5. Исследование поведения функции с помощью производной возрастание и убывание, локальный экстремум
 Скачать 28.68 Kb.
|
|
1. Посчитать производную (если считаешь, пишешь экзамен) Часть 1: 1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Элементарные свойства пределов; 2. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса; 3. монотонная ограниченная последовательность. Критерии Коши; 4. Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы последовательности; 5. Предел функции, свойства пределов функции; 6. Критерии Коши существование предела функции; 7. Непрерывная функция, основные свойства функций непрерывных в точках; 8. Свойства функций непрерывных на отрезках; 9. Обратная функция, график обратной функции, критерии существования обратной функции и непрерывность обратной функции. (Придётся собрать, Она давала без доказательств)щз Часть 2: 1. Определение производной, дифференцируемые функции, дифференциал функции; 2. Техника дифференцированости. Производная слева, справа; 3. Основные теоремы; 4. Правило Лоппиталя ( нам рассказали не все случаи) 5. Исследование поведения функции с помощью производной: возрастание и убывание, локальный экстремум; 6. Исследование поведения функции с помощью производной: выпуклость и точки перегиба (без доказательств); 7. Формула Тейлора, локальная формула Тейлора, ряд Тейлора (довалось без доказательств, все формулы, остаточный член - всё знать) (Билетов как таковых не будет, нарежет (т. е. Будет резать) лапшу первую часть и вторую; любой вопрос из первой части и второй. Всё, что требуется знать в вопросе - должны знать) Часть 1 Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Элементарные свойства пределов 1) Числовой последовательностью или последовательностью множества действительных чисел называется функция переводящая множество натуральных чисел в множество действительных числе. Обозначение: X:NR (x1,x2,x3,…,xn,…) Предел числовой последовательности-число а(альфа) называется пределом числовой последовательности xn, если для любого ε>0 найдется натуральное число N, которое зависит от ε такое, что для Ɐ(любого) n>N выполняется неравенство |xn-a|< ε, тогда пишут lim xn=a ( или xna) и говорят, что (xn) сходится (или стремится) к а. Замечание: 1)xna означает, что любая окрестность точки а является “ловушкой ” последовательности , т.е. все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в наперед заданную окрестность точки а. (Окрестность точки — множество, содержащее данную точку) Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость. Пусть (xn)-последовательность и n1 Теорема: Если (xn) сходится, то любая подпоследовательность (xnk) сходится к тому же самому пределу. Элементарные свойства пределов: 1)если предел существует, то он единственный. Док-во: Две различные точки всегда имеют непересекающиеся окрестности U(a) и U(b) (U(a)TU(b) = = Ø). Так как xn → a и xn → b, то U(a) и U(b) являются "ловушками" (xn), т. е. в U(a) попадают все члены (xn), начиная с некоторого номера. То же справедливо для U(b). Очевидно, что этого не может быть, так как U(a)TU(b) = = Ø. Следовательно, a = b 2)Если есть 3 последовательности xna, yna, такие, что xn<=zn<=yn (n∈N), то zna Доказательство. Пусть ε > 0. Тогда при достаточно большом N : a−ε < xn < a+ε, a−ε < yn < a+ε (n > N). Следовательно, a−ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε (n > N), т. е. zn → a. 3)Если xna, то |xn||a| Доказательство. Следует из неравенства ||xn| − |a|| ≤ ≤|xn −a|. 4)Если (xn) сходится, то она ограничена Доказательство. Положим ε = 1 в определении предела последовательности. Тогда ∃ N ∈ N, ∀n > N : |xn−a| < 1. Отсюда, т. к. | |xn| − |a| | ≤ |xn − a|, следует |xn| ≤ M (n ∈ N), где M = max{|a| + 1,|x1|,...,|xn|}, т. е. (xn) – ограничена. 5)Арифметические свойства: а) lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn б) lim(xn *yn) = lim xn *lim yn, в) lim(xn \ yn) = lim xn \ lim yn, (lim yn ≠ 0). 6)Если xn0, a (yn) ограничена, т. е. существует число M>0 такое, что |yn|<=M (n∈ N), то xnyn0 Доказательство. Справедлива оценка 0 ≤ |xnyn| ≤ M|xn|. По свойству 3, если xn → 0, то |xn| → 0. Следовательно, M|xn| → 0. Отсюда, по свойству 2, следует |xnyn| → 0. Следовательно, xnyn → 0. x Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса 1) Любая последовательность вложенных отрезков I1 ⊃I 2 ⊃ ... (In = [an,bn]) обладает общей точкой, причем если b n −an → 0, то эта точка будет единственной. Доказательство: множество Е={а1, а2, а3,…,аn}-левых концов ограничено сверху (например числом b1) следовательно по “свойству непрерывных действительных чисел” следовательно существует а=sup E. докажем, что точка a ∈ ∞ Tn =1, так как а-sup Е следовательно ак, аn<=a, при n,к>=1. Покажем, что все bk являются мажорантой множества Е. Пусть к-фиксированное число. Тогда 1) an ≤ bn ≤ bk при n ≥ k 2) an ≤ ak ≤ bk при n < k Значит an ≤ a ≤ bn, n ∈ N, т. е. a ∈ ∞ Tn =1 In. Если bn-an0 при n+бесконечности, то а-единственное число принадлежащие всем In. 0 ≤ a − an ≤bn-an a-an0, ana 2) ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА Бесконечное ограниченное множество E ⊂ R обладает по крайней мере одной предельной точкой. Доказательство: Е-ограниченное множество, следовательно существует число M > 0 такое, что E ⊂ [−M,M]. Построим последовательность вложенных отрезков In = [an,bn]: положим I1 = [−M,M]; тогда Е⊂[an,bn]=I1. Делим I1 пополам, в качестве I2 берем половину I1 содержащую бесконечное подмножество Е. I1 ⊃ I2 ⊃ ··· ⊃ In−1 уже построены, то в качестве In возьмем тот из двух отрезков [an−1,an−1 + bn−1−an−1 2 ], [an−1 + bn−1−an−1 2 ,bn−1], который содержит бесконечное подмножество множества E. По построению bn −an → 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка, общая всем In (a ∈ ∞ Tn =1 In). Покажем, что a является искомой точкой. Пусть U(a) – произвольная окрестность a. Тогда существует N ∈ N такое, что In = [an,bn] ⊂ U(a) (n > N), т. е. произвольной окрестности U(a) принадлежит бесконечное множество точек множества E. Следовательно, a – предельная точка множества E. Следствие из теоремы: любая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну сходящуюся под-последовательность. Доказательство: По теореме Вейерштрасса ограниченная последовательность (как бесконечное ограниченное множество) обладает предельной точкой a. ⇒ любая окрестность a содержит бесконечное множество элементов последовательности (xn). ⇒ Любая окрестность a должна быть "ловушкой" хотя бы одной под-последовательности (xnk) ⇒ xnk → a. Монотонная ограниченная последовательность. Критерии Коши Определение 1. Последовательность (xn) называется неубывающей (соответственно, невозрастающей), если xn ≤ xn+1 (соответственно, xn ≥ xn+1). Последовательность (xn) называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая. Теорема. Ограниченная монотонная последовательность сходится. Определение 2. Предел числовой последовательности (xn), где xn =(1 + 1/n)^n, называется числом e, т. е. lim(1 + 1/n)^n = e. Критерии Коши Определение 1. Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n,m > N ( |xn −xm| < ε) (∗) или, что эквивалентно, ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ( |xn −xn+p| < ε). Lim f(x) существует тогда 1)а-предельная точка множества Е-область определения f 2) ∀ ε > 0 и существует окрестность точки а, так что, все х, х' принадлежит проколотой окрестности точки а : |f(x)-альфа|<ε/2 Пусть x,x’ |f(x)-f(x’)|=|f(x)-альфа+альфа-f(x’)|<=|f(x)-альфа|+|f(x’)-альфа|< ε |f(x)-альфа|< ε/2 |f(x’)-альфа|< ε/2 Достаточность: Пусть 1)а-предельная точка множества Е (*)2) ∀ ε > 0 и существует окрестность точки а, так что, все х, х' принадлежит проколотой окрестности точки а : |f(x)-f(x’)|< ε Пусть xna, xn неравно а. Докажем, что lim f(x)=альфа, xna следовательно ∃ N ∈ N ∀ n,m > N:xn, xm принадлежат проколотой окрестности точки а следовательно (по *) |f(xn)-f(xm)| < ε, ∀ n,m> N следовательно (f(xn))- фундаментальна следовательно (по критериям Коши для lim xn)существует lim f(xn) Рассмотрим две числовые последовательности xnf и xn’a (xn неравно a и xn’ неравно a) Определим последовательность (xn’’)=(x1, x1’,x2,x2’,…) следовательно xn’’a и xn’’ неравно a По доказанному существует Lim f(xn’’) следовательно limf(xn)=lim f(xn’)=альфа Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы последовательности Определение 1. Последовательность (xn) называется сходящейся к ∞ в R в объединении с {∞}, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ( |xn| > M), при этом пишут: lim xn = ∞ или xn →∞. Замечание.lim xn = ∞ означает, что всякая ∨ -окрестность точки ∞ является ловушкой (xn). Определение 2. Последовательность (xn) называется сходящейся к +∞ в RU{±∞}, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N (xn > M), при этом пишут: lim xn = +∞ или xn → +∞. Аналогично определяется lim xn = −∞ в R U{±∞}. Пример. Пусть xn = (−1)n 3 √n (n ∈ N). Тогда xn → ∞. Однако xn 6→ +∞, xn 6→−∞. Верхний и нижний пределы числовой последовательности RU{±∞}. Определение. Точка a ∈ RU{±∞} называется верхним (соответственно, нижним) пределом (xn), если Верхний: Существует xnka Всякая другая под-последовательность xnkb и b<=a Нижний: 1)Существует xnkc 2)Всякая другая под-последовательность xnkb и b>=c Теорема 1. Для произвольной последовательности (xn) справедливы следующие утверждения: 1. Верхний и нижний пределы всегда существуют. 2.(нижний) lim xn ≤ (верхний)lim xn. 3.(нижний) lim xn = (верхний)lim xn тогда и только тогда, когда существует limxn, при этом limxn = (верхний)lim xn =(нижний) lim xn. Доказательство (1 случай) (xn)–ограничено. Докажем, что, существует (верхний) lim xn, xn [a,b]=I1, I2-самая правая половина I1, содержащая бесконечное множество элементов (xn) по лемме о вложенных отрезках существует a принадлежит объединению In, xn1 принадлежит I2, xn2 принадлежит I2 и n2>n1 и т.д. Получили (xnk)входит (xn) получили Предел функции, свойства пределов функции Определений 1. Число α называется пределом функции f в точке a, если: 1. a – предельная точка множества E. 2. Для любой последовательности (xn) такой, что xn ∈ E, xn неравно a : xn → a ⇒ f(xn) → α. (∗) Определение 2. Число α называется пределом функции f в точке α, если: 1. α – предельная точка множества E. 2. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ E x ∈ (a − δ,a + δ), x неравно a (|f(x)−α| < ε). СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИи Теорема 1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и lim x→a f(x) = α, где α – конечное число, то существует U(a) такая, что f(x) ограничена в ˇ U(a). Теорема 2. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и lim x→a f(x) = α и α неравно 0, то существует U(a) такая, что |f(x)| > |α|/ 2 , x ∈ ˇ U(a). Больше того, для указанных x f(x) > α/ 2 , если α > 0 то f(x) > α/ 2 , если α < 0 то f(x) < α/ 2 Теорема 3 (арифметические свойства). Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a. Тогда справедливы равенства: lim x→a (f(x)±g(x)) = lim x→a f(x)± lim x→a g(x), 1)lim (x→a) f(x)·g(x) = lim (x→a) f(x)*lim (x→a) g(x) 2)lim (x→a)( f(x)/ g(x))=(lim (x→a)f(x))/(lim (x→a)g(x)) g(x) неравно 0, в том смысле, что если определены правые части, то определены левые, и они равны. Теорема 4. ("Свойство двух милиционеров"). Пусть f1(x), g1(x), f2(x) определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, и удовлетворяют неравенствам f1(x) ≤ g1(x) ≤ f2(x). Пусть lim (x→a) f1(x) = lim (x→a) f2(x) = α. Тогда lim (x→a) g1(x) = α. Критерии Коши. существование предела функции Критерии Коши Определение 1. Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n,m > N ( |xn −xm| < ε) (∗) или, что эквивалентно, ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ( |xn −xn+p| < ε). Lim f(x) существует тогда 1)а-предельная точка множества Е-область определения f 2) ∀ ε > 0 и существует окрестность точки а, так что, все х, х' принадлежит проколотой окрестности точки а : |f(x)-альфа|<ε/2 Пусть x,x’ |f(x)-f(x’)|=|f(x)-альфа+альфа-f(x’)|<=|f(x)-альфа|+|f(x’)-альфа|< ε |f(x)-альфа|< ε/2 |f(x’)-альфа|< ε/2 Достаточность: Пусть 1)а-предельная точка множества Е (*)2) ∀ ε > 0 и существует окрестность точки а, так что, все х, х' принадлежит проколотой окрестности точки а : |f(x)-f(x’)|< ε Пусть xna, xn неравно а. Докажем, что lim f(x)=альфа, xna следовательно ∃ N ∈ N ∀ n,m > N:xn, xm принадлежат проколотой окрестности точки а следовательно (по *) |f(xn)-f(xm)| < ε, ∀ n,m> N следовательно (f(xn))- фундаментальна следовательно (по критериям Коши для lim xn)существует lim f(xn) Рассмотрим две числовые последовательности xnf и xn’a (xn неравно a и xn’ неравно a) Определим последовательность (xn’’)=(x1, x1’,x2,x2’,…) следовательно xn’’a и xn’’ неравно a По доказанному существует Lim f(xn’’) следовательно limf(xn)=lim f(xn’)=альфа Предел функции Определений 1. Число α называется пределом функции f в точке a, если: 1. a – предельная точка множества E. 2. Для любой последовательности (xn) такой, что xn ∈ E, xn неравно a : xn → a ⇒ f(xn) → α. (∗) Определение 2. Число α называется пределом функции f в точке α, если: 1. α – предельная точка множества E. 2. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ E x ∈ (a − δ,a + δ), x неравно a (|f(x)−α| < ε). Непрерывная функция, основные свойства функций непрерывных в точках Определение f(x) ER называется непрерывной в точке а, если a принадлежит Е и lim (xa)f(x)=f(a) 10. Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена на некоторой U(a) и если для ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ,a + δ) (|f(x)−f(a)| < ε). ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ Теорема 1. Если функция f непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Теорема 2. Если f(x) непрерывна в точке а и f(a) неравно 0 то |f(x)>(f(a))/2| Если f(a)>0, то f(x)>(f(a))/2 Если f(a)<0, то f(x)<(f(a))/2 Теорема 3 (арифметические свойства).Пусть функции f и g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны также функции: f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x), если g(x) неравно 0. Теорема 4 (непрерывность суперпозиций функций). Если функция ϕ(x) непрерывна в точке a и функция f(y) непрерывна в точке b = ϕ(a), то функция F(x) = f(ϕ(x)) – непрерывна в точке a. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ y ∈ (b − δ,b + δ) (|f(y)−f(b)| < ε). Свойства функций непрерывных на отрезках Определение. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на (a,b), непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке a. Теорема 1. Если f непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на [a,b]. Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f достигает на [a,b] своих точных граней, т. е. существуют точки α и β ∈ [a,b], для которых sup (x∈[a,b]) f(x) = f(α), inf( x∈[a,b]) f(x) = f(β) Теорема 3. Если f непрерывна на [a,b] и числа f(a) неравно 0 , f(b) неравно 0 и имеют разные знаки, то на интервале (a,b) существует точка c такая, что f(c) = 0. Теорема 4.Если f непрерывна на [a,b] и если число γ лежит между f(a) и f(b), то существует число c ∈ (a,b) такое, что f(c) = γ. Обратная функция, график обратной функции, критерии существования обратной функции и непрерывность обратной функции Обратная функция. Определение. Пусть кривая Γ является графиком функции y = f(x) (x ∈ E, y ∈ F). Если кривая Γ определяет x как функцию y, т. е. каждому y ставится в соответствие с помощью Γ (см. рис. 1) единственная точка x, то говорят, что определена x = g(y) (y ∈ F) – функция, обратная к функции f. Замечание. Графиком обратной функции x = g(y), y ∈ F является кривая Γ0, являющаяся зеркальным отображением кривой Γ относительно биссектрисы I и III координатных углов. Теорема 1. Если y=g(x), x принадлежит F- функция обратная функции y=f(x), x принадлежит E, то x ≡ g(f(x)) (x принадлежит E), x ≡f(g(x)) (x принадлежит F) Критерий существования обратной функции Пусть (функция fб переводящая множество E в R) f: ER строго возрастает (из x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)) или строго убывает (из x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)). Тогда существует функция g : F → R, обратная к функции f : E → R, причем она будет строго возрастать или, соответственно, строго убывать. Непрерывность обратной функции Теорема 1. Пусть y = f(x) непрерывна и строго возрастает на [a,b]. Тогда образ [a,b] есть отрезок [A,B] (A = f(a), B = f(b)) и обратная к f функция x = g(y) будет строго возрастающей и непрерывной на [A,B]. Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна и строго возрастает на (a,b) и пусть A = inf (x∈(a,b)) f(x), B = sup (x∈(a,b)) f(x), причем может быть, что a = −∞, A = −∞, b = +∞, B = +∞. Тогда образ (a,b) есть (A,B), и обратная к f(x) функция x = g(y) строго возрастает и непрерывна на (A,B). |