ИРСы по действительному анализу. 2. Варианты индивидуальных заданийЗадание 1
 Скачать 152.09 Kb.
|
|
2. Варианты индивидуальных заданий Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, A∆B. 1. A = {(x, y) ∈ R 2 : x = y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 1} 2. A = {(x, y) ∈ R 2 : y = −x}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1} 3. A = {(x, y) ∈ R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + (y − 1) 2 1} 4. A = {(x, y) ∈ R 2 : xy 0}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1} 5. A = {(x, y) ∈ R 2 : y = −x 2 }, B = {(x, y) ∈ R 2 : (x + 1) 2 + (y + 1) 2 1} 6. A = {(x, y) ∈ R 2 : xy 0}, B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 1} 7. A = {(x, y) ∈ R 2 : x y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : 9x 2 + y 2 36} 8. A = {(x, y) ∈ R 2 : x y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : 4x 2 + 9y 2 36} 9. A = {(x, y) ∈ R 2 : max {|x|, |y|} = 1}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1} 10. A = {(x, y) ∈ R 2 : max {|x|, |y|} 2}, B = {(x, y) ∈ R 2 : y x + 1} 11. A = {(x, y) ∈ R 2 : y x 2 }, B = {(x, y) ∈ R 2 : y 4 − x 2 } 12. A = {(x, y) ∈ R 2 : x = −y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 2} 13. A = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 3}, B = {(x, y) ∈ R 2 : max {|x|, |y|} 2} 14. A = {(x, y) ∈ R 2 : y = −x 2 }, B = {(x, y) ∈ R 2 : (x − 1) 2 + (y + 1) 2 1} 15. A = {(x, y) ∈ R 2 : xy 0}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + (y + 1) 2 1} 16. A = {(x, y) ∈ R 2 : xy 0}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 4} 17. A = {(x, y) ∈ R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) ∈ R 2 : (x − 1) 2 + (y − 1) 2 4} 8 18. A = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 = y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 4} 19. A = {(x, y) ∈ R 2 : xy 0}, B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y − 2| 1}} 20. A = {(x, y) ∈ R 2 : x = −y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : (x − 2) 2 + (y + 3) 2 1} 21. A = {(x, y) ∈ R 2 : x y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : 9x 2 + y 2 9} 22. A = {(x, y) ∈ R 2 : x y}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + 4y 2 4} 23. A = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 2}, B = {(x, y) ∈ R 2 : 9x 2 + y 2 9} 24. A = {(x, y) ∈ R 2 : max {|x|, |y|} 2}, B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + 1 y} 25. A = {(x, y) ∈ R 2 : max {|x|, |y|} 2}, B = {(x, y) ∈ R 2 : 4 − x 2 y} Задание 2. Пусть A, B, C - подмножества некоторого множества X. Доказать, что 1) (X\C)\(X\A) ⊂ A\C; 2) (X\C)\B = X\(C ∪ B); 3) A\C ⊂ (A\B) ∪ (B\C); 4) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); 5) A ⊂ B ⇔ X\B ⊂ X\A; 6) A ∩ B = X\((X\A) ∪ (X\B)); 7) A ∪ B = A ∪ (A B); 8) A\B = A ∩ (A B); 9) если A B = A, то B = Ø; 10) (A C) ∪ (B C) = (A ∪ B ∪ C)\(A ∩ B ∩ C); 11) (A ∪ B) C ⊂ (A C) ∪ (B C); 12) A B = (X\A) (X\B); 13) A (A B) = B; 14) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); 15) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D); 16) (A\B) × C = (A × C)\(B × C); 17) (A\C)\(B\A) ⊂ (A\C) ⊂ (A\B) ∪ (B\C); 18) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C); 9 19) A B ⊂ (A C) ∪ (B C); 20) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C); 21) (A\B)\C = (A\C)\(B\C); 22) (A ∩ B)\C = (A\C) ∩ (B\C); 23) если C ⊂ A, то A\(B\C) = (A\B) ∪ C; 24) (A B)\C = (A\C) (B\C); 25) (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\B. Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие 1) между полуотрезком [0, 1) и полуосью [0, +∞); 2) между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1]; 3) между отрезком [0, 1] и всей числовой прямой R; 4) между множествами [0, 3] и [0, 1) ∪ [2, 3]; 5) между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1]; 6) между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом; 7) между поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью; 8) между множеством [0, 1] ∪ {2, 3} и интервалом (0, 1); 9) между множеством всех иррациональных чисел и множеством всех действительных чисел; 10) между числовой прямой R и интервалом (a, b); 11) между отрезком [0, 1] и лучом [0, ∞); 12) между лучом [0, ∞) и всей числовой прямой R; 13) между лучом [0, ∞) и интервалом (a, b); 14) между точками открытого квадрата (− π 2 , π 2 ) × (− π 2 , π 2 ) и точками от- крытого прямоугольника (a, b) × (c, d); 15) между точками открытого квадрата (− π 2 , π 2 ) × (− π 2 , π 2 ) и точками плоскости; 16) между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу; 17) между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему; 18) между окружностью и прямой; 19) между множествами [0, 5] и [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5]; 20) между открытым единичным кругом и множеством точек плоско- сти, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу; 21) между точками открытого прямоугольника (a, b) × (c, d) и точками плоскости; 22) между плоскостью и открытым квадратом (− π 2 , π 2 ) × (− π 2 , π 2 ); 10 23) между всей поверхностью сферы и плоскостью; 24) между множествами (−∞, 0] ∪ [1, +∞) и (0, 1); 25) между множествами [−1, 0] ∪ { 1 n : n = 1, 2, . . .} и (0, 1). Задание 4. 1. a) Доказать, что если |A\B| = |B\A|, то |A| = |B|. b) Какова мощность бесконечного множества попарно непересека- ющихся интервалов на прямой? 2. a) Доказать, что если A ⊂ B и |A| = |A ∪ C|, то |B| = |B ∪ C|. b) Какова мощность множества всех конечных последовательностей действительных чисел? 3. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |C|, |B| = |D|, причем B ⊂ A, D ⊂ C, то |A\B| = |C\D|"? b) Какова мощность множества M точек на плоскости с целочис- ленными координатами? 4. a) Пусть C ⊂ A, D ⊂ B, |C ∪ B| = |C|. Доказать, что |A ∪ D| = |A|. b) Какова мощность множества всех строго возрастающих последо- вательностей натуральных чисел? 5. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |B|, A ⊂ C, B ⊂ C, то |C\A| = |C\B|"? b) Какова мощность множества P[x ] всех многочленов с целыми ко- эффициентами? 6. a) Верно ли утверждение: "Если |A| = |B|, C ⊂ A, C ⊂ B, то |A\C| = |B\C|"? b) Какова мощность множества всех кругов на плоскости? 7. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату. b) Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, ра- диусы которых рациональны и координаты центра которых — рацио- нальные числа? 8. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что на плос- кости замкнутый круг и открытый круг того же радиуса эквивалентны. b) Какова мощность множества всех многочленов с произвольными действительными коэффициентами? 9. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. b) Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? 11 10. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность любого отрезка и любого интервала на прямой. b) Какова мощность множества всевозможных последовательно- стей рациональных чисел 11. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность плоскости и открытого круга на плоскости. b) Какова мощность множества уравнений вида a n x n + a n−1 x n−1 + + . . . + a 1 x 1 + a 0 = 0, где коэффициенты - рациональные числа, а n- натуральное число? 12. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность замкнутого эллипса и замкнутого круга на плоскости. b) Какова мощность множества точек {(x, y) ∈ R 2 : y > x 2 }? 13. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность любого замкнутого шара и куба в трехмерном пространстве. b) Какова мощность множества всех конечных подмножеств мно- жества натуральных чисел? 14. a) Пусть |A| = |B| и A и B — бесконечные множества. Существует ли подмножество множества A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества всех сторого возрастающих непре- рывных функций, заданных на отрезке? 15. a) Пусть |A| = |B| и A и B — бесконечные множества. Существует ли множество, содержащее множество A, отличное от A, эквивалент- ное B? b) Какова мощность множества чисел вида n k , где n, k — натураль- ные? 16. a) Можно ли сказать, что если A = B, то |A| = |B| и, наоборот, если |A| = |B|, то A = B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, за- ключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную деся- тичную дробь отсутствует цифра 5? 17. a) Верно ли утверждение: "Если E - бесконечное множество чисел, расположенное на луче (0, +∞), то найдется такое число τ > 0, что множество E ∩ (τ, +∞) бесконечно"? b) Какова мощность множества всех точек плоскости с целыми ко- ординатами, расположенных вне квадрата с центром в начале коорди- нат и стороной a? 18. a) Верно ли утверждение, что если |A| = |B|, то |A\B| = |B\A|? 12 b) Какова мощность множества всех действительных чисел, за- ключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную деся- тичную дробь имеется цифра 5? 19. a) Верно ли утверждение, что если |A| = |B|, |C| = |D|, то |A∩ C| = = |B ∩ D|? b) Какова мощность бесконечного множества отрезков, лежащих на прямой и не имеющих общих внутренних точек? 20. a) Верна ли формула: |A × B| = |B × A|? b) Доказать, что если A = B ∪ C и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств B и C имеет мощность континуум. 21. a) Верна ли формула: (A 1 ∼ B 1 ) ∧ (A 2 ∼ B 2 ) → (A 1 × A 2 ) ∼ ∼ (B 1 × B 2 )? b) Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно. 22. a) Доказать, что для любого конечного множества A, содержащего m элементов, множество всех его подмножеств содержит 2 m элемен- тов. b) Доказать, что если A = ∪A n , n ∈ N и A имеет мощность конти- нуум, то по крайней мере одно из множеств A n имеет мощность континуум. 23. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что замкну- тый эллипс и открытый квадрат на плоскости эквивалентны. b) Какова мощность множества строго возрастающих последова- тельностей натуральных чисел? 24. a) Пусть A, B ⊂ R. Верна ли формула: A ∼ B → arctg A ∼ arctg B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, за- ключеных между 0 и 1 , в разложении которых в бесконечную деся- тичную дробь цифра 3 находится на втором месте? 25. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалент- ность трехмерного пространства и замкнутого куба. b) Какова мощность множества всех логарифмических функций y = log a x, где a ∈ R, a > 0, a = 1? Задание 5. 1. Множество A = A ∪ A , где A — множество всех предельных точек A, называется замыканием множества A. Доказать, что A замкнуто то- гда и только тогда, когда A = A. 13 2. Доказать, что A — наименьшее замкнутое множество, то есть A = ∩{F : A ⊂ F }, где все F — замкнуты. 3. Доказать, что для любых множеств A и B выполняется равенство A ∪ B = A ∪ B. 4. Доказать, что для любого множества A из того что A ⊂ B следует, что A ⊂ B. 5. Обозначим через intA — множество внутренних точек множества A. Доказать, что R\A = int(R\A), R\intA = R\A. 6. Доказать, что intA ⊂ A. Привести пример, когда эти множества раз- личны. 7. Доказать, что если множества A и B открыты и A ∩ B = ∅, то A ∩ B = ∅ и A ∩ B = ∅ (хотя, возможно A ∩ B = ∅). 8. Доказать, что intA ⊂ A. Привести пример, когда эти множества раз- личны. 9. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 10. Доказать, что если множество A на прямой ограничено, но не за- мкнуто, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 11. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто, но не огра- ничено, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 12. Доказать, что если функция y = f (x) непрерывна, то ее график G = {(x, y) : y = f (x)} — замкнутое множество на плоскости. 13. Пусть f (x), g(x) — две непрерывные функции. Доказать, что мно- жество точек {x : f (x) = g(x)} замкнуто на числовой прямой. 14. Пусть f (x), g(x) — две непрерывные функции. Доказать, что мно- жество точек {x : f (x) g(x)} замкнуто на числовой прямой. 15. Пусть f (x) — непрерывная функция. Доказать, что для любого a ∈ R множество точек {x : f (x) = a} замкнуто на числовой прямой. 16. Пусть f (x) — непрерывная функция. Доказать, что для любого a ∈ R множество точек {x : f (x) a} замкнуто на числовой прямой. 17. Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее от- крытое множество, содержащееся в нем. 18. Всегда ли объединение конечного семейства совершенных множеств является совершенным множеством? 14 19. Верно ли утверждение: "Внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей"? 20. Верно ли утведждение: "Внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей"? 21. Доказать, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. 22. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 23. Пусть f (x) – непрерывная функция, определенная всюду на оси Ox. Доказать, что множество тех точек оси Ox, где f (x) > a, открыто. 24. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 25. Доказать, что интервал (a, b) нельзя представить в виде объеди- нения счетной совокупности попарно не пересекающихся замкнутых множеств. Задание 6. 1. Доказать, что всякое измеримое множество A положительной ли- нейной меры имеет мощность континуум. 2. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? 3. Доказать, что всякое множество A, расположенное на действитель- ной оси (даже если оно является неизмеримым множеством на прямой), измеримо на плоскости Oxy и его плоская мера равна 0. 4. Доказать, что любое измеримое множество A на плоскости, имею- щее положительную плоскую меру 5, содержит измеримое подмноже- ство M плоской меры 3. 5. Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 6. Какова мера Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 1? 7. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречается цифра 1. 8. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и 2. 9. Пусть E — неизмеримое множество, E ⊂ [0, 1] и множество A тако- во, что µ([0, 1]\A) = 0. Доказать, что E ∩ A неизмеримо. 10. Может ли объединение A = ∪A n , n ∈ N возрастающей последова- 15 тельности измеримых множеств конечной меры иметь конечную меру? Бесконечную меру? 11. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(E) = 3 содержит измеримое подмножество меры 1. 12. Пусть на отрезке [0, 5] заданы измеримые множества A и B такие, что µ(A) + µ(B)>4. Доказать, что µ(A ∩ B) > 0. 13. Построить счетное множество на прямой такое, что µ(A ) > 0. 14. Пусть G — открытое множество на прямой и µ(G) = 3. Доказать, что существует открытое множество H ⊂ G такое, что µ(H) = 2. 15. Можно ли на отрезке [3, 5] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [3, 5]? 16. Доказать, что для любого открытого множества A, мера µ(A) > 0. 17. Пусть A, B измеримые множества и существуют множества E, F такие, что A E = B F , причем µ(E) = µ(F ) = 0. Показать, что то- гда µ(A) = µ(B). 18. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [1, 2], в десятичной записи которых не встречается цифра 2. 19. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 3 и 4. 20. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(E) = 4 содержит измеримое подмножество меры 2. 21. Доказать, что в каждом совершенном множестве, есть совершенное подмножество меры нуль. 22. Доказать, что если A измеримое множество положительной меры на отрезке [a, b], то в нем существуют такие точки x и y, расстояние между которыми рационально. 23. Пусть G открытое множество на прямой и µ(G) = 6. Доказать, что существует открытое множество H ⊂ G такое, что µ(H) = 4. 24. Можно ли на отрезке [−1, 1] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [−1, 1]? 25. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 2? Задание 7. 1. Доказать, что если функции f и g измеримы на множестве E, то и функция m(x) = min {f (x), g(x)} измерима. 16 2. Доказать, что если функция f измерима на множестве E, то функция [f (x)] n = f (x), f (x) n n, f (x) > n , n ∈ N также измерима. 3. Измерима ли функция f (x) = 1 x(x − 1) на интервале (0, 1)? 4. Доказать, что если {f n (x)} — ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup n f n (x) измерима. 5. Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 6. Измерима ли на множестве [0, 1] функция f (x) = 1, при x ∈ [0, 1]\Q n, при x ∈ Q ∩ [0, 1] ? 7. Доказать, что если функция, определенная на отрезке [a, b], измери- ма на любом отрезке вида [a + ε, b − ε], где ε > 0, то она измерима и на всем отрезке [a, b]. 8. Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая. 9. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция f (x) = 0, x ∈ E sin x, x / ∈ E, где E — неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 10. Доказать, что если функция f измерима, то и |f | измерима. Верно ли обратное? 11. Измерима ли на всей числовой прямой функция f (x) = g(x), x ∈ E 1 − g(x), x / ∈ E, где E — неизмеримое подмножество R, а g(x) непрерывна и не обра- щается в ноль на R? 12. Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также 17 функции f + g, f − g, f · g. 13. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция f (x) = sin x, x ∈ E cos x, x / ∈ E, где E — неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 14. Описать те числа n, при которых из измеримости f n (x) следует измеримость f (x). 15. Измерима ли на всей числовой прямой функция f (x) = tgx, при x ∈ Q sin x, при x / ∈ Q ? 16. Доказать, что если f измеримая функция на множестве E, то f + (x) = = max{f (x), 0} — измеримая функция на E. 17. Измерима ли на луче (0, +∞) функция f (x) = 2 x , x ∈ E √ x, x / ∈ E, где E — неизмеримое подмножество луча (0, +∞)? 18. Доказать, что если f 3 (kx + b) измеримая функция, то и f (x) изме- рима, и наоборот. 19. Измерима ли на числовой прямой функция f (x) = k, x ∈ E k 1, x / ∈ E, где E = ∪ ∞ k=1 E k , а E k — неизмеримые подмножества числовой пря- мой ? 20. Доказать, что если функция f измерима, то 1 f измерима. 21. Измерима ли на луче (0, +∞) функция f (x) = x 2 + 3, x ∈ E ln x, x / ∈ E, где E — неизмеримое подмножество луча (0, +∞)? 22. Измерима ли на всей числовой прямой функция f (x) = cos x, x ∈ Q 2 − x, x / ∈ Q ? 18 23. Доказать, что характеристическая функция множества измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество. 24. Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалент- ны тогда и только тогда, когда они равны. 25. Доказать, что если функция f дифференцируема на отрезке [a, b], то ее производная измерима на [a, b]. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега E f (x) dµ, если он суще- ствует (ниже символом Ir обозначено множество Ir = R\Q): 1. f (x) = 1 √ x + 4 √ x , при x ∈ Ir ∩ [ 1 16 , 1] 4 x , при x ∈ Ir ∩ [1, 5 4 ] sin 2 x, при x ∈ Q , E = [ 1 16 , 5 4 ] 2. f (x) = 1 (x + 1) 3 , при x ∈ Ir ∩ [0, 1] 7x, при x ∈ Q , E = [0, 1] 3. f (x) = 1 1 + √ x , при x ∈ Ir ∩ [0, 4] 2x − 3 x 2 − 3x + 8 , при x ∈ Ir ∩ [4, 5] sin(3 + x 2 ), при x ∈ Q , E = [0, 5] 4. f (x) = 1 x − x 2 , E = (0, 1) 5. f (x) = x 2 − x + 1 (x 2 + 1) 3 , при x ∈ Ir ∩ [0, √ 3] 1 x 3 , при x ∈ Ir ∩ [ √ 3, 3] ln (1 + x), при x ∈ Q , E = [0, 3] 6. f (x) = 1 x(x − 1) , E = (0, 1) 7. f (x) = x cos 2 x, при x ∈ Ir ∩ [0, π] x sin 2 x, при x ∈ Q , E = [0, π] 8. f (x) = x x 2 − 1 , E = (−2, −1) 9. f (x) = 1 √ x , при x ∈ Ir ∩ (0, 1) sin x , при x ∈ Q , E = (0, 1) 10. f (x) = x 2 x − 4 , E = (4, 5) 19 11. f (x) = x 2 − 1 (x 2 + 1) , при x ∈ Ir ∩ [0, 1 √ 3 ] x 4 x 2 + 1 , при x ∈ Ir ∩ [ 1 √ 3 , √ 3] 7, при x ∈ Q , E = [0, √ 3] 12. f (x) = x 1 − x 2 , E = (0, 1) 13. f (x) = arctg x 1 + x 2 , при x ∈ Ir ∩ [0, √ 3] − 1 x + 2 , при x ∈ Ir ∩ [ √ 3, 2] cos 2 x, при x ∈ Q , E = [0, 2] 14. f (x) = x √ x 2 − 1 , E = (1, 2) 15. f (x) = 1 cos 2 x √ 1 + tg x , при x ∈ Ir ∩ [0, π 4 ] 8x 2 + 4, при x ∈ Q , E = [0, π 4 ] 16. f (x) = x √ 1 − x 2 , E = (−1, 1) 17. f (x) = 1 x √ 1 + x 2 , при x ∈ Ir ∩ [ 1 2 , 1] (x 5 + 1) 3 , при x ∈ Q , E = [ 1 2 , 1] 18. f (x) = x x 2 − 1 , E = (0, 2) 19. f (x) = x 2 (x + 2) 2 (x + 4) 2 , при x ∈ Ir ∩ [2, 4] x 3 , , при x ∈ Q , E = [2, 4] 20. f (x) = x 1 − x 2 , E = (1, 2) 21. f (x) = 1 3 √ x − 1 , E = (1, 2) 22. f (x) = 1 3 √ x , E = (−1, 8) 23. f (x) = (1 − x 2 ) x 2 , при x ∈ Ir ∩ [ 1 2 , 1] x 3 + x 2 , при x ∈ Q , E = [ 1 2 , 1] 24. f (x) = 1 4 √ x − 1 , E = (1, 2) 25. f (x) = x sin 2 x, при x ∈ Ir ∩ [0, π] x cos 2 x, при x ∈ Q , E = [0, π] 20 |