ТАУ лекции ч4. 8 Устойчивость линейных систем автоматического управления 1 Анализ устойчивости сау по корням характеристического уравнения
![]()
|
8 Устойчивость линейных систем автоматического управления8.1 Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравненияСвойства устойчивости проявляются в способности линейной системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе импульсного входного воздействия. Иными словами, при оценке устойчивости САУ рассматривается ее «свободное» движение, независимое от внешних воздействий. Понятие устойчивости системы не распространяется на нелинейные системы. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная. Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений. Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме: ![]() ![]() ![]() Для замкнутой системы: ![]() ![]() ![]() ![]() С учетом введенного понятия устойчивости для ее анализа необходимо рассматривать только собственное движение системы, определяемое однородным дифференциальным уравнением ![]() ![]() Рассмотрим замкнутую систему. Если подать на ее вход импульсное воздействие ![]() ![]() Рассмотрим составляющую весовой функции, обусловленную i-м корнем: ![]() ![]() Пусть ![]() корень). Если ![]() ![]() возрастает, смотри рисунок: То есть, если хотя бы одно звено "расходящееся", то вся система - неустойчива. Если ![]() ![]() ![]() Если все корни характеристического уравнения ![]() ![]() Е ![]() ![]() при всех остальных отрицательных ![]() то система - "безразличная": В случае пары комплексных корней, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если вещественная часть комплексных корней отрицательна ( ![]() Если ![]() Е ![]() ![]() ![]() ![]() Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива. Весовая функция такой системы есть убывающая к нулю зависимость. Физически это означает, что по окончании импульсного внешнего воздействия устойчивая система возвращается в первоначальное состояние. Распространение устойчивости на линеаризованные системы. 1892г. Ляпунов А.М. Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения математической модели системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой. Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой. Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков. Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего математической модели исследуемой системе. Критерии устойчивостиРазличают алгебраические и частотные критерии. Алгебраические: критерий Гурвица. Частотные: критерий Михайлова; критерий Найквиста. 8.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.На основании характеристического уравнения системы ![]() ![]() строится определитель Гурвица (при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны. Диагональные миноры: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения. Здесь и ниже использовано свойство идентичности операторных форм уравнений системы (в операторах Лапласа s и дифференцирования p). Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения. Пример 3. Система третьего порядка; n = 3. ![]() Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: ![]() О критическом коэффициенте усиления![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Неравенство ![]() ![]() Откуда ![]() ![]() Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство К < KКРИТ . (Более правильнее было бы вести все выкладки в операторах р). 8.3 Частотные критерии устойчивостиОснованы на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) ![]() Первоначально рассмотрим принцип аргумента. Принцип аргументаПолином ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням. 1 ![]() Значит, находятся на вещественной оси. При изменении от 0 до ![]() аргумент (угол вектора ![]() ![]() ![]() 2) В случае пары комплексных корней при изменении от 0 до ![]() для правых корней ![]() ![]() ![]() для левых корней ![]() ![]() ![]() В целом приращение аргумента ![]() ![]() Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0). Тогда система будет устойчива, если при изменении от 0 до ![]() ![]() ![]() Критерий устойчивости Михайлова (1936)Характерной особенностью данного критерия является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы: ![]() ![]() Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова ![]() ![]() ![]() Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы. ![]() Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении. ![]() Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно. ![]() Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1. Следствие из критерия Михайлова: ![]() Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались. Если корни не перемежаются, то система неустойчива. Если характеристическое уравнение ![]() 8.4 Частотный критерий устойчивости НайквистаЧастотный критерий Гарри Найквиста (1936) дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) ![]() ![]() ![]() Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией ![]() ![]() ![]() Рассмотрим вспомогательную операторную функцию ![]() ![]() Пусть порядок полинома ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Все корни ![]() Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев. Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива. ![]() ![]() ![]() Применим к ![]() ![]() ![]() ![]() При устойчивой замкнутой системе приращение ![]() Получили кривую ![]() ![]() Если учесть, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точка ( ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении ![]() ![]() ![]() На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии. ![]() Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы. На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии. ![]() ![]() При ![]() ![]() Если ![]() Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива. Полином ![]() ![]() Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении от 0 до ![]() ![]() ![]() ![]() Передаточная функция разомкнутой системы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Начальный радиус точки при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые корни, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до ![]() ![]() Дополнением является дуга с ![]() ![]() Обобщенная формулировка критерия Найквиста Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до ![]() ![]() ![]() ![]() Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если m1=0 (в разомкнутой системе все корни левые). 8.5 Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)Это разновидность частотного критерия Найквиста, позволяющего выяснить устойчивость системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии (или нейтральной), необходимо и достаточно, чтобы критическая частота, соответствующая переходу ЛФХ через линию (-1800) была больше, чем частота среза. ![]() ![]() ![]() Общая формулировка логарифмического критерия: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() О применении критериев устойчивостиЕсли имеется дифференциальное уравнение системы в канонической форме или операторное уравнение вида ![]() ![]() ![]() ![]() Частотные критерии предпочтительнее, когда имеются соответствующие частотные характеристики. Частотные характеристики применяются при исследовании систем, которые невозможно описать дифференциальными уравнениями (черный ящик). При необходимости экспериментальной оценки устойчивости реальной САУ (например, "черного ящика") следует использовать только частотные критерии. В этом случае эксперимент существенно более безопасен. Он проводится на разомкнутой системе, которая в большинстве случаев устойчива. |