2. определители и правило крамера определители второго порядка

• Название: 2. определители и правило крамера определители второго порядка
• Анкор: LEKCIYa_2.doc
• Дата: 18.02.2017
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: LEKCIYa_2.doc
• Тип: Решение; #2853

ЛЕКЦИЯ 2

Определители и правило Крамера. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Крамера. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Основные свойства определителей Метод элементарных преобразований.

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА

2.1. Определители второго порядка

Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель (или детерминант) есть число, характеризующее квадратную матрицу A и обозначается обычно символами: detA, |A| или . Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.

Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом:

(2.1)
Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали.

Например, 

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:



Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:

(2.2)

где



Это есть правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при условии, что 0.

Пример 2.1. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:



Решение. Найдем определители:



Отсюда



Историческая справка. Идея понятия «определителя» могла бы принадлежать Г. Лейбницу (1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру (1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование, посвященное определителям, было А. Вандермондом (1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине (1786-1856) и О. Коши (1789-1858). Термин «определитель» («детерминант») в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).

2.2. Определители третьего порядка

Определитель матрицы 3-го порядка находится следующим образом

(2.3)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.



Правило треугольников: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.



Правило Саррюса: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные"   на линиях, параллельных второй диагонали.

Пример 2.2. Вычислить определитель



2.3. Правило Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными



Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь



Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:



Решение. Находим определитель основной матрицы системы



Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:



Тогда



Проверка:



Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы, _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M_ij элемента a_ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1)^i+j, т.е. A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a₂₃ и a₃₁ определителя



Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n-го порядка по строке или столбцу.

Теорема 2.1.Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка. В результате разложения определителя n-го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n–1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:



т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



;



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n–1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n–1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n–2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2. Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3. Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя.

Например,



Следствие. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство 4. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.

Например,



Свойство 5. Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

.

2.6. Метод элементарных преобразований

Теорема 2.2.Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:



Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).

Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.

Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:



Пример 2.6. Вычислить определитель:

.

Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его:

. 
Пример 2.7. Вычислить определитель .

Решение. Способ 1.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:


–6

7

-2

-2

.
Способ 2.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:


. 

Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса, который обычно используется при решении систем линейных уравнений.

Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:



Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:



После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец. Здесь единиц нет, однако ее можно легко создать, например, если поменять местами 2-й и 3-й столбцы, или если от второй строки отнять четвертую. Далее повторяем предыдущую операцию, т.е. создаем нули во втором столбце:



Сейчас рассматриваем 3-й столбец, в котором уже имеется единица, при этом на первые две строки не обращаем внимание. Переставляем третью и четвертую строки и при помощи отмеченной единицы получаем нули в четвертой и пятой строках третьего столбца:



Осталось рассмотреть четвертый столбец. Вынесем общий множитель четвертой строки, равный 2, за знак определителя и поменяем местами две последние стоки. Далее воспользуемся тем, что 99 кратно 33:



В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)1334 = –264. 