Лекция 3а продолжение 3_НАПРАВЛЯИЩИЕ_СИСТЕМЫ. А электромагнитные волны в направляющих системах понятие о волноводах и объемных резонаторах

• Название: А электромагнитные волны в направляющих системах понятие о волноводах и объемных резонаторах
• Дата: 26.03.2019
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: Лекция 3а продолжение 3_НАПРАВЛЯИЩИЕ_СИСТЕМЫ.docx
• Тип: Глава; #71647
• страница: 2 из 4

4.3. Волновое сопротивление волновода. Фазовая и групповая скорости.
Под волновым сопротивлением волновода Z_BBпонимают отношение комплексных значений взаимно перпендикулярных составляющих E и H. Так, для основной волны H₁₀:

(4.22)

Зависимость Z_BB от для H-волны изображена на рис. 4.5, a(для волны H₁₀λ_кр = 2а, а для Е-волны - на рис. 4.5, в.



Рисунок 4 5
Скорость перемещения по волноводу неизменного фазового состояния бегущей волны е^j(ωt-k_p^τ)'¹⁰’ принято обозначать v_ФВ. Чтобы определить ее, надо продифференцировать j ωt-k_pz по t и учесть, что производная от постоянной величины равна нулю, Получим:

(4.23)

Скорость v_ФВ направлена под углом к оси волновода.

Зависимость v_ФВ от частоты называют дисперсией. Так как , то v_ФВ больше скорости света v_c. Энергия вдоль оси волновода распространяется с групповой скоростью Величины v_ФВ и v_ГР можно сопоставить, соответственно, со скоростью смыкания кромок ножниц и скоростью движения навстречу друг другу рукояток этих ножниц. Рисунок 4.5, б иллюстрирует связь между длиной волны в свободном пространстве λ_с = v_c/f, c длиной волны в волноводе λ_B = v_ФВ/f и групповой длиной волны λ_rp= v_rp/f; λ_гр представляет собой расстояние, на которое распространяется энергия вдоль оси волновода за одно колебание; λ_Bλ_ГР = λ_С²,, и v_ФВv_rp= v_с².

Для определения мощности Р, переносимой электромагнитной волной распространяющейся по волноводу, следует подсчитать поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение волновода.

В случае основной волны Н₁₀:



Для волны H_mn:



Рассмотрим влияние нагрузки на конце волновода на характер волновых процессов в нем.

Если сопротивление нагрузки на конце волновода не будет равно Z_ВВ,то в волноводе кроме падающей возникает и отраженная волна. Если волновод на конце будет открыт, то часть мощности, переносимой падающей волной, будет излучаться в окружающее пространство, часть отразится обратно в волновод. Если на конце волновода поместить решетку из проводящих стержней (проволок), то влияние решетки на возникновение отраженной волны зависит от того, как расположены стержни (продольно или поперечно) по отношению к вектору Е волны. Когда стержни будут параллельны вектору Е, то в них возникают токи и большая часть падающей волны отражается обратно в волновод. Когда стержни решетки перпендикулярны линиям Е на конце волновода, они мало влияют на излучаемую мощность. Если на конце волновода установить сплошную металлическую перегородку, то это будет соответствовать режиму короткого замыкания на конце волновода. В этом случае вдоль волновода возникает стоячая волна с удвоенным значением Н на конце волновода.

Согласованную нагрузку на конце волновода при небольших мощностях конструктивно выполняют, помещая в конце волновода клинообразную диэлектрическую пластику, покрытую тонким проводящим слоем (например, графитом). В этом случае отраженная волна почти отсутствует за счет клинообразной формы пластинки.
4.4. Компоненты Е-волны в прямоугольном волноводе.
Волна Е_тт„ имеет Е-компоненты по осям x,y,z и Н-компоненты по осям х и у:















Рисунок 4.6
Простейшим представителем Е-волн является волна Е₁₁. На рис. 4.6, а в трех проекциях изображена картина поля для волны Сплошные линии соответствуют линиям Е, пунктирные, а также точки и крестики - линиям Н. На рисунке 4.6, 6 изображена объемная картина поля. Линии Е замыкаются по стенкам волновода. Мощность, передаваемая волной типа Е_тп определяется по формуле:



Коэффициент β/k для E-волны подсчитывается по тому же выражению, что и для H-волны.
4.5. Аналогия между волноводом и линией с распределенными параметрами.
Измерение комплексного сопротивления нагрузки волновода. Между волноводом и линией с распределенными параметрами имеет место формальная анаяогия. Действительно, для х и у компонентов волн E и Н, распространяющихся вдоль оси волновода z, справедливы уравнения d²E/dz²= k_p² Ё и d²Н /dz² = k²Н. Аналогичного вида уравнения справедливы для волн напряжения U и тока I для однородной линии с распределенными параметрами, распространяющихся вдоль оси z: d²U/dz² = y²U и d²I/ dz^l= у² I. Сходными величинами и соотношениями в линии и в волноводе являются соответственно: (последнее для волны H_[10).

Аналогию используют в различных целях, например для выяснения влияния неоднородностей в волноводах (перегородок, решеток, диафрагм, клиньев, открытого конца) на распространение волн на некотором удалении от неоднородностей; на работу источника питания и для других целей. Для выяснения влияния неоднородностей составляют схему замещения, в которой волновод замещен линией с распределенными параметрами, а неоднородность или нагрузка волновода представлена в виде отрезка новой линии или в виде нагрузки на конце линии.

Измерение комплексного сопротивления нагрузки волновом осуществляют с ломошью схем рисунка 4 7, а и б. В них I - генератор, 2 - аттенюатор (ослабитель), 3 - измерительная линия с волновым сопротивлением Z_BB, вдоль широкой стенки которой сделана узкая прорезь для измерения Е. На рисунке 4.7, а на конце измерительной линии поставлена заглушка 4' На рисунке 41.6 4" - несогласованная нагрузка, которую надо измерить, 5 - согласованная с Z_BB нагрузка. Последняя нужна для того, чтобы от нагрузки 4" в измерительной линии 3 в схеме рисунка 4.7, б не было отраженных волн.Сначала градуируютустановку по схеме рисунка 4.7. а в режиме короткого замыкания В волноводе 3 возникает стоячая волна Е. С помощью аттенюатора устанавливают максимальное показание измерительное прибора 4 в точке, где Е = Е_тзх

Затем определяют координату z = z₀ (около середины линии 3), в которой E = E_mm (рисунок 4.7, в) и длину λ_В/2 между двумя минимумами После этого заглушку 4' снимают и перехода в схеме рисунка 4.7, б При этом в измерительной линии возникает смешанная волна (рисунок 4.7, г) Для нее определяют коэффициент стоячей волны k_св⁼E_max/E_mln и расстояние Δz, на которое сместится E_mln по сравнению с координатой z₀ в предыдущем опыте, Δz > 0, если E_mln сместится в сторону генератора, и

Δz < 0, если oт генератора.



Рисунок 4.7
Комплексное сопротивление нагрузки 4^// Z_H = R_Н + JХ_Н .


Исходным для вывода этих выражений являются формулы дая входного сопротивления линии с распределенными параметрами без потерь - один раз при КЗ , а другой, котла она нагружена на R_Н + JХ_Н .
4.6. Граничные условия Леонтовича.
При расчете поля в волноводе было принято, что стенки его имеют проводимость у → ∞. В действительности у конечна, поэтому в стенках волновода есть потери энергии, которые подсчитывают следующим образом. Сначала определяют Н_х и Н_у на стенках волновода, считая у → ∞ и Е_х = Е_у = 0. Затем по найденным значениям Н_х и Н_у определяют приближенные значения Е_ги Е_у на стенках, полагая, что γ конечна и для стенок . Тогда для волны Н₁₀:

(a)

Два последних соотношения называют граничными условиями Леонтовича, Поясним их. На рисунке 4.8, а показана поверхность стенки волновода. Оси декартовой системы (местной системы координат) расположены так,,что ось z (орт ] направлена вглубь стенки. Составляющие векторов и , образующие поток вектора вглубь стенки, в общем случае имеют х, у и z компонеты:

(б)

и связаны соотношением (в) для точек проводящей среды (на стенках волновода):

(в)

Подставляя (6) в (в) и сопоставляя слагаемые с одинаковыми ортами, получаем (а). Потери в стенках равны потоку вектора Пойнтинга внутрь стенок.

Действительная часть Z_B, равная , представляет собой резистивное сопротивление единицы длины и ширины тонкого поверхностного слоя (скин-слоя) стенок волновода, в котором течет ток проводимости и создает потери. Потери на единицу площади стенок волновода можно записать в виде Здесь компонента на внутренней стенке волновода, лежащая в плоскости х0у, перпендикулярной оси волновода.



Рисунок 4.8
Потери ΔР на один метр длины волновода равны:

.

Активную мощность на входе отрезка волновода длиной один метр назовем P₁, мощность на выходе этого отрезка Р₂ = Р₁ ΔР. Р₁ равна потоку вектора Пойнтинга по внутренней полости волновода вдоль оси z:



Затухание а определим из соотношения:



При Следовательно,



Единицей измерения затухания α является 1.м или дБ/м.



Ниже приведены формулы для подсчета затухания основных типов волн в Прямоугольном волноводе с воздушным заполнением. Формула (г) для волны H₁₁, формула (д) для волны H₁₀ формула (е) для волны E₁₁. Следует иметь ввиду, что для волн H₁₁ и E₁₁ , для волны H₁₀ = 2а. Обозначим

(г)

(д)

(е)

На рисунке 4.8, б в качестве примера изображены зависимости затухания а от частоты / для трех типов волн волновода с поперечными размерами а = 7,2 см, 6 = 3,4 см.

В заключение несколько слов о том, как следует выбирать размеры поперечного сечения прямоугольного волновода при известной частоте генератора f =v_c/λ Исходят из того, что волновод должен обеспечивать в волноводе существование одночастотного режима и возможность передавать по нему достаточно большую мощность при относительно небольших потерях в стенках. Волновод будет удовлетворять этим требованиям при выполнении следующих условий:



Этот диапазон значений λ называют рабочим диапазоном. Коэффициентам перекрытия рабочего диапазона называют отношение максимального значения λ к минимальному. Для прямоугольного волновода он равен 1,5.

Для круглого волновода, рассматриваемого в п. 4.8, рабочий диапазон определяют из соотношения 2,61R< λ <3,41R. В этом случае коэффициент перекрытия равен 1,3.
4.7. Запредельный волновод.
За счет того, что при конечной у на стенках волновода значения Е_х и Е_у хотя и малы, но все же не равны нулю, картина поля в волноводе несколько отлична от картины поля при у → ∞.. Практически оказывается, что энергия может передаваться по волноводу и при ω ˂ ω_КР (до некоторой частоты ω₁,). При этом Z_BB оказывается комплексным числом. Волновод, работающий при ω ˂ ω_КР (до некоторой частоты ω₁), называют запредельным, его используют как ослабитель. Коэффициент затухания около 2π/λ_КР При ω ˂˂ ω₁, структура (характер) поля в волноводе отличается от случая ω ˃ ω₁. Поле Е-волны приобретает тип электростатического поля, поле Н-волны - тип магнитостатического поля (магнитного поля постоянного тока). Эти поля рассчитывают методом зеркальных изображений относительно стенок (зарядов или токов, соответственно).

4.8. Круглый волновод.
В нем, как и в прямоугольном волноводе, могут существовать и Н и Е вопны. Только теперь решать уравнения или следует в цилиндрической системе координат, где координатами являются r, , z (рисунок 4.9) Через R обозначим радиус внутренней стенки волновода Рассмотрим сначала tf-волны //-полна имеет компоненты . Уравнение относительно . имеет вил:

(4.25)



Рисунок 4.9
В соответствии с методом разделения переменных представим в виде произведения двух функций Х(r) и Y(α), а то обстоятельство, что волна движется вдоль оси учтем в дальнейшем множителем е ^kрz, где

k_p =jF, при всех проекциях Н и Е. Решение (4.25).

(4.26)

Подставим (4.26) в (4.25). разделим полученное уравнение на ХУ и умножим на r² Получим:

(4.27)

Так как функции X и У независимы, то (4.27) распадается на два уравнения:

(4.28)

(4.29)

Решение (4.28):



Повернем систему координат на угол φ. Тогда

Уравнение (4.29) является уравнением Бесселя. Его решение:



где Н₀ - постоянная, a J_n - бесселева функция n-го порядка от действительного переменного .Каждая из функций представляет собой колебательно затухающую кривую, несколько раз проходящую через нулевое значение при различных значениях аргумента.

Таким образом.

(4.30)

На внутренней стороне волновода должна отсутствовать , следовательно, Отсюда следует, что:

(4.31)

Функция также несколько раз проходит через нулевое значение аргумента , при которых проходит через нуль, обозначим М_nт, п соответствует порядку бесселевой функции, a m - номеру корня при возрастании аргумента.

Таблица 4.1



В таблице 4.1 приведены значения М_nтпри нескольких nиm.

Частоту ω, при которой назовем критической, тогда , где

(4.32)

(4.33)

При

Введем обозначение:

(4.34)

Тогда

(4.35)

Волновое сопротивление для Н-волны:

(4.36)

Таким образом:

n

Из уравнений Максвелла, записанных в цилиндрической системе координат, с учетом того, что у Н-волны Е_Z = 0, следует:









В круглом волноводе основной волной является Н_11. Неосновные волны Н₂₁, Н₁₂ и др. Запишем составляющие волны Н₁₁:



Картина поля волны Н₁₁ изображена на рисунке 4.10. Фазовая скорость:

(4.38)

Групповая скорость:

(4.39)

Длина волны в волноводе:

(4.40)

Здесь и , - соответственно длина волны и скорость света в свободном пространстве с параметрами Е_а И Групповая длина волныЗдесь li_t и v, - соответственно длина волны и скорость света в свободном пространстве с параметрами Е_а И

Групповая длина волны:

(4.41)

Переносимую волной Н11 мощность определяем по формуле (а):

(a)

Рассмотрим Е-волны Е-волиа имеет компоненты Е_г, ,Е_r , Е_α и Н_r, H_а Решение, аналогичное решению для H-волны, дает:

(4.42)

На внутренней стенке волновода . Отсюда следует уравнение:

(4.43)


Рисунок 4.10
Как уже говорилось, функция J_n, при изменении несколько раз проходит через нуль. Корни уравнения (4.43) обозначим N_тm. Как и для Н-волны, индекс п соответствует порядку бесселевой функции, а т - номеру корне в порядке возрастания аргумента В таблице 4.2 приведены значения N_nm при нескольких n и т.









Для Е-волны волновое сопротивление:

Z (4.44)

Основной является Е₀₁.Компоненты этой волны:

(4.45)

Поле волны Е₀₁ не зависит от угла α. Объемная картина поля для некоторого момента времени изображена на рисунке 4.11.

Таблица 4.2





Рисунок 4.11