ИГЭ для Гэ. Задания по планиметрии на ЕГЭ. 6 Исторические вопросы

• Название: 6 Исторические вопросы
• Анкор: ИГЭ для Гэ
• Дата: 20.12.2021
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Задания по планиметрии на ЕГЭ.doc
• Тип: Документы; #310971
• страница: 2 из 4

Глава II. Задания из ЕГЭ по планиметрии
2.1. Примеры решения задач по теме: «Треугольники и их виды»
Рассмотрим одну из задач, в которой ключевым моментом решения являлось подобие треугольников и составление соответствующей пропорции. В данной задаче представлено непривычное расположение подобных треугольников, что затрудняет и их распознавание и запись пропорциональности сторон.

Задача 1. Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН=4, ОН = 12, МAО= 30 , АМН = АОМ. Найдите площадь треугольника АНМ.

РЕШЕНИЕ.

	1) АМН подобен АОМ по двум углам: А – общий, АМН = АОМ по условию. Из подобия следует , ,
2) , Ответ: 8.

Применение теоремы косинусов в решении ряда задач было осложнено тем, что эта теорема использовалась не для прямых вычислений, а для составления уравнения.

Рассмотрим задачу на составление уравнения с помощью теоремы косинусов и на применение свойства медианы (медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника)

Задача 2. В АВС проведена медиана АМ, причем МАС = 45 .Найдите площадь треугольника АВС, если АС = , ВС = 10.

РЕШЕНИЕ.

	1)Медиана АМ делит ВС пополам, поэтому ВМ = МС=5. Запишем для МАС теорему косинусов: Решив уравнение получим откуда АМ = 7.
2) = 10,5. 3) Так как медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то Ответ: 21.

Задача 3.В треугольнике ВСЕ медиана ВМ равна 3, СЕ = , ВЕ = 5. Найдите сторону ВС.

РЕШЕНИЕ.

	1)Из ΔВМЕ найдем cosE по теореме косинусов: ,
2) Из ВСЕ по теореме косинусов: , ВС = 3. Ответ: 3.

Задача 4.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого тре­угольника.

РЕШЕНИЕ.

Ответ: 25.

1)Пусть гипотенуза равна х, тогда гипотенуза равна 25. Диаметр окружности, описанной около этого прямоугольного тре­угольника равен гипотенузе.

P.S. Вообще говоря, здесь легко найти и остальные элементы данного треугольника:

Эти элементы можно было бы вычислять, используя подобие треугольников или определение синуса (или косинуса) угла для составления пропорции, а затем применив теорему Пифагора.

Например, для вычисления гипотенузы можно составить про­порцию Однако этот путь решения тоже зачастую вызывает трудности у учащихся.
Задача 5. Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО = 5, ОК = 3. Найдите АН.

РЕШЕНИЕ.

	1) Высота АН, проведенная к основанию равнобедренного АВС одновременно является и биссектрисой АВК, тогда по свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону ВК на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. отсюда 2)Пусть АК = 3х, АВ = 5х. Из прямоугольного АВК по теореме Пифагора получаем
уравнение . . АВ = АС = 5·2 = 10, АК=3 · 2 = 6, КС = 10 – 6 = 4. 3) Из прямоугольного ВКС по теореме Пифагора: 4) или отсюда т.е. Ответ:

Задача 6. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что В + С = АКВ, АК = 5, ВК = 16, КС = 2. Найдите сторону АВ.

РЕШЕНИЕ.

	1) АКВ внешний для , поэтому АКВ = КАС + С, а по условию задачи АКВ = В + С, значит КАС = В. 2)В треугольниках АВС и КАС: С – общий, КАС = В, следовательно, они подобны. Из подобия получаем
Из пропорции получаем АС = 6. 3) Из пропорции получаем следовательно, АВ = 15. Ответ: 15.

Задача 7. В треугольнике АВС В = , АВ = АС = 5. Найдите площадь

РЕШЕНИЕ.

	1) Пусть ВС = х. По теореме косинусов получим: , подставим данные и получим уравнение ВС = 1.
2) Ответ: 1,5.

Задача 8. В треугольнике АВС сторона АВ = На стороне ВС отмечена точка К так, что КАС = В, Найдите площадь , если ВК = 9, КС = 4.

РЕШЕНИЕ.

	1) В и : С –общий, В = КАС, следовательно, они подобны. Из подобия получаем ,
2)Определим вид : , следовательно прямоугольный с катетами АВ и АС. Ответ: 39.

Заметим, что использование формулы Герона существенно усложнило бы решение задачи.