Рабочая тетрадь по начертательной геометрии. 4 Принятые обозначения
 Скачать 3.19 Mb.
|
|
Проецирование на дополнительные плоскости проекций. Поворот вокруг проецирующих прямых и линий уровня Способ замены плоскостей проекций Для решения многих задач достаточно иметь две плоскости проекций. В большинстве случаев ими являются плоскости 1 и Однако, геометрические фигуры могут быть также заданы проекциями на плоскости 2 и 3 или 1 и 3 . Если же для решения задачи необходимо иметь третью проекцию и основных плоскостей недостаточно, то должна быть задана дополнительная плоскость, перпендикулярная к одной из основных плоскостей 1 , 2 или Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что изображаемый объект (отрезок, плоскую фигуру, тело, не изменяя его положения в пространстве, проецируют на новую дополнительную плоскость проекций, заменившую одну из 36 основных плоскостей. Новая дополнительная плоскость проекций, положение которой выбирают в зависимости от поставленной задачи, образует с одной из основных плоскостей новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. При этом используют следующие условные обозначения и записи 4 – дополнительная плоскость, перпендикулярная плоскости 1 , 2 , или 3 ; X 1 – новая ось проекций А В С I V , – проекции точек А, В, Сна дополнительную плоскость Условная запись замены фронтальной плоскости проекций 1 / 2 Условная запись замены горизонтальной плоскости проекций 1 / 2 Если походу решения задачи требуется двойная, тройная и т.д. замена плоскостей проекций, то каждой новой дополнительной плоскости присваивается следующий индекс, например, 5 , 6 и т.д. При любом количестве замен плоскостей проекций сохраняются перпендикулярность между двумя смежными плоскостями и метод прямоугольного параллельного проецирования. Двойная замена плоскостей проекций для прямой линии позволяет прямую линию, занимающую общее положение, преобразовать в проецирующую. Для этого первую дополнительную плоскость задают параллельно прямой, а вторую – перпендикулярно к ней. При первой замене прямая становится прямой уровня, а после второй получают проекцию прямой в виде точки. Ниже приведена условная запись двух замен плоскостей проекций для прямой общего положения АВ при преобразовании в проецирующую прямую 1 / 2 2 / 4 , где 4 1 и 4 АВ; 1 / 4 4 / 5 , где 5 4 и 5 АВ. Двойную замену плоскостей проекций для плоскости чаще всего используют для того, чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня. Первой заменой добиваются того, что в новой системе плоскостей проекций заданная плоскость, например, (АВС), становится проецирующей. При этом дополнительная плоскость проекций должна быть перпендикулярна к одной из линий уровня плоскости , например h , и ось X 1 h . При последующей замене 37 дополнительную плоскость проекций 5 задают параллельно плоскости , преобразованной в проецирующую плоскости Произведенная двойная замена плоскостей проекций для плоскости общего положения в виде условной записи может быть представлена следующим образом 1 / 2 1 / 4 , где 4 h и 4 ; 1 / 4 4 / 5 , где При заменах плоскостей проекций полученные при этом новые проекции не являются конечной целью задачи. На новых проекциях производят требуемые построения и возвращаются в первоначальную систему плоскостей проекций. Поэтому необходимо хорошо усвоить как переходы от основной системы плоскостей проекций к дополнительным, таки от дополнительных – к основной. Способ вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций Самоназвание способа говорит о том, что оси вращения представляют собой проецирующие прямые. При двойном повороте оси вращения чередуют, задавая их перпендикулярно ток одной плоскости проекций, ток другой плоскости проекций. Способ вращения рекомендуется применять при наличии одной геометрической фигуры. Точка, вращаясь вокруг любой прямой, описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Радиус вращения точки равен её расстоянию до оси вращения. При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, одна проекция точки перемещается по дуге окружности, причем угол поворота точки проецируется без искажения, а другая проекция точки перемещается по прямой, параллельной оси проекций. Прямую линию или отрезок прямой общего положения можно повернуть до положения, параллельного плоскости проекций первое вращение) или перпендикулярного ей (второе вращение. Как правило, оси вращения проводят через концы отрезков или через точки, расположенные на прямой. Поворот отрезка можно осуществлять поили против часовой стрелки. При вращении плоскости ось вращения задают проходящей через одну из точек плоскости. Для плоской фигуры за такую 38 точку обычно принимают одну из её вершин, через которую проводят линию уровня плоскости. Рекомендации. При повороте треугольника, расположенного в плоскости общего положения , до положения фронтально проецирующего, через одну из вершин проводят горизонтальную прямую h и ось вращения i 1 задают проходящей также через эту вершину. При повороте горизонтальной прямой до положения, при котором h 2 , плоскость треугольника займет фронтально проецирующее положение. При повороте треугольника, расположенного в плоскости общего положения , до положения горизонтально проецирующего, через одну из вершин проводят фронтальную прямую f и ось вращения i 2 задают проходящей также через эту вершину. При повороте фронтальной прямой до положения, при котором f 1 , плоскость треугольника займет горизонтально проецирующее положение. При двойном вращении плоскости общего положения вначале её поворачивают до проецирующего положения, а затем до положения плоскости уровня. Методика решения задач способом вращения аналогична методике решения задач способом замены плоскостей проекций одним или двумя поворотами добиваются тех же результатов, что одной или двумя заменами плоскостей проекций. В задачах с использованием двойного вращения для получения более четкого графического решения необходимо а) проводить первую и вторую оси вращения через разные и крайние точки геометрической фигуры б) выбирать направление вращения для наглядности с наибольшим углом поворота. Вращение вокруг линий уровня плоскости Этот способ вращения применяют в том случае, когда все поворачиваемые фигуры принадлежат одной плоскости. За оси вращения принимают прямые линии уровня плоскости. Поворот осуществляют до тех пор, пока плоскость не станет параллельной одной из плоскостей проекций. Положение плоскости определяется потрем ее точкам, поэтому при повороте плоскости нужно знать новое положение этих точек. Но плоскость поворачивают вокруг ее собственной линии уровня, следовательно, две точки, принадлежащие этой линии плоскости, 39 зафиксированы и для определения нового положения плоскости нужно повернуть только одну её точку. При вращении плоскости вокруг ее линии уровня необходимо выполнить два независимых одинарных преобразования – определить величину радиуса вращения одной из точек заданной фигуры и осуществить ее поворот. Проецирование плоских многоугольников Плоской называют геометрическую фигуру, все точки которой принадлежат одной плоскости. Плоская фигура проецируется на плоскость проекций без искажения, если она расположена параллельно этой плоскости. В общем случае для определения истинной величины плоской фигуры применяют один из способов преобразования проекций. Для определения истинной величины плоской геометрической фигуры, расположенной в проецирующей плоскости, выполняют одну замену плоскостей проекций или один поворот вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Если плоская геометрическая фигура расположена в плоскости общего положения, то ее истинную величину определяют с помощью двойной замены плоскостей проекций, двойного поворота вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций, или вращением вокруг линий уровня. Вопросы для самопроверки В чем заключается смысл преобразования чертежа способом проецирования заданных фигур на дополнительные плоскости проекций Какое положение относительно исходной системы плоскостей проекций занимает дополнительная плоскость С помощью каких линий плоскости общего положения задают дополнительную плоскость, преобразуя ее в проецирующую Как располагают дополнительные плоскости проекций относительно плоской фигуры общего положения при определении ее натуральной величины В чем заключается смысл преобразования чертежа способом поворота заданных фигур (отрезка прямой и плоскости общего положения) вокруг проецирующих прямых В виде каких фигур проецируется на плоскости проекций траектория точки, вращающейся вокруг проецирующей прямой 40 В виде каких фигур проецируется на плоскости проекций траектория точки, вращающейся вокруг линии уровня Как обозначают проекции точек при втором повороте геометрической фигуры Как должны быть расположены первая и вторая оси вращения относительно основных плоскостей проекций, чтобы после поворота прямой общего положения она стала фронтально проецирующей В чем заключается смысл преобразования чертежа способом поворота заданных фигур вокруг линий уровня Как проецируется траектория вращения точки на плоскости проекций 1 и 2 при ее повороте вокруг фронтальной прямой плоскости Какими способами можно определить действительную величину радиуса вращения точки, принадлежащей плоскости общего положения, при ее повороте вокруг линии уровня той же плоскости Задачи Прямую АВ спроецировать на дополнительную плоскость проекций, относительно которой она будет занимать проецирующее положение (рис. Координаты точек А) , В. Рис 41 4.2. Построить проекции равнобедренного треугольника ABC с вершиной Сна прямой DE (рис. Координаты точек А, B(10,40,0), D(40,5,10), E(10,20,30). Рис 4.3. Построить недостающую проекцию точки М, расположенной на расстоянии 15 мм от плоскости треугольника ABC рис. Координаты точек А, В, СМ Рис Построить проекции прямой, проходящей через точку Ми пересекающей прямые АВ ирис. Координаты точек А, В, СМ. Рис 43 Построить проекции точки D, симметричной точке Е относительно плоскости треугольника ABC рис. Координаты точек А, ВСЕ. Рис Отрезок АВ повернуть вокруг проецирующих прямых до горизонтально проецирующего положения рис. Координаты точек А, B(50,15,45). Рис 44 Прямую АВ повернуть вокруг горизонтально проецирующей прямой так, чтобы в новом положении она прошла через точку С (рис. Координаты точек А, В, С. Рис Последовательными поворотами вокруг проецирующих прямых расположить треугольник ABC параллельно фронтальной плоскости проекций (рис. Координаты точек А, В, С. При решении задачи фронталь следует провести через точку А). Рис.4.8 45 Точку М повернуть вокруг проецирующей прямой, перпендикулярной плоскости проекций 1 и проходящей через точку С, до совмещения с плоскостью треугольника ABC (рис. Координаты точек А, В, СМ. Рис 4.10. Поворотом вокруг проецирующей прямой, проходящей через точку Си перпендикулярной плоскости проекций 1 , совместить точку Ас поверхностью шара с центром в точке В рис. Радиус шара 25 мм. Координаты точек А, В, С. 46 Рис 4.11. Треугольник ABC повернуть вокруг линии уровня до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций рис. Координаты точек АС Рис 48 5. Метрические задачи Метрическими задачами называют задачи на определение значений величин, измеряющих расстояние или угол между двумя геометрическими фигурами, а также задачи на построение геометрических фигур по заданному между ними расстоянию (в мм) или углу (в градусах. В зависимости от положения двух геометрических фигур относительно плоскостей проекций расстояние или угол между ними можно измерить непосредственно на чертеже или после преобразования их проекций. Определение расстояний между двумя геометрическими фигурами Расстояние можно определять между следующими геометрическими фигурами двумя точками точкой и прямой линией двумя параллельными прямыми линиями двумя скрещивающимися прямыми линиями точкой и плоскостью прямой линией и плоскостью, ей параллельной двумя параллельными плоскостями. Решение всех перечисленных выше задач сводится к определению истинной величины отрезка, которым измеряется нужное расстояние. Расстояние между двумя точками измеряется длиной отрезка, соединяющего данные точки. Расстояние между точками определяют с помощью одной замены плоскости проекций или одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Расстояние от точки до прямой линии измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки напрямую. Если прямая линия занимает проецирующее положение, то искомое расстояние проецируется без искажения. Если прямая линия занимает положение, параллельное какой- либо плоскости проекций, то отрезок, измеряющий нужное расстояние, проецируется на основные плоскости проекций с искажением. Для определения истинной величины отрезка применяют один из способов преобразования проекций, например, способ замены плоскостей проекций или используют 49 способ вращения вокруг проецирующих прямых, а также линий уровня плоскости, так как точка и прямая представляют собой плоскость. Расстояние между двумя параллельными прямыми линиями сводится к определению расстояния от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой. Таким образом, методика решения этой задачи аналогична рассмотренной выше. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется отрезком прямой, перпендикулярной к двум заданным. Наиболее просто задача решается тогда, когда одна из прямых занимает проецирующее положение. В этом случае перпендикуляр к прямым занимает частное положение и равен кратчайшему расстоянию между прямыми. В общем случае задачу решают при помощи двойной замены плоскостей проекций. Замену плоскостей производят с таким расчетом, чтобы одна из прямых спроецировалась в точку. Например, можно воспользоваться такой заменой 1 / 2 где 4 АВ, и 1 / 4 где 5 АВ. Для определения кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно также воспользоваться плоскостями параллелизма. Такие плоскости получаются тогда, когда через две скрещивающиеся прямые проводят параллельные плоскости. В этом случае задача сводится к определению расстояний между двумя параллельными плоскостями. Расстояние между точкой и плоскостью определяется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость. Если плоскость занимает проецирующее положение, то задачу решают без дополнительных построений. В общем случае задачу решают одной заменой плоскостей проекций. Плоскость и точку проецируют на плоскость 4 h или 4 f . Из точки опускают перпендикулярна проекцию плоскости IV и находят его основание. Этот перпендикуляр равен искомому расстоянию, так как параллелен плоскости Расстояние между прямой линией и плоскостью, ей параллельной. Для определения расстояния от прямой линии до плоскости, ей параллельной, на этой прямой берут любую точку и определяют расстояние от нее до плоскости, те. решение этой задачи сводят к решению предыдущей задачи. 50 Расстояние между двумя параллельными плоскостями Для определения расстояния между двумя параллельными плоскостями, водной из них задают произвольную точку и определяют расстояние от нее до другой плоскости. Решение такой задачи было рассмотрено выше. Задачи на определение расстояний могут встречаться в различных комплексных задачах. В большинстве случаев одну и туже задачу на определение расстояния между двумя геометрическими фигурами можно решать с помощью разных способов преобразования проекций или их комбинаций. Вопросы для самопроверки Какие способы преобразования чертежа используют для определения натуральной величины расстояний между двумя точками точкой и прямой точкой и плоскостью точкой и поверхностью вращения параллельными прямыми скрещивающимися прямыми параллельными плоскостями При каких положениях прямой линии и точки относительно плоскостей проекций расстояние между ними проецируется без искажения При каком положении относительно плоскостей проекций одной из двух скрещивающихся прямых можно измерить на чертеже расстояние между ними Есть ли разница в методике решения задач на определение расстояния между точкой и плоскостью или между двумя параллельными плоскостями 51 Задачи Определить расстояние от точки до прямой (риса, б, в. а) б) Риса, б в) Рис, в Рис 52 Построить горизонтальную проекцию точки А, отстоящей от фронтали ВС на расстоянии 15 мм (рис. Координаты точек А, В, С. Определить натуральную величину расстояния между точкой и поверхностью вращения. Построить проекцию точки на поверхность вращения, ближайшую к заданной точке риса, б, в, га) б) в) г) Рис 53 Определить расстояние от точки D до плоскости (А,В,С) рис. Координаты точек АС. Рис Рис Определить расстояние от плоскости ( АВС) до поверхности шара диаметром 40 мм с центром в точке D рис. Координаты точек А, В, С, D(55,40,25). Определение величин углов между двумя геометрическими фигурами Угол между двумя любыми геометрическими фигурами измеряется плоским углом между двумя пересекающимися прямыми линиями. Углы можно определять между следующими геометрическими фигурами двумя пересекающимися прямыми линиями двумя скрещивающимися прямыми линиями прямой линией и плоскостью двумя плоскостями. Этот угол проецируется без искажения лишь при следующих частных положениях двух геометрических фигур 54 между двумя пересекающимися прямыми, расположенными в плоскости уровня между прямой уровня и плоскостью уровня, если прямая принадлежит плоскости, перпендикулярной к заданной между плоскостью уровня и проецирующей плоскостью между двумя проецирующими плоскостями, перпендикулярными к одной и той же плоскости проекций. При других положениях двух геометрических фигур относительно плоскостей проекций величину угла между ними определяют с помощью одного одинарного или двух двойных преобразований их проекций. Угол между двумя пересекающимися прямыми линиями проецируется без искажения, когда плоскость, образованная этими прямыми, параллельна какой-либо плоскости проекций. В общем случае угол между двумя пересекающимися прямыми определяют с помощью преобразования проекций. Угол между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется углом между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Таким образом, эта задача аналогична предыдущей. Для решения задачи берут произвольную точку и через нее проводят две прямые, параллельные заданным скрещивающимся прямыми с помощью преобразования проекций определяют искомый угол. Угол между прямой линией и плоскостью измеряется углом между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Прямое решение этой задачи часто бывает сложным, так как прямая и плоскость в большинстве случаев занимают общее положение. Гораздо проще вначале определить дополнительный угол , а потом уже искомый угол . При определении угла между прямой и плоскостью с помощью дополнительного угла выполняют следующие построения. Из произвольной точки на заданной прямой АВ опускают перпендикулярна данную плоскость ; определяют истинную величину угла между прямой и перпендикуляром а затем графически вычисляют угол по формуле =90 - . Угол между прямой линией и плоскостью, занимающими общее положение, может быть также определен следующим образом. Выполняют замену плоскостей проекций, в результате чего плоскость общего положения становится проецирующей 55 прямая при этом остается прямой общего положения. Из точки на прямой опускают перпендикулярна проецирующую плоскость и находят точку пересечения перпендикуляра с проецирующей плоскостью. Определив истинную величину прямой, (например, способом прямоугольного треугольника, определяют угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя плоскостями представляет собой двугранный угол, который измеряется его линейным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют два смежных линейных угла, но за угол между плоскостями принимают острый угол Чтобы построить линейный угол, нужно двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, а, следовательно, и к линии пересечения плоскостей. Для определения двугранного угла между двумя плоскостями общего положения нужно построить их линию пересечения и с помощью способа замены плоскостей проекций или вращения спроецировать ее в точку. Чтобы определить двугранный угол, задают дополнительную плоскость |