Теор вер. 2. Понятие случайного события

• Название: 2. Понятие случайного события
• Дата: 19.02.2018
• Размер: 396.13 Kb.
• Имя файла: Теор вер.docx
• Тип: Задача; #36826
• страница: 2 из 3

Проверка:

 m_iu_i² + 2 m_iu_i +  m_i =  m_i (u_i + 1)²; 268 + 2 · 78 + 100 = 524.

Найдем условные характеристики:

; ; .

Получим характеристики исходного вариационного ряда с использованием равенств x_i = h_xu_i + c_x:

; D_x = h_x²D_u = 4,6611; _x = h_x_u = 2,159

3. По критерию χ² (Хи-квадрат) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости  рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия χ²_набл и определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении выдвинутой гипотезы.

Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, используя критерий χ² (Пирсона) при α = 0,05.

В основе этого критерия лежит сравнение частот m_i и теоретических частот m_i^T, вычисленных в предположении нормального распределения генеральной совокупности. Критерий χ² не подтверждает однозначно правильность или неправильность гипотезы, а только устанавливает ее согласие или несогласие с данными выборки при заданном уровне значимости α. В качестве критерия выбирается величина

.

Ее значение сравнивают с критическим значением χ²_кр, определяемым по соответствующей таблице значений при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k = p– r – 1, где p– число интервалов, r = 2 – число параметров нормального закона распределения (a и ). В данном случаеp= 7, r = 2, k = 7 – 2 – 1 = 4.

По таблице распределения случайной величины χ² с числом степеней свободы k = 4 при уровне значимости α = 0,05 находим χ²_кр = 9,49.

Если в результате вычислений на основании выборочных данных наблюдаемого значения критерия χ²_набл выполняется неравенство χ²_набл < χ²_кр, то выдвигаемая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности при заданном α = 0,05 принимается. Если же χ²_набл > χ²_кр, то гипотезу отвергают.

Применим критерий Пирсона к данной выборке. Для этого составим расчетную таблицу, находя теоретические частоты m_i^T для нормального распределения по формуле

,

где – функция нормального распределения.

xi		(zi)	miT	mi	mi – miT
0,8	-1,931	0,062	4,292	5	0,708	0,117
2,3	-1,237	0,186	12,902	13	0,098	0,001
3,8	-0,542	0,344	23,932	29	5,068	1,073
5,3	0,153	0,394	27,395	21	-6,395	1,493
6,8	0,848	0,279	19,353	19	-0,353	0,006
8,3	1,542	0,121	8,437	10	1,563	0,290
9,8	2,237	0,033	2,270	3	0,730	0,235
						3,215

Сумма чисел последнего столбца таблицы дает χ²_набл = 1,65.

Так как χ²_набл = 3,215< χ²_кр = 9,49, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Таким образом, с уровнем значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами a = = 4,97, _x = 2,159.

Ответ. = 4,97; D_x = 4,6611; _x = 2,159; гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.


8.2. Построение уравнения прямой регрессии
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и yобъёмом N= 100 измерений задана корреляционной таблицей (в теле таблицы значения m_ij – количество раз, когда встретились пары чисел (x, y)):

	y1	y2	y3	y4	y5
x1	2	3	-	-	-	5
x2	3	8	2	-	-	13
x3	-	12	17	-	-	29
x4	-	-	12	9	-	21
x5	-	-	9	10	-	19
x6	-	-	3	6	1	10
x7	-	-	-	1	2	3
	5	23	43	26	3	N = 100

где



Требуется:

1. Найти и σ_y для выборки

yj	y1	y2	y3	y4	y5
	5	23	43	26	3

Примечание. Расчёты и σ_y можно выполнить аналогично расчётам и σ_x в задаче 8.1 (пункт 2).

2. Построить уравнение прямой регрессии Y на X в виде ;

и σ_x следует взять из задачи 8.1 (пункт 2).

3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки

(x_i,y_j) и построить прямую .

Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется найти в виде

, где r – выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

,

где


8.2. Построение уравнения прямой регрессии
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и yобъёмом N= 100 измерений задана корреляционной таблицей (в теле таблицы значения m_ij – количество раз, когда встретились пары чисел (x, y)):

	2	3	4	5	6
0,8	2	3	-	-	-	5
2,3	3	8	2	-	-	13
3,8	-	12	17	-	-	29
5,3	-	-	12	9	-	21
6,8	-	-	9	10	-	19
8,3	-	-	3	6	1	10
9,8	-	-	-	1	2	3
	5	23	43	26	3	N = 100