Ппп. Тервер 6-11. 6. Простые и сложные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей
![]()
|
6. Простые и сложные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Если A и B - совместные события, то суммой 2ух событий A и B называется событие С, состоящее в наступлении либо события A, либо события B, либо обоих событий вместе. Если A и B - несовместные события, то их сумма означает наступление или события A, или соб. B. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы 2х событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. ![]() Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B+....+K)=P(A)+P(B)+....+P(K) Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице. ![]() Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. 7. Простые и сложные события. Произведение событий. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий. Условная вероятность события B - это полученная вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло. Обозначается ![]() Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло. Теорема умножения для несовм.событий Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий ![]() A и B-независимые. 8. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Сфера их применения. Формула Бернулли Т-ма: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P k,n того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях равна: ![]() где q = 1-p В формуле Бернулли используется число сочетаний. Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия: 1) независимость проводимых испытаний; 2) p = const Распределение вероятностей в схеме Бернулли - биномиальное. Применяется при решении задач на нахождение вероятности возможного числа появления бракованных деталей; в задаче с условием найти количество подбросов игральной кости, при заданном наивероятнейшем выпадении Формула Пуассона Применяется в случае, когда мы хотим вычислить вероятность Pm,n появления события A при большом числе испытаний n, например P300,500. Т-ма: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа n испытаний, причем произведение np стремится к постоянному числу λ, то вероятность Pm,n того, что событие A появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству ![]() Приближенная формула Пуассона: ![]() 9. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Локальная Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1,то вероятность P(m,n) того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при n достаточно больших, приближенно равна ![]() ![]() Существует таблица значений функций f(x)для x ![]() ![]() ![]() Интегральная теорема. Если вероятность P наступления события A в отдельных испытаниях постоянна и отлично от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события A в n Независимых испытаниях заключено в пределах от A до B включительно при достаточно большом числе испытаний n приблизительно равна ![]() ![]() Следствие. Если вероятность P наступления события А в отдельных испытаниях постоянна и отлична от 0 до 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того что, а) число m наступления события А отличается от произведения np не более чем на величину E>0 приближенна равна p( ![]() б)Частота ![]() ![]() z1= ![]() ![]() В) частота ![]() ![]() 10. Формула полной вероятности. Формула Байеса Теорема. Если событие А может наступить только совместно с одним из событий (гипотез) Н1,Н2,…,Нn, образующих полную группу, то вероятность события А равна Р(А ![]() ![]() |