Документ Microsoft Office Word. 19. Описать способы проверки независимости дискретных случайных величин и получения рядов распределений их суммы и произведения

• Название: 19. Описать способы проверки независимости дискретных случайных величин и получения рядов распределений их суммы и произведения
• Дата: 14.01.2022
• Размер: 0.94 Mb.
• Имя файла: Документ Microsoft Office Word.docx
• Тип: Документы; #330989

19. Описать способы проверки независимости дискретных случайных величин и получения рядов распределений их суммы и произведения.



Произведением случайных величин Х иYназывается случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y;а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей одного сомножителя на условную вероятность другого:

 (11.4.4)

Если величины Х иYнезависимы, то равенство (10.4.1) примет вид:

 (11.4.5)

Суммой двух дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; а вероятности возможных значений суммы X+Y равны произведениям вероятностей возможных значений слагаемых, для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого, т.е.

 (11.4.11)

Если величины Х и Y независимы, то условные вероятности становятся безусловными. В этом случае равенство (11.4.4) примет вид:

 (11.4.12)

Таким образом, вероятности суммы задаются так же, как вероятности произведения случайных величин.

Например, если вероятность возможного значения х₁ равна р₁, а вероятность возможного значения у₁ равна g₁, то вероятность возможного значения х₁+у₁ равна   Чтобы составить сумму   , должны произойти события   и   , поэтому вероятности перемножаются.

25. Охарактеризовать случайные величины, имеющие нормальный закон распределения. Описать их функции распределения и плотности распределения. Объяснить роль функции Лапласа для характеристики нормального распределения и перечислить ее свойства.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

СВ X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид: , где

MX – математическое ожидание СВ X (MX=a)

– среднеквадратическое отклонение

– дисперсия СВ X (DX= )

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:



Свойства функции Лапласа:

1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось - (-∞, +∞)

2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой

3) Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0

4) Функция Лапласа нечетна, т.е.   Поэтому ее таблица дана только для неотрицательных

4) График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

5) F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.

6)  при  , то есть точки  являются точками перегиба.

31. Дать определения основных выборочных числовых характеристик: средней, дисперсии, среднего квадратического отклонения. Перечислить их свойства.

Пусть выборка объема nпредставима в виде вариационного ряда. Если все значения признака выборки различны, то выборочная средняя определяется по формуле:

Если значения признака имеют соответствующие частоты, то выборочная средняя равна

Т.е. выборочная средняя рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной.

Выборочную среднюю можно рассматривать как СВ, а, следовательно, можно говорить о распределениях выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения.

Выборочная средняя является оценкой МО СВ и представляет собой несмещенную оценку, т.к. .

Выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней, т.к. при увеличении объема выборки n, выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней.

Таким образом, если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних. Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней.

Средняя выборочная обладает рядом свойств, аналогичных свойствам математического ожидания, а именно

1. Средняя выборочная постоянной равно самой этой постоянной.

2. Если все варианты умножить или разделить на одно и тоже число к, то будет выполнено равенство   или более подробно   , т.е. постоянную величину можно выносить за знак выборочной средней. Иначе говоря, если все варианты увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то и средняя выборочная также увеличиться или уменьшится в это же число раз.

3. Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и тоже число раз с, то и средняя выборочная увеличиться или уменьшится на это же число раз, т.е.

 , так как   .

4. Средняя выборочная алгебраической суммы двух (или нескольких) признаков равна алгебраической сумме средних выборочных этих признаков, т.е.   .

5. Если выборочные данные разделены на некоторые группы, то общая средняя всех данных вычисляется по формуле

 ,

где r – число групп;

 – средняя выборочная в j – ой группе (групповая средняя);

 – сумма часто вариант, попавших в j – ую группу (объем группы).

6. Если все частоты вариантов умножить на одно и тоже число, то средняя выборочная не изменится.

7. Средняя выборочная отклонений вариантов от средней выборочной равна нулю, т.е.   , так как

 

Для характеристики рассеяния наблюдаемых значений около выборочной средней вводится выборочная дисперсия, вычисленная по формуле: , .

Для вычисления дисперсии выборочной можно воспользоваться формулой:

Выборочная дисперсия является точечной оценкой генеральной дисперсии. Она является эффективной, состоятельной и смещённой.

Для устранения смещенности вводится исправленная выборочная дисперсия

Свойства выборочной дисперсии:

1. 
   Величина дисперсии не изменится, если увеличить или уменьшить значения вариант на одно и то же число.
   

Для определенности увеличим все варианты на число С и рассмотрим условную выборку с членами х_;. + С. Согласно теореме 1.1 средняя выборочная новой выборки увеличится на то же число и составит х_в + С.По формуле (1.11) найдем дисперсию новой выборки:

2. 
   Если все значения выборки увеличить (уменьшить) в к раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в к² раз, а среднее квадратическое отклонение — в к раз.
   

Составим новую выборку с условными членами {кх^. Согласно теореме 1.2 ее средняя выборочная увеличится тоже в к раз и составит к х_в. Дисперсию новой выборки найдем по формуле :

3. 
   Если частоты вариант увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то дисперсия не изменится.
   

Для определенности рассмотрим новую выборку, в которой частоты членов увеличены в / раз. Тогда дисперсия новой выборки составит

4. 
   Дисперсия признака, некоторой совокупности (генеральной или выборочной) равна разности средней арифметической ее квадрата и квадрата ее среднего значения, т.е.
   

Проверим справедливость этой формулы для выборочной дисперсии. С этой целью возьмем соотношение (1.11) и проведем в нем несложные преобразования. В результате получим



Выборочное среднее квадратическоеотклонение выборки определяется формулой:  .

Особенность выборочного среднего квадратического отклонения состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

32. Объяснить сущность метода произведения для вычисления выборочных средней и дисперсии.

Cм. 31

35. Привести доверительные интервалы для оценок средней и дисперсии генеральной совокупности по малой выборке. Указать теоретические основания для этих оценок.

Пусть СВ Х распределена по нормальному закону, для которого известна . Из генеральной совокупности делается выборка объема n. Выборка х1, х2,…, хn рассматривается как n независимых СВ, распределенных также, как Х. Это значит, что MX1=MX2=…=MXn=MX, DX1=DX2=…=DXn=DXи ,

Обозначим неизвестную величину MX=aи поберем по заданной надежности положительной число d>0' так, чтобы выполнялось условие

Так как является СВ, которая распределена по нормальному закону с МО и и

Тогда

Нужно подобрать число d таким образом, чтобы или

Для любого можно по таблице найти такое числоt, для которого будет выполняться . Число tназывается квантилем. Тогда из равенства . Тогда

Таким образом, с надежностью доверительный интервал покрывает неизвестный параметр MX=a. Или точечная оценка определяет значение параметра MX с точностью и надежностью .