часть 1). 1 Является ли линейным пространством а пустое множество

Название	1 Является ли линейным пространством а пустое множество
Анкор	задачи по ла
Дата	29.06.2022
Размер	471.66 Kb.
Формат файла
Имя файла	задачи (часть 1).docx
Тип	Документы #619505

1 Является ли линейным пространством:

а) пустое множество;

б) множество, состоящее из одного нулевого элемента?
2 Можно ли определить во множестве из двух элементов операции сложения и

умножения на число так, чтобы это множество стало линейным пространством?

3 Выяснить, является ли линейным пространством данное множество векторов

из п-мерного пространства, и если является, найти его размерность:

1) множество векторов, все координаты которых равны между собой;

2) множество векторов, первая координата которых равна 0;

3) множество векторов, сумма координат которых равна 0;

4) множество векторов, сумма координат которых равна 1;

5) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой;

6) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной

прямой;

7) множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1;

8) множество векторов плоскости, образующих угол α с данной прямой

(0   90 ) .
4 Доказать, что множество матриц размера m×п образует линейное пространство

относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.

Найти размерность и базис этого пространства.

6 Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка п линейным пространством, и если является, найти его размерность:

1) множество матриц с нулевой первой строкой;

2) множество диагональных матриц;

3) множество верхних треугольных матриц;

4) множество вырожденных матриц.

7 Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [a, b] линейно пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:

1) множество функций, непрерывных на [a, b];

2) множество функций, дифференцируемых на [a, b];

3) множество функций, интегрируемых по Риману на [a, b];

4) множество функций, ограниченных на [a, b];

6) множество функций, неотрицательных на [a, b];

7) множество функций таких, что f (a)  0 ;

8) множество функций таких, что f (a) 1;

10) множество функций, монотонно возрастающих на [a, b];

11) множество функций, монотонных на [a, b].

8 Доказать, что при любом натуральном п данное множество функций образует

конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис

этого пространства:

множество многочленов степени не выше п;
2) множество четных многочленов степени не выше п;

3) множество нечетных многочленов степени не выше п;

12 а) Пусть в некотором подпространстве размерности k введен базис. По

Утверждению 2 его можно дополнить до базиса в исходном пространстве.

Какие координаты будут иметь векторы подпространства в таком базисе?

б) Равенство нулю определенных компонент вектора можно рассматривать как

систему линейных уравнений, задающую подпространство. Составить систему

уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов:

1. Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов

(1 t)3 , t3 , 1, t  t2 .

1. Является ли базисом пространства R³ система векторов:

;

1. Является ли базисом пространства R³ система векторов

;

1.Является ли базисом пространства R³ система векторов

.

1. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

;

1.Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

;
1.Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

;

1.Найти размерность и базис пространства решений однородной системы:

.

1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и

лежащих на прямой

;

1.Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и
перпендикулярных прямой

;

1.Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и

лежащих в плоскости

;

1.Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и

перпендикулярных плоскости

.

1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства многочленов степени не выше n;

1.Найти размерность и указать какой-либо базис пространства квадратных матриц порядка n;

1.Найти размерность и указать какой-либо базис пространства прямоугольных матриц

размера

;

1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства симметричных матриц порядка n;

1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства диагональных матриц порядка n.

1.Доказать, что система

образует базис пространства многочленов степени не выше n.

1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства положительных чисел, в котором сумма произвольных чисел

вычисляется как

, а произведение вещественного числа

на произвольное положительное число

вычисляется как

.

1. Построить матрицу перехода

от базиса

к базису

и матрицу обратного перехода, если векторы

в базисе

имеют координаты

;

1.Построить матрицу перехода

от базиса

к базису

и матрицу обратного перехода, если векторы

в базисе

имеют координаты

.

1. Найти матрицу перехода

от базиса

к базису

;

1. Найти матрицу перехода

от базиса

к базису

.

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

;

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

;

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

;

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

;

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

1. Дана матрица перехода

от базиса

к базису

. Найти координаты вектора

в базисе

.

1. Используя матрицу перехода от базиса к базису, найти координаты вектора

в базисе

, если в базисе

;

1. Используя матрицу перехода от базиса к базису, найти координаты вектора

в базисе

, если в базисе

.

1. Построить матрицу перехода

от базиса

к базису

по данным разложениям векторов

в базисе

;

1. Используя матрицу перехода от базиса к базису, найти координаты вектора

в базисе

, если в базисе

Построить матрицу перехода от базиса , к базису , и матрицу обратного перехода .

1. Построить матрицу перехода от базиса

к базису

в пространстве многочленов степени не выше

.

1. В пространстве многочленов степени не выше

найти разложение вектора

по базису

Найти размерность и какой-нибудь базис подпространства, порожденного векторами , , , , .

1. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки векторов

.

1. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

векторов, выходящих из начала координат и заканчивающихся на фиксированной прямой, в пространстве R²;

1. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

диагональных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

1. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

невырожденных матриц в пространстве симметричных матриц того же порядка;

1. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

дифференцируемых на интервале

функций в пространстве функций, непрерывных на отрезке

.

1. Найти размерность и какой-либо базис подпространства решений однородной системы:

;

1. Найти размерность и какой-либо базис подпространства решений однородной системы:

Найти размерность суммы и пересечения подпространств, порожденных векторами , и , . Является ли эта сумма прямой суммой?

1. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек векторов

. Является ли их cумма прямой?

1. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами

, если

;

1. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами

, если

.

Является ли прямой сумма этих подпространств?

1. Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек

, если

;
Является ли прямой сумма этих подпространств?

1. Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек

, если

.

Является ли прямой сумма этих подпространств?

1.Ортогонализировать систему векторов:

;

1.Ортогонализировать систему векторов:

.

1. Построить ортонормированный базис линейной оболочки векторов:

;

1. Построить ортонормированный базис линейной оболочки векторов:

.

1. Дополнить до ортогонального базиса пространства Еⁿ систему векторов:

а)

; б)

;

1. Дополнить до ортогонального базиса пространства Еⁿ систему векторов:

.

1. Дополнить до ортонормированного базиса пространства Еⁿсистему векторов:

;

1. Дополнить до ортонормированного базиса пространства Еⁿсистему векторов:

.

1. Построить матрицу Грама для системы векторов:

а)

; б)

;

1. Построить матрицу Грама для системы векторов:

.

1. Вычислить скалярное произведение векторов

, заданных своими координатами в базисе

, если

;

1. Вычислить скалярное произведение векторов

, заданных своими координатами в базисе

, если

.

1. Вычислить длины векторов

и угол между ними, если даны следующие разложения по базису

и ортонормированному базису

;

1. Вычислить длины векторов

и угол между ними, если даны следующие разложения по базису

и ортонормированному базису

;

1. Вычислить длины векторов

и угол между ними, если даны следующие разложения по базису

и ортонормированному базису

.

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:

а)

; б)

;

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.

1. Вершины треугольника

заданы своими координатами:

. Найти

а) площадь треугольника

;

б) длину высоты, опущенной из вершины

.

1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

;

1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

Основание параллелепипеда, построенного на векторах , лежит в плоскости векторов . Найти высоту параллелепипеда, проведенную к основанию, если в ортонормированном базисе справедливо разложение , , .