Теор вер. 2. Понятие случайного события

• Название: 2. Понятие случайного события
• Дата: 19.02.2018
• Размер: 396.13 Kb.
• Имя файла: Теор вер.docx
• Тип: Задача; #36826
• страница: 1 из 3

Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

(нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):
4) В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причём берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?
Решение:


Тема 2. Понятие случайного события.

Классическое определение вероятности события

4 вариант

Задача 1) Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А₁ – выпало 5; А₂ – выпало число, кратное трём; А₃ – выпало число, меньшее 5.
Решение:

А₁ – выпало 5 (число 5 на игральной кости единственное (одно из шести)



А₂ – выпало число, кратное трём (т.е. 3 или 6 (всего 2 числа))



А₃ – выпало число, меньшее 5 (т.е. 1,2,3 или 4 (всего 4 числа))



Задача 2) К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручки. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные - синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки. Вычислить вероятность того, что:

а) все ручки имеют фиолетовый стержень;

б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.
Решение:

Количество фиолетовых ручек



а) все ручки имеют фиолетовый стержень;



б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.


Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

4) Один раз подбрасывается игральная кость. События: А – выпало простое число очков; В – выпало четное число очков. Вычислить вероятности Р(А) и Р(А/В).
Решение:

Простых чисел на игральном кубике 3: 2,3 и 5



Множество А/В состоит из элементов множества А{2,3,5} без элемента множества В{2}, т.е. А/В{3,5}


Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
4) Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.
Решение. Рассмотрим гипотезы:

Н₁ – транзистор выбран из дефектных,

Н₂ - транзистор выбран из недефектных,

Вероятности этих гипотез:





Условные вероятности события A (случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным) при этих гипотезах равны:





Применяя формулу полной вероятности, получим:


Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.

Локальная и интегральные теоремы Лапласа.
4) Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В отдел магазина поступило 20 телевизоров. Что вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?
Применим формулу Бернулли


Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ

Задан закон распределения ДСВ X(см. ниже варианты заданий).

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).
4)

xi	-2	-1	0	1	2	3	4
pi	р	0,29	0,12	0,15	0,21	0,16	0,04

Математическое ожидание



Дисперсия



Среднее квадратичное отклонение


Функция распределения



г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью .
4)

xi	2	1	0	1	2	3	4
pi	0,03	0,29	0,12	0,15	0,21	0,16	0,04

или, сложив вероятности при одинаковых значениях х

xi	0	1	2	3	4
pi	0,12	0,44	0,24	0,16	0,04

Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ
НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M_x и средним квадратичным отклонением σ_x. Найти для заданных значений M_x, σ_x,a, b (см. ниже таблицу вариантов):

1. 
   вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a< X < b);
   
2. 
   вероятность P(X < (a+ b)/2);
   
3. 
   сформулировать «правило трёх сигм»;
   
4. 
   написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
   
5. 
   на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
   
6. 
   найти квантиль x_0,7 и 20%-ю точку.
   

Варианты заданий по теме 7

Вариант	Mx	σx	a	b
4	18	1	16	21

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу .

1. 
   вероятность P(X < (a+ b)/2);
   

Применим формулу



Подставляя значения получим

2. 
   сформулировать «правило трёх сигм»;
   

Правило трёх сигм - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале

3. 
   написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
   
4. 
   на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
   

5. 
   найти квантиль x_0,7 и 20%-ю точку.
   

квантиль x_0,7



20%-я точка, это квантиль x_0,8



Тема 8. Математическая статистика

А	0
l	4

B	4
k	5

8.1. Численная обработка данных одномерной выборки
ВыборкаX объёмом N= 100 измерений задана таблицей:

xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	5	13	29	21	19	10	3

где x_i – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения x_i,

Требуется:

1. Построить полигон относительных частот .

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_xи среднее квадратическое отклонение σ_x.

3. По критерию χ² проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Примечание. Для расчётов и D_x рекомендуется перейти к условным значениям и, взяв за ложный нуль с_x значение с наибольшей частотой, использовать суммы и .
Решение задачи 8.1. (обработка данных одномерной выборки)
ВыборкаX объёмом N= 100 измерений задана таблицей:

i	1	2	3	4	5	6	7
xi	0,8	2,3	3,8	5,3	6,8	8,3	9,8
	5	13	29	21	19	10	3

где x_i – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения x_i.

1. Построим полигон относительных частот .

Решение. Вычислим относительные частоты :

xi	0,8	2,3	3,8	5,3	6,8	8,3	9,8
	5	13	29	21	19	10	3
Wi	0,05	0,13	0,29	0,21	0,19	0,1	0,03

Построим полигон относительных частот:
2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_xи среднее квадратическое отклонение σ_x.

Решение. Для вычисления , D_xи σ_x воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты:

,

где c_x – значение x_i, которому соответствует наибольшая частота, c_x = x₃ = 3,8 (max m_i = m₄ = 29), шаг выборки h_x = 1,5.

Тогда, вычисляя u_i, получим условный ряд:

ui	-2	-1	0	1	2	3	4
mi	5	13	29	21	19	10	3

Для этого ряда составим расчетную таблицу:

i	ui	mi	miui	miui2	mi (ui + 1)2
1	-2	5	-10	20	5
2	-1	13	-13	13	0
3	0	29	0	0	29
4	1	21	21	21	84
5	2	19	38	76	171
6	3	10	30	90	160
7	4	3	12	48	75
		100	78	268	524