6 вариант. Задача 1

• Название: 6 вариант. Задача 1
• Дата: 30.10.2022
• Размер: 4.32 Mb.
• Имя файла: obschaya_energetika_IDZ_variant_6 (1).docx
• Тип: Задача; #762969

6 вариант.

Задача 1

Смесь газов (2 кг N₂ + 8 кг H₂) с начальной температурой t₁ = 27⁰C сжимается в одноступенчатом поршневом компрессоре от давления Р₁ = 0,1 МПа до давления Р₂ = 0,9МПа. Сжатие может происходить по изотерме, адиабате и по политропе с показателем политропы n = 1,23. Определить для каждого из трёх процессов сжатия конечную температуру газа t₂, отведённое от смеси тепло Q, кВт, изменение внутренней энергии и энтропии смеси и теоретическую мощность компрессора, если его производительность G = 0,8*10³ кг/ч. Дать сводную таблицу и изображение процессов сжатия в PV– и TS–диаграммах.

Решение:

1. 
   Газовая постоянная смеси
   

R_CM = 8314/ µ_CM,

где µ_CM - молекулярная масса смеси;

µ_CM= 1/[(m_N2/ µ_N2) + (m_H2/ µ_H2)],

µ_N2= 28 кг/кмоль -молекулярная масса азота

µ_H2 = 2 кг/кмоль -молекулярная масса водорода.

Массовые доли азота и водорода а в смеси:

M_N2 = M_N2 / M_см;

m_H2 = M_H2/ M_см;

где M_N2 – масса азота;

M_H2 – масса водорода;

М_см – масса смеси, равная М_см = M_N2 + M_H2.

М_см = 2 + 8 = 10 кг.

m_N2 = 2/10 = 0,2;

m_H2 = 8/10 = 0,8.

µ_CM= 1/[(0,2/ 28) + (0,7/2)] = 2,8,

R_CM = 8314/ 2,8 = 2969 Дж/(кг*К).

2. 
   Начальный объём смеси
   

Запишем уравнение состояния Р₁*V₁ = M*R_CM*T_1, из которого выразим объём смеси:

V₁ = M*R_CM*T₁/P₁ = 10*2969*300 / (0,1*10⁶) = 89,07 м³.

3. 
   Массовая изобарная теплоёмкость смеси
   

C_рсм = *C_pi),

где C_pi = µC_рi /µ_i - массовая изобарная теплоёмкость i-го компонента смеси

µC_рi = 29,1 кДж/(кмоль*К) – мольная изобарная теплоёмкость азота и водорода(для двухатомных газов),

C_рсм = 0,2*29,1/28 + 0,8*29,1/2 = 11,848 кДж,(кг*К).

4. 
   Массовая изохорная теплоёмкость смеси
   

C_vсм = *C_vi),

где C_vi = µC_vi /µ_i - массовая изохорная теплоёмкость i-го компонента смеси

µv_рi = 20,93 кДж/(кмоль*К) – мольная изохорная теплоёмкость азота и

водорода(для двухатомных газов),

C_vсм = 0,2*20,93/28 + 0,8*20,93/2 = 8,522 кДж,(кг*К).

5. 
   Показатель адиабаты:
   

k = C_рсм/C_vсм = 11,848/8,522 = 1,39.

Изотермическое сжатие.

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

При изотермическом процессе T₂ = T₁ = 300 K.

Конечный объём определяем по уравнению:

V₂ = R_CM*Т₂ / P₂ = 2969*300 / (0,9*10⁶) = 0,98 м³.

Работа сжатия:

L = M* R_CM*T*ln(V₂/V₁) = 10*2969*300*ln(0,98/89,07) = - 40167233 Дж.

Изменение внутренней энергии:

При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому

∆U =0

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,

и ∆U = 0, то Q = L = - 40167233 Дж.

Изменение энтропии:

∆S = M*R_CM*ln(V₂/V₁) = 10*2969*ln(0,98/89,07) = - 133891Дж/К.

Изменение энтальпии:

При изотермическом процессе ∆Н = 0.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1*4016723,3 = 892605 Вт.

n = 1;

l_сж = L/M = 40167233/10 = 4016723,3 Дж/кг.

Адиабатное сжатие.

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

Конечную температуру определяем из уравнения:

T₂ = T₁*(Р₂ / Р₁ )^(k-1)/k = 300*(0,9/0,1)^{(1,39-1)/1,39} = 556 K.

k – показатель адиабаты.

Конечный объём определяем по уравнению:

V₂^k = P₁*V₁^k / P₂,

V₂^1,39 = 0,1*10⁶*89,07^1,39 / (0,9*10⁶) = 57;

V₂ = 18,33 м³.

Работа сжатия:

L = (M* R_CM /(k – 1))*(T₁ - T₂) = (10*2969 / (1,39 – 1))*(300 - 556) =

= -19488821Дж.

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Так как процесс адиабатный, то Q = 0.

Изменение внутренней энергии:

Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,

и Q = 0, то ∆U = - L = 19488821Дж.

Изменение энтропии:

При адиабатном процессе ∆S = 0.

Изменение энтальпии:

∆Н = М*С_рсм*(Т₂ – Т₁),

∆Н = 10*948*(556 – 300) = 2426880 Дж.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1,39*1948882,1 = 601988 Вт.

n = k = 1,39;

l_сж = L/M = 19488821/10 = 1948882,1Дж/кг.

Политропное сжатие

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

Конечную температуру определяем из уравнения:

T₂ = T₁*(P₂ / P₁ )^(n-1)/n = 300*(0,9/0,1)^{(1,23-1)/1,23}= 553 K.

Конечный объём определяем из уравнения:

V₂ⁿ = P₁*V₁ⁿ / P₂,

V₂^1,23= 0,1*10⁶*89,07^1,23 / (0,9*10⁶) = 27,8;

V₂ = 14,93 м³.

Работа расширения:

L =[M* R_CM /(n – 1)]*(T₁ - T₂) = [10*2969 / (1,23 – 1)]*(300 - 553) =

= - 32659000Дж.

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Q = [М*C_vсм *(n – k)/(n – 1)]*(T₂ – T₁),

Q = [10*682*(1,23 – 1,39)/(1,23 – 1)]*(553 – 300) = - 1200320 Дж.

Изменение внутренней энергии:

∆U = М*C_vсм*(T₂ – T₁) = 10*682*(553 – 300) = 1725460 Дж.

Изменение энтропии:

∆S = M*C_vсм* [(n – k)/(n – 1)]/ ln(T₂/T₁),

∆S = 10*682*10³* [(1,23 – 1,39)/(1,23– 1)]*ln(553/300) = - 2901527 Дж/К.

Изменение энтальпии

∆Н = М*С_рсм*(Т₂ – Т₁) = 10*948*(553 – 300) = 2398440 Дж.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1,23*3265900 = 892679 Вт.

n = 1,23;

l_сж = L/M = 32659000/10 = 3265900 Дж/кг.
Результаты расчёта.

Параметры	Изотермическое расширение	Адиабатное расширение	Политропное расширение
V1, м3	89,07	89,07	89,07
P1, МПа	0,1	0,1	0,1
Т1,К	300	300	300
V2, м3	0,98	18,33	14,93
P2, МПа	0,9	0,9	0,9
T2, K	300	556	553
L, Дж	- 40167233	-19488821	- 32659000
Q, Дж	- 40167233	0	- 1200320
∆U, Дж	0	19488821	1725460
∆S, Дж/К.	- 133891	0	- 2901527
∆H, Дж	0	2426880	2398440
N, Вт	892605	601988	892679

Анализируя данные таблицы, приходим к выводу, что в адиабатном процессе теплота не подводится и не отводится. В изотермическом процессе сжатия теплота отводится. Политропный процесс сжатия (имеем < n < протекает также с отводом теплоты от рабочего тела. Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе, так как не меняется температура в процессе, следовательно и внутренняя энергия системы также не меняется, а тепло, подведённое, расходуется на совершение работы этой системой.

Изображение процессов расширения в PV- и TS- диаграммах

Р,МПа

V,м³

Р₁

Р₂

V₁

1

2_ад

2_из

2_п



Т,К

∆S,кДж/К

1

2_ад

2_из

2_п


процесс 1-2из – изотермическое сжатие; процесс 1 -2ад – адиабатное сжатие; процесс 1 – 2п – политропное сжатие

1. 
   В каком из процессов сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше?
   

В политроном процессе сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше, чем при изотермическом и адиабтном сжатии.

2. 
   Какое количество воды необходимо прокачивать через рубашку цилиндра при сжатии газа по изотерме и политропе, если температура воды при этом повышается на 20⁰?
   

Kоличество охлаждающей воды: М_Н2О = Q/(C_H2O*∆t):

- при сжатии по изотерме: М_Н2О = 40167233/(4190*20) = 479 кг.

- при сжатии по политропе: М_Н2О = 1200320/(4190*20) = 143 кг.

3. 
   Как изменится в вашем варианте задачи показатель адиабаты k = C_p/C_v, если учесть зависимость теплоёмкости газов от температуры?
   

Находим теплоёмкость смеси в промежутке температур t₁ – t₂ (например, при адиабатном процессе t₁ = 27⁰C; t₂ = 283⁰C):

(С_pN2)_t1^t2 = (C_p2N2*t₂ - C_p1N2*t₁)/(t₂ – t₁) = (1,0455*283 – 1,0392*27)/(283 – 27)= 1,046 кДж/(кг*К);

(С_pH2)_t1^t2 = (C_p2H2*t₂ - C_p1H2*t₁)/(t₂ – t₁) = (14,435*283 – 14,252*27)/(283 – 27) = 14,454 кДж/(кг*К);

С_рi – изобарная теплоёмкость азота и водорода при t₁ и t₂

C_pCM = m_N2*(С_pN2)_t1^t2 + m_H2*(С_pH2)_t1^t2

C_pCM = 0,2*1,046 + 0,8*14,454 = 11,772 кДж/(кг*К)

(С_vN2)_t1^t2 = (C_v2N2*t₂ – C_v1N2*t₁)/(t₂ – t₁) = (0,7502*283 – 0,7424*27)/(283 – 27)= 0,908 кДж/(кг*К);

(С_vH2)_t1^t2 = (C_v2H2*t₂ – C_v1H2*t₁)/(t₂ – t₁) = (10,302*283 – 10,128*27)/(283 – 27) = 10,320 кДж/(кг*К).

С_vi – изохорная теплоёмкость азота и водорода при t₁ и t₂

C_vCM = m_N2*(С_vN2)_t1^t2 + m_H2*(С_vH2)_t1^t2

C_vCM = 0,2*0,908 + 0,8*10,320 = 8,438 кДж/(кг*К)

k = C_pCM/C_vCM = 14,454/8,438 = 1,71.

Если учесть зависимость теплоёмкости от температуры, то в нашем случае коэффициент адиабаты увеличится.

Задача 2.

Водяной пар с начальным давлением Р₁ = 10МПа и степенью сухости Х₁ = 0,95 поступает в пароперегреватель, где его температура повышается на ∆t=250⁰С, после пароперегревателя пар изоэнтропно расширяется в турбине до давления Р₂ = 3,5 кПа. Определить (по h-s – диаграмме) количество теплоты (на 1 кг пара), подведённое в пароперегревателе, работу цикла Ренкина и степень сухости пара Х₂ в конце расширения. Определить также термический КПД цикла и удельный расход пара. Определить работу цикла и конечную степень сухости, если после пароперегревателя пар дросселируется до давления Р₁^* = 2,5 МПа. Изобразить схему паротурбинной установки и цикл Ренкина в p–V- и T–s- диаграммах.

Решение:

Задачу решаем при помощи hS- диаграммы.

Начальное состояние – точка 0 – на пересечении изобары Р₁ = 10 МПа и линии постоянной сухости Х₁ = 0,95. В этой точке энтальпия h₀ = 2670 кДж/кг, температура t₀ = 300⁰С. Состояние пара после пароперегревателя – точка 1 – на пересечении линии изобары Р₁ = 10 МПа и изотермы t = t₀ + ∆t = 300+250 = 550⁰С. В этой точке энтальпия h₁ = 3500 кДж/кг. Конечное

состояние пара – точка 2 – на пересечении изобары Р₂ = 3,5 кПа и линии постоянной энтропии. В этой точке энтальпия h₂ =2030 кДж/кг, степень сухости Х₂ = 0,785 . По таблицам для насыщенного водяного пара определяем при Р₂ = 3,5 кПа h₂¹ =111,86 кДж/кг[1].

Количество теплоты, подведённое к пару в пароперегревателе:

q = h₁ – h₀ = 3500 – 2670 = 830 кДж/кг.

Работа цикла Ренкина:

l₀ = h₁ – h₂ = 3500 – 2030 = 1470 кДж/кг.

Удельный расход пара:

d₀ = 3600/( h₁ – h₂) = 3600/(3500 – 2030) = 2,45кг/(кВт*ч).

Термический КПД цикла

η_t = (h₁ – h₂)/(h₁ – h₂¹ ) = (3500 – 2030)/(3500 – 111,86) = 0,434.

Пар после пароперегревателя дросселируется до давления Р₁^* = 2,5 МПа.

Промежуточное состояние пара – точка 2а – на пересечении линии постоянной энтальпии h₁ = 3500 кДж/кг и изобары Р₁^* = 2,5 МПа. Конечное состояние пара – точка 2 – на пересечении изобары Р₂ = 3,5 кПа и линии постоянной энтропии. В этой точке энтальпия h₂ =2210 кДж/кг, степень сухости Х₂ = 0,86 . По таблицам для насыщенного водяного пара определяем при Р₂ = 3,5 кПа h₂¹ =111,86 кДж/кг[1].

Количество теплоты, подведённое к пару в пароперегревателе:

q = h₁ – h₀ = 3500 – 2670 = 830 кДж/кг.

Работа цикла Ренкина:

l₀ = h_2а – h₂ = 3500 – 2210 = 1290 кДж/кг.

Удельный расход пара:

d₀ = 3600/( h₁ – h₂) = 3600/(3500 – 2210) = 2,79кг/(кВт*ч).

Термический КПД цикла

η_t = (h_2а – h₂)/(h₁ – h₂¹ ) = (3500 – 2210)/(3500 – 111,86) = 0,381.


0

t₁

h₀

t₀

s₁

1

X₁

h₁

s₂

P₂

h₂

2a

P₂’

2

X₂

X₂’

h₂’


Схема паротурбинной установки

1. 
   котёл; 2- пароперегреватель; 3- паровая турбина; 4 – конденсатор; 5- генератор; 6- насос.
   

Цикл Ренкина в p–V- и T–s- диаграммах.

1. 
   Как влияют начальная температура и давление перегретого пара, а также процесс дросселирования на величину конечной степени сухости пара х₂?
   

С повышением начального давления в паровом котле от р₁"′ до р₁′ при постоянной температуре перегрева t₁ и при постоянном давлении р₂ в конденсаторе уменьшается степень сухости пара на выходе из турбины.

При повышении температуры перегрева пара от t₁′ до t₁′" (при постоянных начальном р₁ и конечном р₂ давлениях) увеличивается конечная степень сухости пара (х₂)



Влияние давления (a) и температуры (б) пара на к.п.д. цикла Ренкина.

При дросселировании пара конечная степень сухости возрастает, что хорошо видно из h-S–диаграммы. 1-2 – процесс расширения пара без дросселирования; 1-2_а-3 – процесс расширения пара с промежуточным дросселированием.


2_a

h

P₁

P_др




1

P₂




3







2



S





X₂^*

X₂

2. 
   Какое следует выбрать давление промежуточного перегрева в вашем варианте задачи, чтобы в конце расширения пар имел степень сухости х₂=0,95? (в этом случае температуру промежуточного перегрева следует принять на 30^оС меньше начальной температуры t₁).
   

h

P₁

1

t₁

P_пер



t_пер



t₀

0

P₂

2_a a





2

X=1



X₂=Х₁= 0,95



S


Находим точку 2 – на пересечение линии Х₂ = 0,95 и изобары Р₂ = 3,5кПа. Из полученной точки проводим адиабату до пересечения с изотермой t_пер = t₁ – 30 = 550 – 30 = 520⁰С – точка 2_а. Изобара, проходящая через полученную точку – давление промежуточного перегрева Р_пер = 0,48 МПа.

3. Как влияет промежуточный перегрев на конечную сухость пара?

Конечная степень сухости пара повышается с введением промежуточного перегрева. Это хорошо видно из h-S - диаграммы, характеризующей процесс с промежуточным перегревом пара (Х₂^*).


Х₂

Х₂^*


Задача 3.

По горизонтально расположенной стальной трубе (λ = 20 Вт/(м*К)) со скоростью W₁ = 2,1 м/с течёт вода, имеющая температуру t_B = 170⁰С. Снаружи труба охлаждается воздухом, температура которого t_возд = 18⁰С, a давление 0,1 МПа. Определить: коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂ соответственно от воды к стенке трубы и от стенки трубы к воздуху; коэффициент теплопередачи k и тепловой поток q_l, отнесённый к 1 м длины трубы, если внутренний диаметр трубы равен d₁ = 190 мм, внешний – d₂ = 210 мм.

Решение:

1. 
   Определяем коэффициент теплоотдачи от воды к стенке трубы.
   

При t_B = 170⁰С определяем параметры воды[2] :

- коэффициент теплопроводности λ_ж1 = 0,679 Вт/(м*К);

- коэффициент кинематической вязкости ν_ж1 = 0,181*10^-6 м²/с;

- число Прандтля Pr_ж1 = 1,05.

Число Рейнольдса:

Re_ж1d1 = W₁*d₁ / ν₁ = 2,1*0,19/(0,181*10^-6) =2,20*10⁶.

Так как Re _ж1d1 = 2,20*10⁶ > 10⁴, режим движения воды – турбулентный, критериальное уравнение для определения числа Нуссельта (горизонтальная труба) имеет вид[1]:

Nu_ж1d1 = 0,021*Re_ж1d1^0,8*Pr_ж1 ^0,43 = 0,021*(2,20*10⁶)^0,6*1,05^0,43 = 137.

Коэффициент теплоотдачи:

α₁ = Nu _ж1d1*λ_ж1/d₁ = 137*0,679/0,19 = 489,6 Вт/(м²*К).

2. 
   Определяем коэффициент теплоотдачи от стенки трубы к воздуху
   

При t_возд = 18⁰С определяем параметры воздуха[1]:

- коэффициент теплопроводности λ_ж2 = 0,0253 Вт/(м*К);

- коэффициент кинематической вязкости ν_ж2 = 14,18*10^-6 м²/с;

- число Прандтля Pr_ж2 = 0,704.

Определяем число Грасгофа:

Gr_ж2d2 = g*d₂ ³*β*∆t/ν₂ ²,

∆t = t_в – t_возд = 170 – 18 = 152⁰C, β = 0,003436 K^-1.

Gr_ж2d2 = 9,81*0,21³*0,003436*152/(14,18*10^-6)² = 2,36*10⁸.

Для горизонтальной трубы критериальное уравнение для определения числа Нуссельта имеет вид[2]:

Nu _ж2d2= 0,05*(Gr_ж2d2*Pr_ж2)^0,25 = 0,05*(2,36*10⁸*0,704)^0,25 = 57.

Получаем

α₂ = Nu_ж2d2*λ_ж2 / d₂ = 57*0,0253/0,21 = 6,87 Вт/(м²*К)..

3. 
   Линейный коэффициент теплопередачи от воды к воздуху через цилиндрическую стенку:
   

k =1/ [1/(d₁*α₁)+ (1 / 2λ)*ln(d₂/d₁) +1/(α₂*d₂)),

где d₁ – внутренний диаметр трубы;

d₂ – наружный диаметр трубы;

λ – коэффициент теплопроводности материала трубы, λ = 20 Вт/(м*К).

k =1/ [1/(0,19*489,6)+ (1 / 2*20)*ln(0,21/0,19) +1/(6,87*0,21)) = 1,42 Вт/(м*К).

Тепловой поток, отнесённый к 1 м трубы:

q_l = k*π*( t_в – t_возд) = 1,42 * 3,14*(170 –18) = 677,74 Вт/м.

Ответы на вопросы:

1. 
   Какой режим течения внутри трубы в вашем варианте задачи?
   

Режим течения воды внутри трубы – турбулентный.

2. 
   Какой режим движения окружающего трубу воздуха?
   

Режим движения окружающего трубу воздуха – свободный конвективный.

3. 
   Почему можно при расчёте принять равенство температур наружной поверхности трубы и воды?
   

Так как стенка трубы имеет небольшую толщину и высокий коэффициент теплопроводности, можно при расчёте принять равенство температур наружной поверхности трубы и воды.

Литература.

1. 
   Рабинович О.М. Сборник задач по технической термодинамике. – М.:Машиностроение,1973. – 344 с.
   

2.Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1980.