Исследование функции. 6. Применение производной к исследованию функций Промежутки возрастания и убывания функции Функция называется возрастающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции

• Название: 6. Применение производной к исследованию функций Промежутки возрастания и убывания функции Функция называется возрастающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции
• Дата: 20.04.2022
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Исследование функции.pdf
• Тип: Документы; #486127

Тема 6. Применение производной к исследованию функций Промежутки возрастания и убывания функции Функция называется возрастающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
f(x
2
) > f(x
1
) при x
2
> Функция называется убывающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
f(x
2
) < f(x
1
) при x
2
> Признак возрастания:Если функция определена, дифференцируема и возрастает на некотором промежутке, то ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.
f ′(x)>0 Признак убывания Если функция определена, дифференцируема и убывает на некотором промежутке, то ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
f ′(x)<0

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Экстремумы функции Точка x
0
из области определения функции называется точкой минимума, если для всех х из некоторой окрестности точки x
0 выполняется условие f(x
0
) Точка x
0
из области определения функции называется точкой максимума, если для всех х из некоторой окрестности точки x
0 выполняется условие f(x
0
)>f(x). Признаки максимума и минимума функции Если f ′(x
0
)=0 и при переходе через точку x
0 производная f меняет знак сна, тов точке x
0
- максимум если же производная f меняет знак сна, тов точке x
0
- минимум.

Промежутки выпуклости графика. Точки перегиба. График функции называется выпуклым вниз, если он расположен выше касательной, проведенной к графику функции (риса в противном случае график функции называется выпуклым вверх (рис.б).
Признак выпуклости
вверх:
Если функция определена, дифференцируема и выпукла вверх на некотором промежутке, то ее вторая производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
f ′’(x)<0 Признак выпуклости вниз Если функция определена, дифференцируема и выпукла вниз на некотором промежутке, то ее вторая производная положительна в каждой точке этого промежутка.
f ′’(x)>0 Точки, в которых вторая производная равна нулю или не определена, называются критическими точками II рода Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба

Признак точки перегиба Если в точке x
0
вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв, и при переходе через критическую точку x
0
вторая производная
)
(x
f

меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (x
0
;
f(x
0
)). План исследования функции
1. Найдите область определения функции.
2. Исследуйте функцию на четность.
3. Найдите первую производную и критические точки.
4. Определите промежутки монотонности и найдите точки экстремума.
5. Найдите вторую производную и критические точки.
6. Определите направления выпуклости графика функции и найдите точки перегиба.
7. Найдите асимптоты графика.
8. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.
9. Постройте график. Пример 1: Исследуйте функцию
2 3
2 и постройте график.
1.
R
y
D

)
(
2.
2 3
2 3
2 9
)
(
2 9
)
(
)
(
x
x
x
x
x
y








, т.к. y(-x)≠y(x) и y(-x)≠-y(x), значит функция общего вида.
3.
x
x
y
9 3
2



0
)
3
(
3 0
9 3
2




x
x
x
x
=> x=0 или x=-3

4. Функция убывает [-3;0], функция возрастает ( -∞;-3] и. x
max
=-3 , x min
=0 y
max
=y(-3)=13,5 y min
=y(0)=0 max(-3;13,5) min(0;0)
5.
9 6



x
y
6x+9=0
5
,
1 6
9




x
6. Функция выпукла вверх ( -∞;-1,5], функция выпукла вниз [-1,5;∞).
x=-1,5 – точка перегиба
(-1,5; 6,75)- точка перегиба.
7. Найдем точки пересечения графика с осью X: y=0












 


5
,
4 0
0 2
9 0
2 9
2 2
3
x
x
x
x
x
x
(0;0) и (-4,5; 0) точки пересечения с осью X. Найдем точку пересечения с осью Y: x=0 , тогда y(0)=0. Значит (0;0) – точка пересечения с осью.
8. Асимптоты. Точек разрыва нет, значит, нет вертикальных асимптот.
X
+
-
+
-3 0
-
X
-1,5
+

y=b
b=





)
2 9
(
lim
2 3
x
x
x
, значит горизонтальной асимптоты нет.
y=kx+b
k=





















x
x
x
x
x
x
x
2 9
lim
:
)
2 9
(
lim
2 2
3
, значит наклонной асимптоты нет.
9. Пример 2: Исследуйте функцию и постройте график функции 3


x
x
x
f
.
1.
)
;
2
(
)
2
;
2
(
)
2
;
(
)
(







f
D
; D(f) симметричная относительно 0.
2. Функция нечетная, т.к.
)
(
4 4
)
(
)
(
)
(
2 3
2 3
x
f
x
x
x
x
x
f










график симметричен относительно начала координат.
0
Y
X
-3 13,5
-4,5

3.
2 2
2 2
)
4
(
)
12
(
)
(
'



x
x
x
x
f
, Критические точки I родах их также являются критическими точками, т.к.
)
(
' x
f
не осуществляет в этих точках, но эти точки не входят в область определения функции, поэтому должны быть исключены из рассмотрения.
3.
3 3
3 2
3 3
3 2
m in m in m ax m Функция возрастает (−∞; −2 3 и 2 3; ∞) , убывает −2 3; −2) ∪
−2; 0 ∪ 0; 2 ∪ (2; 2 3] .
5.
3 2
2
)
4
(
)
12
(
8
)
(
'
'



x
x
x
x
f
. Критические точки II рода
0
)
(
'
'

x
f
0
)
12
(
8 2


x
x
, хо хи х также являются критическими точками, т.к.
)
(x
f

не осуществляет в этих точках.
6. Функция выпукла вверх −∞; −2 ∪ [0; 2), выпукла вниз −2; 0 ∪
(2; +∞),
0
)
0
(

f
(0; 0) – точка перегиба.
7. Асимптоты графика

аи значит, хи х – вертикальные асимптоты. б.
0 4
lim
)
)
(
(
lim
1
)
4
(
lim
)
(
lim
2 3
2 Значит, ух – наклонная асимптота.