математика_экз_29. 29. Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
29. Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Рассматривается выборка  некоторой генеральной случайной величины. Поставим задачу нахождения интервала, покрывающего величину  с заданной вероятностью, близкой к единице. Требуется определить статистики (границы интервала)  такие, что интервал  накрывает величину с вероятностью    Интервал называется интервальной оценкой, или доверительным интервалом. Интервальные оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии Генеральная случайная величина Х распределена нормально с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией  Эффективной оценкой для параметра аявляется оценка  а эффективной оценкой для дисперсии является  Статистика  имеет распределение Стьюдента с  степенью свободы. Распределение этой статистики не зависит от параметроваи  Случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с kстепенями свободы, принято обозначать  В таблице 2 даны значения  соответствующие вероятности  Задавая число степеней свободыkи вероятностьр, находим значение  По  и  при помощи таблицы 2 определяем значение   И так как распределение статистики  совпадает с распределением  то имеем: Решаем неравенство  относительноа, получаем:
При этом  ошибка оценки параметрааравна  Таким образом,с вероятностью  доверительный интервал  покрывает величинуа.5.2.3 Интервальные оценки дисперсии (среднеквадратического отклонения) при известном математическом ожидании Рассматривается случайная выборка  генеральной случайной величиныХ, нормально распределенной с известным математическим ожиданиемаи неизвестной дисперсией Эффективной оценкой дисперсии является  Статистика  распределена по закону  спстепенями свободы. Распределение  от величины  не зависит.Случайную величину, распределенную по закону сkстепенями свободы, принято обозначать  В таблице 3 указаны значения  соответствующие вероятности  Задаваяри число степеней свободыk, определяем  Из таблицы 3 по  и  находим  по  и находим  Так как статистика  распределена по закону  то Решаем неравенство  относительно  получаем:
Итак, с доверительной вероятностью доверительный интервал  покрывает величину В данном случае доверительный интервал не симметричен относительно оценки  Интервальные оценки дисперсии (среднеквдратического отклонения) при неизвестном математическом ожидании Рассматривается случайная выборка генеральной случайной величиныХ, нормально распределенной с неизвестными параметрамиаи Наилучшей оценкой дисперсии является  Распределение статистики  совпадает с распределением  Используем таблицу 3: по и  находим по и находим С вероятностью выполняется неравенство: Разрешим это неравенство относительно 
С доверительной вероятностью доверительный интервал  покрывает параметр |
