2. Матрицы Определение Матрицей размера

• Название: 2. Матрицы Определение Матрицей размера
• Дата: 22.12.2020
• Размер: 200.5 Kb.
• Имя файла: Matritsy.doc
• Тип: Документы; #162857

2. Матрицы

Определение 1. Матрицей размера mn называется прямоугольная таб­лица из mn чисел, расположенных в m строках и n столбцах:

где a_ij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A.
Число a_i,j ,стоящее на пересечение i-й строки и j-го столбца,назы­ва­ет­ся эле­ментом матрицы A. Если число строк и число столбцов матрицы A сов­па­дают, то есть m = n, то такая матрица называется квадратной мат­ри­цей по­рядка n. Если матрица A имеет только один столбец, то она назы­ва­ет­ся матрицей-столбцом, если только одну строку, то – матрицей-строкой.

Запись данных в форме таблицы очень удобна и часто исполь­­зу­ет­ся при описании деятельности предприятий. Например, сводная ведомость денежных поступлений на пять предприятий за четыре дня работы может быть за­пи­сана в виде следующей таблицы.

Таблица

	Номера предприятий
Дни	1	2	3	4	5
1	a1,1	a1,2	a1,3	a1,4	a1,5
2	a2,1	a2,2	a2,3	a2,4	a2,5
3	a3,1	a3,2	a3,3	a3,4	a3,5
4	a4,1	a4,2	a4,3	a4,4	a4,5

Для матриц можно определить линейные опе­ра­ции: умножение на число и сло­же­ние аналогично тому, как это было сделано для векторов.

2.1. Линейные операции с матрицами

Определение 2. Пусть даны две мат­ри­цы A = (a_i,j) и B= (b_i,j) одинакового размера mn и вещественное число .

1. 
   Произведением числа  на матрицу A = (a_i,j) называется матрица того же размера, что и A и вычисляется по формуле А = (а_i,j).
   
2. 
   Суммой двух матриц называется матрица C = A + B = = (a_i,j + b_i,j).
   

Таким образом, сложение матриц и умножение матрицы на число про­из­во­дят­ся поэлементно.

Свойства операций сложения и умножения на число

Умножение на скаляр

M1. ,  A ()A = ((A)), M2. A 1A = A.

Сложения матриц одинакового размера

A1. Ассоциативность сложения:

 A,B,C (A+B)+C=A +(B+C).

A2. Коммутативность сложения:

 A, B A + B = B + A.

A3. Существование нейтральной матрицы по сложению:

A 0 A + 0= A.

Такой нейтральной по сложению матрицей будет нулевая матрица 0 то­го же размера, что и матрица A, все элементы которой равны нулю.

A4. Существование матрицы, обратной по сложению:

A (–A) A + (–A) = 0.

Такой обратной по сложению матрицей будет матрица (–A) того же раз­ме­ра, что и матрица A, с элементами, обратными элементам матрицы A.

Дистрибутивности (распределительные законы)

D1. A, B (A + B) = A + B,

D2. ,  A ( + )A = A + A.

Пример 1. Найти матрицу C = 3A – 2B, если матрицы A и B заданы формулами

.

Вычислим

.

Таким образом, множество всех матриц фиксированного размера сос­тав­­ля­ет векторное пространство, а элементы его матрицы ока­зы­ва­ются век­то­ра­ми. Ба­­зисными матрицами будут матрицы I_i,j , в которых на пере­се­че­нии i-й строки и j-го столбца стоит 1, а осталь­ные эле­мен­ты мат­ри­цы рав­ны ну­лю. Множество матриц размера mn составляют mn-мерное век­тор­ное про­стран­ство, а каждая матрица единственным об­разом пред­ста­вима в ви­де A = a_i,j I_i,j .

Например, матрица может быть записана в виде линейной комбинации базисных матриц:

A = I_1,1 + 2I_1,2 + 3I_2,1 + 4I_2,2 .

Учитывая вышесказанное, матрицу-столбец мы будем называть век­то­ром-столбцом, а матрицу-строку – вектором-строкой; элементы этих мат­риц будем называть координатами соответствующих векторов. Та­ким об­разом, для вектора-строки возможны два обозначения: жирными и не­жир­ными ла­тин­скими буквами.

2.2. Умножение матриц

Определение 3. Если A = (a_i,j) – матрица размера lm и B = (b_j,k) – матрица раз­мера mn, то произведением матриц A и B назы­ва­ется мат­рица C= AB = (c_i,k) раз­ме­ра ln, у которой элемент с номером (i, k) равен

.

Таким образом, элемент с номером (i, k) является скалярным произ­ве­де­ни­ем i-й стро­ки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Заметим, что про­из­ве­де­ние матриц определено лишь тогда, когда число столбцов первой мат­ри­цы ра­вно числу строк второй матрицы.

Пример 2. a) Даны матрицы и . Найти произведение этих мат­риц. Вычислим, следуя определению. Число строк матрицы произ­ве­де­ния рав­но числу строк первой матрицы, а число столбцов – числу столбцов вто­рой матрицы, то есть матрица произведения С будет квадратной второго по­рядка:

C=AB= ,

где c_1,1=15+27=19 – умножается 1-я строка на 1-й столбец;

c_1,2=16+28=22 – умножается 1-я строка на 2-й столбец;

c_2,1=35+47=43 – умножается 2-я строка на 1-й столбец;

c_2,2=36+48=50 – умножается 2-я строка на 2-й столбец.

б) Даны матрица-столбец и матрица-строка . Найти произведения матриц AB и BA. Вычислим, следуя определению:

;

,

то есть у нас по­лу­чились матрицы разных порядков.

Свойства умножения матриц

Дистрибутивности(распределительные законы)

D3. A, B,C A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA.

D4. A, B  (A)B=(AB); A(B)=(AB).

Доказательство этих свойств проводится непосредственно с исполь­зо­ва­ни­ем свойств вещественных чисел.

P1. Ассоциативность произведения матриц. Пусть матрицы A, B, C имеют размерности mn, np, pq соответственно, тогда

(AB)C = A(BC) ,

то есть если определено произведение матриц, стоящих справа, то оп­ре­де­ле­но произведение матриц, стоящих слева равенства, и эти произведения рав­ны.

Доказательство. Положим, G = (g_i,j) = AB. Тогда

.

Теперь элемент матрицы (AB)C = GC с номером (i, j) равен

= .

Положим теперь H = (h_i,j) = BC. Тогда h_i,j= . Теперь элемент матрицы A(BC) = AH с номером (i, j) равен

= .

Но это и есть в точности (i, j)-й элемент матрицы (AB)C.

Благодаря этому свойству мы можем не ставить скобки при записи про­­из­ведения трех и более матриц.

P2. Произведение матриц в общем случае некоммутативно, при­чем воз­можны следующие случаи.

0. 
   Одно из произведений AB или BA определено, а другое произведение не­ оп­ре­де­лено.
   
1. 
   Матрицы AB и BA могут иметь различные порядки даже в том слу­чае, ког­да оба произведения определены.
   
2. 
   Даже в том случае, когда матрицы AB и BA имеют одинаковый по­рядок, AB может отличаться от BA.
   
3. 
   Можно подобрать такие пары матриц A и B, для которых AB = BA. О та­ких матрицах говорят, что они коммутируют.
   

Определение 4. Квадратная матрица D называется диагональной, если ее элементы вне главной диагонали равны нулю, то есть матрица:



или, используя матрицы n-го порядка I_i,j , запишем

D = d₁I_1,1+d₂I_2,2+...+d_nI_n,n.

Заметим, что любые две диагональные матрицы одного и того же по­ряд­ка коммутируют.

P3. Существование нейтральной по умножению матрицы. Существует такая матрица E, что для любой квадратной матрицы A n-го по­ряд­ка вы­пол­няются равенства

AE = EA = A.

Такой нейтральной по умножению матрицей будет диагональная мат­ри­ца E, у ко­то­рой все элементы, стоящие на главной диагонали, рав­ны 1. Мат­ри­ца E называется единичной матрицей.

Пример 3. Дан многочлен f(x) = x² + 2x – 3 и матрица

.

Найти f(A), если A⁰ = E, A¹ = A, A² = AA.

Решение. f(A) = A² + 2A – 3E =

= =

= = .

P4. Существование матрицы, обратной по умножению.

Определение 5. Матрица A называется обратимой, если существует матрица A^-1, для ко­торой выполняются равенства

AA^-1 = A^-1A = E.

Сама матрица A^-1 называется обратной матрицей для матрицы A.

Очевидно, что определенная таким образом обратная матрица может су­щес­тво­вать только у квадратной матрицы A. Понятно, что не всякая квад­ратная мат­рица имеет обратную матрицу. Например, нулевая матрица обратную матрицу не име­ет. В дальнейшем будут сформулированы условия существования обратной матрицы и указаны способы ее построения.

Теорема 1. Если квадратная матрица A обратима, то обратная мат­рица единственна.

Доказательство. Пусть мат­ри­ца A имеет две обратные матрицы: , тогда = =  = и мы полу­ча­ем, что .

Теорема 2. Если матрицы одного порядка A и B обратимы, то обратимо их произведение AB, причем (AB)^-1 = B^-1A^-1 .

Доказательство. Вычислим

AB(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1 =  AEA^‑1 = E.

С другой стороны,

(B^‑1A^‑1)AB = B^-1(A^-1A)B = B^-1EB =E.

Зна­чит (AB)^-1 = B^-1 A^-1 .

2.3. Транспонирование матриц

Определение 6. Если элементы каждой строки матрицы A записать в со­ответствующий столбец новой матрицы, то полученная матрица на­зы­ва­ет­ся транспонированной к матрице A и обозначается A^t. Сама опе­ра­ция называется операцией транспонирования матрицы.

Например, если матрица , то матрица . Если мат­ри­ца-столбец , то при транспонировании мы получим матрицу-строку B^t = (2, 4, 6).

Свойства транспонирования

T1. (A^t)^t = A – идемпотентность.

T2. (A)^t = (A^t) – однородность.

T3. (A + B)^t = A^t + B^t – аддитивность.

T4. (AB)^t = B^tA^t – транспонирование произведения.

Доказательство этих свойств проводится непосредственно с использованием свойств вещественных чисел.