волны. 4 колебания и волны. 4 Колебания и волны Тест 4 1
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
4 Колебания и волны Тест 4 – 1 Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =4 см и периодом Т=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением СИ)... Варианты ответов: х = 0,04∙sin (2t) ; 2) х = 0,04∙cos (2t); x= 0,04∙sin(π t); 4) x= 0,04∙cos (π t). Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A∙sin (ω 0t + α) или x = A∙ cos (ω 0t + α), где A – амплитуда, α – начальная фаза, ω 0 – частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т. По условию задачи: А = 0.04 м, α = 0, ω 0 = 2π/2 = π , x(0)=0. Начальному условию удовлетворяет формула 3. Ответ: вариант 3. Тест 4 – 2 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А0. При разности фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна... Варианты ответов: 1) 5А0 /2; 2) А0  ;3) 2 А0;4) 0. Решение.  Для того чтобы сложить два колебания одинаковой частоты (или периода) и одинакового направления, нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Нужно представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда для нахождения результирующей амплитуды нужно применить теорему косинусов:А2 = А12 + А22 + 2∙А1∙А2∙cos ∆φ, где ∆φ - разность фаз . На рисунке показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4 – 2. В нашем примере векторы А 1и А 2 имеют одинаковую длину, т.к. их амплитуды одинаковы: А 1= А 2=А0 , а угол между векторами А 1 и А 2 равен разности фаз: ∆φ =3π/2 = - π/2. Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А2 = А02 + А02 + 2∙А0∙А0∙cos(-π/2). Так как cos(-π/2)=0, то А2 = А02 + А02 и результирующая амплитуда, найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А 0 . Ответ: вариант 2. Тест 4 – 3 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной … Варианты ответов: 1) 0; 2) π; 3) π /4; 4) π /2. Решение. При сложении гармонических колебаний одинакового направления нужно воспользоваться методом векторных диаграмм, а именно, каждое колебание представить в виде вектора. Если эти вектора имеют одинаковое направление, т.е. разность фаз равна нулю, то их амплитуды складываются и результирующая амплитуда будет максимальной. Ответ: вариант 1. . Тест 4 – 4 Уравнение движения пружинного маятника d2x/dt2 + (b/m)∙dx/dt + (k/m)·x = 0 является дифференциальным уравнением ... Варианты ответов: 1) вынужденных колебаний; 2) свободных затухающих колебаний; 3) свободных незатухающих колебаний. Решение. Проанализируем варианты ответов. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид: d2x/dt2 + 2β·(dx/dt) +ω02x = F/m, где β – коэффициент затухания, ω0 – частота собственных колебаний. Это уравнение является неоднородным, т.е. правая часть уравнения не равна нулю и содержит слагаемое, связанное с вынуждающей силой. Так как в заданном уравнении правая часть равна нулю, то рассматриваемое уравнение является однородным. Следовательно, оно представляет собой уравнение свободных колебаний. В дифференциальном уравнении свободных затухающих колебаний должно присутствовать слагаемое, содержащее первую производную от смещения по времени, связанное с наличием силы трения. Такое слагаемое есть в этом уравнении. Поэтому, рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний. Ответ: вариант 2. Тест 4 – 5  На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону. Циклическая частота ω0 колебаний точки равна:Варианты ответов: 1) 1с-1; 2) 2с-1; 3) 4с-1; 4) 3с-1. Решение. Пусть уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = Acos (ω 0t + α 0). Тогда найдем ускорение как вторую производную от смещения по времени: а = - A ω02cos (ω 0t + α 0). Из сопоставления этих формул, получим: а = - ω02 ·х. Из графиков для одного и того же момента времени t найдём х и а. Например, для t = 0.8 с х = 1 м, а = - 4 .0 м/с 2. Подставим эти числа в последнюю формулу и найдём ω02 = 4. Отсюда ω0=2 с-1. Ответ: вариант 2. Тест 4 – 6 На рисунке изображен график затухающих колебаний, где S -колеблющаяся величина, описываемая уравнением: S(t) = Ao e-t/τ sin(ω1t+ φ). Определите время релаксации τ (в с).  Варианты ответов: 1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 0,5. Решение. Временем релаксации называется время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Число е равно: е = 2.7…. Из рисунка видно, что в момент времени t 1 = 0 амплитуда равна А1 = 2.7,а в момент времени t2 = 2 с амплитуда А2 = 1. Следовательно, время релаксации τ = t2 - t 1 = 2-0 =2 с, т.к. за это время амплитуда уменьшилась А1/ А2 = 2.7 = е раз. Ответ: вариант 3. Тест 4 – 7 Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу грузика на пружине, то время релаксации… Варианты ответов: 1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза; 3) увеличится в 4 раза; 4) уменьшится в 2 раза. Решение. Время релаксации вычисляется как величина, обратная коэффициенту затухания: τ = 1/β. Для пружинного маятника коэффициент затухания равен: β = r/(2m), где r – коэффициент трения (или коэффициент сопротивления среды), m – масса грузика на пружине. Тогда время релаксации равно τ = 2m/r. При r = const, если массу грузика увеличить в 2 раза, то время релаксации увеличится в 2 раза. Ответ: вариант 1. Тест 4 – 8 Точка М одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:     Варианты ответов: 1) фигура1; 2) фигура2; 3) фигура3; 4)фигура 4. Решение При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, но с различными амплитудами, траектория результирующего движения точки представляет собой эллипс. Уравнение произвольно ориентированного эллипса имеет вид: x2/A2 + y2/B2- 2·(x/A)·(y/B)·cos ∆φ = sin 2∆φ, где A и B –амплитуды колебаний вдоль осей x и y. По условию задачи разность фаз равна ∆φ = π/2. Поскольку cos (π/2) = 0 и sin (π/2) = 1, то уравнение траектории будет иметь вид: x2/A2 + y2/B2 = 1, что представляет собой уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат. Такой эллипс представлен на рисунке1 фигурой 1. Ответ: вариант 1. Тест 4 – 9 Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin(l03t -2x).Тогда скорость распространения волны (в м/с) равна... Варианты ответов: 1) 500; 2) 2; 3) 1000. Решение Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид: ξ = А sin(ωt – kx), где k = ω / v – волновое число, ω – круговая частота, v – скорость распространения волны. Из сопоставления этой формулы с формулой, данной в условии задачи, следует, что ω = 10 3, k = 2. Вычислим скорость распространения волны: v = ω / k = 10 3/2 = 500. Ответ: вариант 1. Тест 4 – 10 Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin l03 (t -x/500). Длина волны (в м) равна ... Варианты ответов: 1) 1000; 2) 2; 3) 3,14. Решение Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х: ξ = А sin(ωt – kx), где ω – круговая частота, k- волновое число, равное k=2π/λ, в нашей задаче имеет вид: ξ = 0,01 sin(10 3t – 10 3∙x/500). Отсюда k =103 /500= 2. Поэтому λ =2π/k =2π/2= π = 3, 14. Ответ: вариант 3. Тест 4 – 11 Для продольной волны справедливо утверждение... Варианты ответов: 1) Возникновение волны связано с деформацией сдвига. 2) Частицы среды колеблются в направлении распространения волны. 3) Частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Решение Продольной волной называется такая волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Поперечной волной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Возникновение поперечной волны связано с деформацией сдвига. Для продольной волны справедливо утверждение: частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Ответ: вариант 2. Тест 4 – 12 Сейсмическая упругая волна, падающая со скоростью 5,6 км/с под углом 45° на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами, испытывает преломление, причем угол преломления равен 30°. Во второй среде волна будет распространяться со скоростью… Варианты ответов: 1,4 км/с; 2) 2,8 км/с; 3) 4,0 км/с; 4) 7,8 км/с. Решение Если рассматривать только направление распространения волны, то для упругой волны можно применить понятие луча и использовать закон преломления лучей. По закону преломления лучей отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения волны в первой и во второй средах: sin α /sin β = v1/v2. Отсюда скорость распространения волны во второй среде равна: v2 = v1· sin β/ sin α. Проведём вычисления: v2 = 5,6· sin 30°/sin 45° = 5,6·(1/2)/( /2) = 5,6/1,41 = 3,97… = 4,0 км/с.Ответ: вариант 3. Тест 4 – 13  На рисунке представлена мгновенная фотография электрической составляющей электромагнитной волны, переходящей из среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе раздела АВ.Относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1 равен … Варианты ответов: 1) 1,75; 2) 1,5; 3) 1; 4) 0,67. Решение. Относительный показатель преломления равен отношению скорости распространения волны в первой среде к скорости её распространения во второй среде: n21 = v1/v2. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v/ν, где ν – частота волны. При переходе через границу раздела двух сред частота волны не изменяется, поэтому выполняется следующее соотношение: λ 1/ λ 2 = v1/v2 .Из рисунка, на котором показана половина длины волны, следует, что λ 1=0,375∙2=0,75 мкм и λ 2=0,25∙2=0,5 мкм. Поэтому относительный показатель преломления равен: n21 = v1/v2 = λ 1/ λ 2 =0,75/0,5= 1,5. Ответ: вариант 2. Тест 4 – 14 Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность... Варианты ответов: 1) В∙А/м2; 2) В∙А∙м2; 3)В ∙А∙с/м2; 4) В ∙А∙с∙м2. Решение Плотность потока энергии электромагнитной волны численно равна энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется мощностью. Мощность в механике (для упругой волны) измеряется в ваттах, мощность электромагнитной энергии измеряется в вольтах, умноженных на ампер (В∙А). Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность В∙А/м2. Ответ: вариант 1. Тест 4 – 15 Если увеличить в 2 раза объемную плотность энергии и при этом увеличить в 2 раза скорость распространения упругих волн, то плотность потока энергии... Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза; 2) увеличится в 2 раза; 3) останется неизменной. Решение. Плотность потока энергии упругой волны по модулю равна произведению объёмной плотности энергии на скорость распространения упругой волны: j=w·v. При увеличении в 2 раза объемной плотности энергии w и в 2 раза скорости распространения упругой волны v объёмная плотность энергии увеличится в 4 раза. Ответ: вариант 1. Тест 4 - 16 Колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости, индуктивности и резистора. К контуру подключено переменное напряжение (рис.).  При некоторой частоте внешнего напряжения амплитуды падений напряжений на элементах цепи соответственно равны Ur = 4 В, Ul = 3 В, Uc.= 6 В. При этом амплитуда приложенного напряжения равна... Варианты ответов: 1) 3 В; 2) 4 В; 3) 5В; 4) 1ЗВ. Решение.  Если в колебательный контур подключено переменное напряжение, описываемое уравнением: U = Um cos (ωt), то в цепи потечет переменный ток, который вызовет на элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL и UC. Расчёты показывают, что падение напряжения на индуктивности UL опережает по фазе на π/2 падение напряжения на активном сопротивлении UR, а падение напряжения на ёмкости UC отстаёт по фазе на π /2 от падения напряжения на активном сопротивлении UR. Наглядно это можно изобразить с помощью метода векторных диаграмм. Амплитуда приложенного напряжения Um должна быть равна векторной сумме амплитуд этих напряжений. По теореме Пифагора: Um2 = (UL - UC)2 + UR2. Проведём вычисления;Um2 = (3 – 6)2 + 42 = 32 + 42 =25 =52. Отсюда: Um = 5 В. Ответ: вариант 3. Тест 4 - 17 На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического (  ) и магнитного (  ) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении... Варианты ответов:1) направление 4; 2) направление 1; 3) направление 2; 4) направление 3. Решение Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны  равен векторному произведению:  =[ ·  . Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор ( ) ко второму вектору ( ), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения ( ). В нашем случаевектор плотности потока энергии ориентирован в направлении 1, т.е. в сторону распространения электромагнитной волны. Ответ: вариант 2. Тест 4 – 18  На рисунке представлена зависимость относительной амплитуды колебаний силы тока в катушке индуктивностью 1мГн, включенной в колебательный контур. Емкость конденсатора этого контура равна...Варианты ответов: 1) 0,1нф; 2) 1нф; 3) 100нф; 4) 10нф. Решение. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний (резонанс) наблюдается, при совпадении частоты собственных колебаний с частотой вынужденных колебаний ω0 = ωр. Частота собственных колебаний в колебательном контуре вычисляется по формуле: ω0 = 1/  , где L – индуктивность, C – ёмкость. Поэтому 1/ = ωр. Отсюда C = 1/(L ωр2). По условию задачи L = 1 мГн = 10 -3 Гн. Из графика ωр = 106 рад/с. Вычислим ёмкость конденсатора: C =1/( 10 -3· 10 12 ) = 10 – 9 Ф = 1 нф. Ответ: вариант 2 Тест 4 – 19 На рисунке представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k = 10 Н/м от частоты внешней силы. Определите максимальную энергию системы.  Варианты ответов:1) 40 Дж; 2) 0,002 Дж; 3) 0,02 Дж; 4) 20 Дж. Решение. Полная энергия колеблющейся системы равна W = m ω2·A2 /2, где m – масса, ω – частота колебаний, равная частоте вынужденных колебаний системы, А – амплитуда колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы. При совпадении частоты собственных колебаний ω0 с частотой вынужденных колебаний наблюдается резонанс, т.е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При резонансе амплитуда будет максимальной А = Аmax , резонансная частота равна ωр = ω0и максимальная энергия системы будет равна Wmax =m ω02·Amax2 /2. Учтем, что коэффициент жесткости пружины равен: k =m ω02 , где ω0 - частота собственных колебаний. Тогда Wmax= k ·Amax2 /2. Найдем из рисунка Amax=2 см =0,02 =2·10 – 2 м. Вычислим максимальную энергию: Wmax=10· (2·10 – 2)2 /2 =2·10- 3 = 0,002 Дж. Ответ: вариант 2. |