Оценка неопределенности. Расчет неопределенностей результата. А. Г. Черевко Расчет неопределенностей результата измерений в физическом эксперименте Учебное пособие
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
X Q X Q X Q X Q n i Xi i Q (А) где i X Q ∂ ∂ – значение частной производной величины Q по аргументу Х, рассчитанное при значении Х равном показанию го средства измерения Х – абсолютная неопределенность i -го средства измерения. Освоим расчет неопределенности косвенных измерений с однократными наблюдениями на конкретных примерах. Задача 1. Неопределенность суммы и разности нескольких измерений. Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению Z Y X Q − + = . (1.1) Неопределенности прямых измерений равны Z Y X , , Δ Δ Δ , соответственно. Неопределенность результата измерения. Согласно формуле (А, получаем 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 В результате неопределенность равна ( ) 2 2 2 Z Y X Z Y X Δ + Δ + Δ = Δ − + (1.2) Относительная неопределенность равна ( ) ( ) 100 100 2 2 2 ⋅ − + Δ + Δ + Δ = ⋅ − + Δ = δ − + Z Y X Z Y X % Z Y X Q Z Y X (1.3) Вывод абсолютная неопределенность результата при суммировании и вычитании физических величин определяется как корень квадратный из суммы квадратов абсолютных неопределенностей исходных величин. Задача 2. Неопределенность при масштабировании. Масштабированием называется умножение функции на постоянный коэффициент, который обозначим Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению Z Q ⋅ β = . (2.1) Неопределенность прямых измерений равна Неопределенность результата измерения. Согласно формуле (А, получаем 2 2 2 В результате получаем для неопределенности Z Z Δ ⋅ β = Δ β (2.2) Относительная неопределенность равна 13 ( ) ( ) % Z % Z Z Z δ = ⋅ β Δ = δ β β 100 (2.3) Вывод относительная неопределенность при масштабировании не изменяется. Примечание. Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению Z Y X Q β − + = . (2.4) Неопределенности прямых измерений равны Z Y X , , Δ Δ Δ , соответственно. Неопределенность результата измерения. Согласно формуле (А, получаем 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 В результате неопределенность равна ( ) 2 2 2 2 Z Y X Z Y X Q Δ β + Δ + Δ = Δ = Δ β − + (2.5) Относительная неопределенность равна ( ) ( ) Z Y X Q % Z Y X Q Z Y X β − + Δ β + Δ + Δ ⋅ = Δ ⋅ = δ β − + 2 2 2 2 100 100 (2.6) Задача 3. Неопределенность произведения. Определить неопределенность и относительную неопределенность результата измерения мощности ( P ) постоянного тока, выделяемой на сопротивлении, если напряжение, измеренное вольтметром, равно (U = 100 Ваток, измеренный амперметром, равен (I = 2 А. Неопределенность прямого измерения напряжения равна U Δ = 1,5 В, а тока – I Δ = 0,02 А. Записать результат измерения. Измерение мощности является косвенным измерением. Мощность рассчитывается по формуле I U P ⋅ = . (3.1) Измеренная мощность равна I U P ⋅ = = 2 100 ⋅ =200 Вт. Для расчета неопределенности измерения мощности следует воспользоваться соотношением (А. В нашем случаев роли Q выступает мощность P , в роли величины 1 X выступает напряжение U , а в роли величины 2 X – ток I . Первый путь расчета неопределенностей измерения мощности. Для нашего случая формула (А) принимает вид ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Таким образом, 2 2 2 2 I U I U P U I Δ ⋅ + Δ ⋅ = Δ = Δ ⋅ , (3.2) отсюда неопределенность равна I U P ⋅ Δ = Δ = 2 2 2 2 02 0 100 5 1 2 , , ⋅ + ⋅ = 3,6 Вт. Относительная неопределенность равна ( ) 100 200 6 3 100 , P % P P = Δ = δ =1,8 % Второй путь расчета неопределенностей. Получим формулу для относительной неопределенности произведения ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I U I U I U I U P P I U I U U I I U U I P δ + δ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Таким образом, ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % I U I U P δ + δ = δ = δ ⋅ . (3.3) В результате ( ) ( ) 2 2 100 2 02 0 100 100 5 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = δ = δ ⋅ , , % % I U P =1,8%, что совпадает со значением, полученным первым путем расчета. Зная относительную неопределенность можно рассчитать неопределенность измерения мощности ( ) P % P P 100 δ = Δ , (3.4) отсюда ) 200 100 8 1 100 , P % P P = δ = Δ =3,6 Вт, что совпадает со значением, полученным первым путем расчета. Результат измерения Вт Вт 200 , , P ± = ; % 8 Вт 200 , , P ± = . (3.5) При записи результата измерения учтено, что значение измеряемой величины и неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому форма записи мощности не 200, а 200,0. При этом неопределенность содержит не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону. Сравнивая два пути расчета неопределенности видно, что последний путь расчета проще. Вывод относительная неопределенность произведения равна корню квадратному из суммы квадратов относительных неопределенностей сомножителей. Задача 4. Неопределенность частного. Определить неопределенность и относительную неопределенность результата измерения сопротивления (R), если напряжение на сопротивлении, измеренное вольтметром, равно (U=100 Ваток, измеренный амперметром, равен (I = 2 А. Неопределенность прямого измерения напряжения равна U Δ = 1,5 В, а тока – I Δ = 0,02 А. Записать результат измерения. Измерение сопротивления является косвенным измерением, поскольку результат рассчитывается по соотношению (4.1). Согласно закону Ома сопротивление равно I U R = . (4.1) Значение сопротивления равно 2 100 = = I U R = 50 Ом. Для расчета неопределенности измерения сопротивления следует воспользоваться соотношением (А. В нашем случаев роли Q выступает сопротивление, в роли величины 1 X выступает напряжение U , а в роли величины 2 X – ток Первый путь расчета неопределенностей измерения сопротивления. Для нашего случая формула (А) принимает вид ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Таким образом, 2 2 2 2 2 1 I U I U R I U I Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ = Δ , (4.2) отсюда неопределенность измерения сопротивления равна 2 2 2 2 2 02 0 2 100 5 1 2 1 , , I U R ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ = Δ =0,9 Ом. Относительная неопределенность равна ( ) 100 50 9 0 100 , R % R R = Δ = δ =1,8 % Второй путь расчета неопределенностей. Получим формулу для относительной неопределенности частного ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 I U I U I U I U R R I U I / U I U I I / U I U I R δ + δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Таким образом, ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % I U I / U R δ + δ = δ = δ . (4.3) В результате ( ) ( ) 2 2 100 2 02 0 100 100 5 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = δ = δ , , % % I U R =1,8%, что совпадает со значением, полученным первым путем расчета. Зная относительную неопределенность можно рассчитать неопределенность измерения сопротивления ( ) 50 100 8 1 100 , R % P R = δ = Δ =0,9 Ом, что совпадает со значением, полученным первым путем расчета. Результат измерения Ом , Ом , R 9 0 0 50 ± = ; Ом 1 0 50 ± = . (4.4) При записи результата измерения учтено, что значение измеряемой величины и неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому форма записи сопротивления не 50, а 50,0. Кроме того, неопределенность должна содержать не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону. Сравнивая два пути расчета неопределенности видно, что последний путь расчета проще. Вывод относительная неопределенность частного равна корню квадратному из суммы квадратов относительных неопределенностей делимого и делителя. Таким образом, относительная неопределенность произведения и частного находятся аналогичным образом. Примечание. Найдем неопределенности функции Y X F β = , (4.5) где β – коэффициент. Согласно (2.2) Y X Y X Δ ⋅ β = Δ β Тогда из) для неопределенности получаем 2 2 2 2 2 1 Y X Y X F Y X Y Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ β = Δ = Δ β . (4.6) Согласно (2.3) ( ) ( Тогда из) для относительной неопределенности получаем ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % Y X Y X F δ + δ = δ = δ β . (4.7) Задача 5. Неопределенность соотношения, включающего степенную функцию. Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению n m Y Z X Q ⋅ = . (5.1) Неопределенности прямых измерений Z Y X , , Δ Δ Δ , соответственно. Применяя соотношение (А) для неопределенности получаем 17 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Отсюда неопределенность равна 2 2 2 2 2 2 Z Y X Y Z X Z Q m Y Q n X Q n m Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ (5.2) Относительная неопределенность. Преобразуем предыдущее соотношение, разделив правую и левую его части на Q. В результате получаем относительную неопределенность ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 Z Y X Z Y X Q Q m n Z m Y n X Q δ + δ + δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = Δ = δ ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 % m % n % % Z Y X Y Z X n m δ + δ + δ = δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ (5.3) Задача 6. Неопределенность измерения сопротивления методом вольтметра – амперметра. Определить погрешность и записать результат измерения сопротивления ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = I U R методом вольтметра – амперметра, если класс точности вольтметра 0 1, V = γ , класс точности амперметра 0 2, I = γ . Показание вольтметра П =200 В, показание амперметра ПА. Верхние пределы измерений вольтметра U max =300 В, амперметра I max =5 А. 6.1. Анализ метода измерения. Измерения косвенные, поскольку сопротивление вычисляется по формуле (по закону Ома. Токи напряжение определяется из прямых измерений. 6.2. Вычисление сопротивления и неопределенностей его измерения. 6.2.1. Определяем значение сопротивления ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = I U R = 200/4 = 50 Ом. 6.2.2. Определяем неопределенность прямых измерений. Неопределенность рассчитывается из класса точности амперметра и вольтметра и равна 300 100 0 1 100 ⋅ = ⋅ γ = Δ , U max U U =3,0 В. 10 0 5 100 0 2 100 , , I max I I = ⋅ = ⋅ γ = Δ А. Значение неопределенности (абсолютной) неизменно по всей шкале прибора. Значение неопределенности должно содержать две значащих цифры, т.к. класс точности прибора содержал две значащих цифры. Поэтому значение неопределенности записывается Δ U = 3,0 Ване Ване А. Относительная неопределенность равна ( ) ( ) % , , % % , U % П I П U U 5 2 100 4 1 0 100 5 1 100 200 Результата измерения тока и напряжения % , В , U ; В , В , U П П 5 1 0 200 0 3 0 200 ± = ± = ; % , A , I ; A , A , I П П 5 2 00 4 10 0 00 В записи результата измерения значение измеряемой величины и абсолютная неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому для напряжения пишется не 200 В, а 200,0 В, а для тока не 4 А, а 4,00 А. Определяем неопределенности косвенных измерений. Выражение для сопротивления ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = I U R не содержит операций суммирования и вычитания. Поэтому целесообразно воспользоваться результатами решения задачи. Сначала следует вычислить относительную неопределенность измерения сопротивления, а по ней определить абсолютную неопределенность. Относительная неопределенность равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) % , , , % % % I U R 9 2 5 2 5 1 2 2 2 Неопределенность измерения сопротивления равна Ом 1 100 9 2 50 , , R R R = ⋅ = δ ⋅ = Δ . Округляя до двух значащих цифр, получаем Ом. В результате расчета неопределенности получили три значащих цифры, ноне- определенность должна содержать две значащих цифры, поэтому результат округлили до двух значащих цифр. 6.3. Запись результата измерения сопротивления. % , Ом , R ; Ом , Ом , R 9 2 0 50 5 1 Числовые значения измеренной величины и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов. Поэтому для сопротивления приведено значение 50,0 Омане Ом. Задача 7 Неопределенность измерения при вращательном движении. Рассмотрим расчет результата измерения момента инерции J маятника Обербе- ка, раскручиваемого под действием навески массой г, которая движется с ускорением 2 см. Радиус шкива маятника равен мм. Время падения навески с высоты м 0 = составляет Неопределенность прямых измерений массы навески m равна г, радиуса шкива мм 0 = Δ , времени падения c , t 01 0 = Δ , высоты падениям Момент инерции и ускорение маятника рассчитываются по формулам a r ) a g ( m J 2 ⋅ − = , (7.1) 2 2 t H a = . (7.2) 7.1. Анализ метода измерения. Измерения момента инерции и ускорения являются косвенными, поскольку результат определяется по формулами, соответственно. Измерения массы, высоты и времени являются прямыми измерениями. 7.2. Вычисление значения момента инерции и неопределенностей его измерения. Переменными в выражении для J являются m , r , a . Неопределенность прямых измерений r , m задана. Неопределенность ускорения необходимо рассчитать. Расчет неопределенностей измерения ускорения. Неопределенность можно рассчитать дифференцированием в соответствии с формулой (А, номы используем результаты, полученные при решении предыдущих задач. Формула (7.2) представляет собой частный случай, соотношений рассмотренных в задачах 4 и 5. Поэтому для расчета следует воспользоваться формулами (4.7) и (5.3) согласно которым ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 2 2 % % % % t H t H a δ + δ = δ = δ (7.3) Относительная неопределенность измерения высоты падения ( ) % , , , H % H H 2 1 100 9 0 01 0 100 = = Δ = δ , результат округлили до двух значащих цифр в большую сторону. Относительная неопределенность измерения времени падения ( ) % , , t % t t 4 3 100 3 01 0 100 = = Δ = δ , результат округлили до двух значащих цифр в большую сторону. В результате ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , , , % % % % t H t h a 9 6 4 3 4 2 1 2 2 2 2 2 2 Результат расчета округлили до двух значащих цифр в большую сторону. Абсолютная неопределенность ускорения равна 20 2 35 0 5 100 9 6 см. Расчет неопределенности момента инерции. Соотношение (7.1) аналогично соотношению (5.3), рассмотренному в задаче 5, только в нашем случае не 2, а три сомножителя в числителе. Это приведет к еще одному члену в формуле для относительной неопределенности. В результате получаем ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 2 2 % % % % % r a a g m J δ + δ + δ + δ = δ − (7.4) В этом соотношении ( ) % , m % m m 4 3 100 300 1 100 ≈ = ⋅ Δ = δ ; ( а 6 = δ ( ) ( ) % , , , a g % a a g 2 7 100 5 8 9 35 0 100 ≈ − = ⋅ − Δ = δ − ; ( ) % , , r % r r 0 5 100 10 5 0 В результате относительная неопределенность измерения момента инерции маятника Обербека равна ( ) % , , , % J 26 5 4 9 6 2 7 4 3 2 2 Значение момента инерции маятника рассчитаем по формуле (7.1), переведя все величины в основные единицы системы СИ. В результате получим ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 10 88 2 5 10 10 5 8 9 3 0 м кг , , , a r a g m J ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ − = − − Неопределенность (абсолютная) момента инерции равна 2 3 3 10 74 0 10 88 2 100 26 мкг. Результат измерения. % м кг , J ; м кг , м кг , J 26 10 88 2 10 74 0 10 88 2 2 3 2 3 2 Числовое значение измеренной величины и неопределенность оканчиваются цифрами одинаковых разрядов. Задача 8. Неопределенность измерения работы выхода электрона из металла. Согласно формуле Ричардсона-Дэшмана для анодного тока диода в режиме насыщения следует, что работа выхода может быть вычислена по соотношению ( ) 1 2 2 1 1 эВ, (8.1) где КДж 10 38 1 − ⋅ = – постоянная Больцмана, Кл , e 19 10 6 1 − ⋅ = – элементарный заряди температура металлической нити накала, при которой анодный ток равен 1 I и 2 I , соответственно. Температура рассчитывается исходя из сопротивления нити накала 21 ( ) 273 1 1 0 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − α = Н Н R R К T , (8.2) где α – температурный коэффициент сопротивления материала катода, для вольфрама КВ нашем случае сопротивление нити накала при нуле градусов Цельсия Ом , R Н 2 Параметры цепи накала Сопротивление нити накала измеряется методом вольтметра – амперметра, класс точности вольтметра 0 1, UH = γ , амперметра 0 1, H I = γ . Напряжение накала равно B , U H 88 2 1 = , B , U H 34 2 2 = ; верхний предел шкалы вольтметра равен max H U =3 В. Ток, протекающий через нить накала, равен мА 0 200 1 = = , мА 0 180 2 = = ; верхний предел шкалы миллиамперметра равен мА А. Анодная цепь Анодный ток измеряется миллиамперметром, класс точности которого равен 0 1, A I = γ . Ток насыщения равен мА 1 = ; мА 0 2 = ; верхний предел шкалы миллиамперметра равен max A I = 2 мА. Чтобы найти результат измерения работы выхода необходимо найти температуру нити накала и ее неопределенность исходя из формулы (8.2). Затем найти работу выхода и ее неопределенность исходя из формулы (8.1). 8.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат вычисляется по формуле, заданной в условии задачи. 8.2. Вычисление значения работы выхода и неопределенностей ее измерения. 8.2.1. Температура нити накала и ее неопределенность. Согласно формуле (8,2) температура нити накала равна ( ) K , , / , , R I / U R R К T Н Н Н Н Н 2397 273 1 2 1 2 0 88 2 10 1 5 1 273 1 1 273 1 1 3 0 1 1 0 1 1 = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − α = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − α = − ; аналогично ( К 273 1 2 1 18 0 34 2 10 1 5 1 3 Для расчета неопределенности в (8.2) раскроем скобки. В результате получаем ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α − + α = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − α = 1 273 1 273 1 1 0 0 Н Н Н Н R R R R К T . (8.3) Из (А) следует 2 2 0 2 2 0 2 2 1 1 H H H R Н R Н R Н T R R R T Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ . Таким образом, абсолютная неопределенность температуры равна Н 1 . (8.4) Такая же формула для неопределенности температуры получается из соотношения. Неопределенность сопротивления нити накала рассчитывается также, как в задаче (формула 4.2) и равна Ом 0 10 2 2 0 84 2 10 3 2 0 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ≈ ⋅ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ = Δ − − , Ом 0 10 2 18 0 34 2 10 3 18 0 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Значение неопределенности сопротивления округлены в большую сторону до двух значащих цифр. В этих соотношениях неопределенности напряжения и тока накала, определялись из класса точности приборов вцепи накала (смотри задачу 5), а именно В 10 3 03 0 3 100 0 1 100 − ⋅ = = ⋅ = ⋅ γ = Δ A , , , I max I I 3 10 2 002 0 2 0 100 0 1 Соответствующая неопределенность измерения температуры равна K , , , R Н R T T Н 35 2 1 10 1 5 1 21 0 1 3 0 Неопределенности измеренных температур равны, поскольку равны неопределенности измеренных сопротивлений накала. Относительные неопределенности измерения температуры равны ( ) % , T % T T 5 1 100 2397 35 100 1 1 1 = ⋅ = ⋅ Δ = δ , ( ) % , T % T T 6 1 100 2201 35 100 2 2 Для расчета неопределенности работы выхода приведем формулу (8.1) к виду ( эВ, (8.5) где КэВ 19 23 10 62 8 10 6 1 10 38 1 − − − ⋅ = ⋅ ⋅ = = β , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 A A I I ln X , 1 2 1 Неопределенность частного рассмотрена в задаче 4. Согласно (4.7) относительная неопределенность работы выхода равна 23 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % Y X Y X A δ + δ = δ = δ β . (8.6) Найдем неопределенность логарифмической функции ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 A A I I ln X . (8.7) Эта функция представляет собой числитель выражения для работы выхода. Согласно формуле (А) неопределенность логарифмической функции равна 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ A A A A X I I I X I X . (8.8) Здесь учтено, что 2 1 2 1 I ln I ln I I ln − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ и что Абсолютную неопределенность анодного тока определим из класса точности амперметра вцепи анода и максимального предела шкалы. Поскольку ток измерялся одними тем же прибором на одной и той же шкале, то ( ) A , I max A I 5 3 2 1 10 2 10 2 100 0 1 Подставляя численные значения в (8.8) получаем ( ) ( ) 2 2 5 2 3 2 5 2 3 10 8 6 10 2 10 3 0 1 10 2 10 Отметим, что Х – величина безразмерная, поэтому и ее абсолютная неопределенность является безразмерной. Относительная неопределенность равна ( ) 100 2 1 ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = δ A A X X I I ln % . Подставляя числовые значения, получаем ( ) % , , , , ln , % X 6 3 100 9 1 10 8 6 100 3 0 2 10 8 6 Неопределенность разности функций типа Знаменатель формулы для работы выхода имеет вид 1 2 1 1 T T Y − = . (8.9) Согласно формуле (А) для неопределенности будем иметь 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 T T T T T Y T T T Y T Y Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ . (8.10) Подставляя в (8.10) числовые данные получаем 24 K , T T Y 1 10 45 9 35 2201 1 35 2397 1 6 2 2 2 2 2 1 2 2 − ⋅ = ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ Относительная неопределенность равна ( ) % , , , T T % Y Y 25 100 10 8 3 10 45 9 100 2397 1 2201 1 10 45 9 100 1 1 5 5 6 1 Рассчитаем относительную неопределенность измерения работы выхода. ( эВ 2 2 1 1 1 . Учитывая формулу для относительной неопределенности частного, получаем ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , % % % Y X A 25 25 6 3 2 2 Значение работы выхода равно ( ) эВ , , , , , ln , T T I I ln e k эВ A A A 4 4 10 72 3 9 1 10 62 8 2397 1 2201 1 3 0 2 10 62 8 1 1 5 5 5 1 2 Неопределенность измерения ( эВ 1 4 4 100 25 100 = = δ = Δ 8.3. Результат измерения. эВ , эВ , A 1 1 4 4 ± = ; эВ Табличное значение работы выхода вольфрама равняется 4,5 эВ. Полученные результаты в пределах погрешности удовлетворительно согласуются с табличными данными. Задача 9. Определение удельного заряда электрона. Определить удельный заряд электрона и неопределенность его измерения методом магнетрона. Удельным зарядом электрона называется отношение заряда электрона к его массе. Удельный заряд электрона рассчитывается по соотношению 2 2 2 0 2 2 8 N I R l U m e e KP C A A уд μ = = , (9,1) здесь анодное напряжение В. Верхний предел измерения шкалы вольтметра В, класс точности вольтметра 5 1, V = γ Критическое значение тока соленоида АКР 0 = , верхний предел измерения шкалы амперметра A I MAX C 1 = , класс точности амперметра 0 2 , I = γ . Длина соленоида м , см l 1 0 10 = = , радиус анода м мм R A 3 10 5 5 − ⋅ = = , число витков соленоида, магнитная постоянная м Г 7 0 10 4 − ⋅ π = μ 9.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат вычисляется по формуле, заданной в условии задачи. 9.2. Вычисление удельного заряда электрона и неопределенностей его измерения. 9.2.1. Удельный заряд электрона. Согласно (9.1) удельный заряд электрона равен ( ) ( ) ( ) кг Кл , , , , , , , , m e e уд 11 6 14 6 2 2 3 2 2 7 2 3 2 10 77 1 10 10 10 10 25 2 102 0 86 9 16 25 20 8 10 5 1 32 0 10 14 3 4 10 5 1 0 20 Табличное значение удельного заряда кг Кл , m e e уд 11 10 76 1 ⋅ = = 9.2.2. Неопределенности измерения удельного заряда электрона. Для расчета неопределенностей преобразуем формулу (9.1), выделив члены, содержащие неопределенности. Неопределенности содержит анодное напряжение и ток соленоида. Поэтому формула приобретает вид 2 2 2 2 0 2 2 8 KP C A KP C A A уд I U I U N R l m e e β = ⋅ μ = = , (9.2) здесь кг В Кл А N R l A 2 8 2 2 0 2 2 10 9 8 ⋅ ≈ μ = β – постоянный коэффициент. В задаче 5 получена формула (5.3): ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 % m % n % % Z Y X Y Z X n m δ + δ + δ = δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ , а в задаче 4 формула (4.7): ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % Y X Y X δ + δ = δ β . Согласно этим формулам, относительная неопределенность измерения удельного заряда равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 % % % I U m e δ + δ = δ . (9.3) Относительная неопределенность измерения анодного напряжения определяется из класса точности вольтметра и равна ( ) A MAX A V U U U % γ = δ , (9.4) 26 ( ) % , , % U 8 3 20 50 Относительная неопределенность измерения критического тока соленоида определяется из класса точности амперметра и равна ( КР, (9.5) ( ) % , , , % I 3 6 32 0 0 Согласно соотношению (9.3), определим относительную неопределенность измерения удельного заряда. Она равна ( ) [ ] [ ] % , , , % m e 2 13 3 6 2 8 3 2 Абсолютная неопределенность измерения удельного заряда равна ( ) m e % m e m e ⋅ δ = Δ 100 , (9.6) кг Кл , , , m e 07 0 10 77 1 100 2 13 11 = ⋅ = Δ 9.3. Результат измерения удельного заряда электрона. кг Кл , кг Кл , m e e уд 11 11 10 07 0 10 76 1 ⋅ ± ⋅ = = ; % , кг Кл , m e e уд 2 13 10 76 Задача 10. Последовательная RL цепь. Рассчитать значение индуктивности последовательной цепи, состоящей из резистора и индуктивности L. Определить неопределенности измерения индуктивности. Измерения производятся методом вольтметра – амперметра. Индуктивность рассчитывается по соотношению f R Z L π − = 2 2 2 , (10.1) где I U Z Z = – импеданс цепи, I U R R = – сопротивление цепи, f – частота переменного тока. Показания вольтметров B U R 30 = , B U Z 50 = , максимальный предел шкалы вольтметров B U U max Z max R 50 = = . Класс точности вольтметров равен 5 Показание амперметра A , I 5 0 = , максимальный предел шкалы амперметра A I max 1 = . Класс точности амперметра равен 0 Частота переменного тока Гц 100 = , ее относительная неопределенность составляет. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (10.1). 10.2. Вычисление индуктивности и неопределенностей ее измерения. 27 10.2.1. Значение индуктивности. Значение импеданса равно Ом 5 0 50 = = = , значение сопротивления Ом 5 0 30 = = = , отсюда, согласно (10.1) Г 0 100 2 60 100 2 2 = ⋅ π − = 10.2.1. Расчет неопределенностей. Обозначим X R Z = − 2 2 , тогда формула (10.1) примет вид f X L π = 2 1 . (10.2) Согласно задаче 4 (формула (4.7), относительная неопределенность индуктивности равна ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 1 % % % % f X f X L δ + δ = δ = δ π . (10.3) Рассчитаем неопределенности числителя формулы (10.1) 2 2 R Z X − = (10.4) Согласно (А) неопределенность равна ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R Z R Z X R Z R R Z Z R L Z L Δ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + Δ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R Z R Z R Z R R Z Z Δ ⋅ − + Δ ⋅ − = Δ − (10.5) Относительная неопределенность числителя формулы (10.1) равна ( ) 100 X % X X Δ = δ . Отсюда ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 В результате ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 % R Z R % R Z Z % R Z R Z δ ⋅ − + δ ⋅ − = δ − (10.6) Найдем относительную неопределенность измерения импеданса и сопротивления. Поскольку I U Z Z = , а I U R R = , то относительная неопределенность измерения импеданса ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % I U Z Z δ + δ = δ , (10.7) а относительная неопределенность измерения сопротивления ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % I U R R δ + δ = δ , (10.8) Относительную неопределенность измерения напряжений рассчитаем исходя из класса точности вольтметра 28 ( ) % , , U U % Z max Z U U Z 5 1 50 50 5 1 = = γ = δ ; ( ) % , , U U % R max R U U R 5 2 30 50 Относительную неопределенность измерения тока рассчитаем исходя из класса точности амперметра ( ) % , , , I I % Z max I I 0 2 5 0 1 Отсюда, относительная неопределенность измерения импеданса равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , , , % % % I U Z Z 5 2 0 2 5 1 2 2 2 относительная неопределенность измерения сопротивления равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , , % % % I U R R 2 3 2 5 2 2 2 Согласно соотношению (10.6) относительная неопределенность числителя формулы (10.1) равна ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) % , , % R Z R % R Z Z % R Z R Z X 4 2 3 60 100 60 5 2 60 100 100 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Относительная неопределенность измерения индуктивности согласно формуле (10.3) равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , % % % f X L 2 4 1 4 2 2 2 2 = + = δ + δ = δ , здесь учтено, что при округлении до 2 значащих цифр округление производится в большую сторону. Неопределенность измерения индуктивности равна ( Г 0 127 0 100 2 4 100 = = δ = Δ 10.3. Результат измерения индуктивности. Г , Г , L 005 0 127 0 ± = ; Г 4 127 Задача 11. Измерение длины электромагнитной волны методом дифракции Фраунгофера. Определить длину световой волны после красного светофильтра методом дифракции Фраунгофера. Рассчитать неопределенности измерения. Длина волны определяется из соотношения L l m d = λ , (11.1) где период дифракционной решетки м мкм d 5 10 10 − = = , порядок дифракционного максимума 2 = m , расстояние от решетки до экрана равном, неопределенность этого расстояния м см , L 3 10 5 5 0 − ⋅ = = Δ , расстояние от центра экрана до красного максимума второго порядка равно м , см l 1 0 10 = = , неопределенность этого расстояния составляет м мм l 3 10 1 − = = Δ 29 11.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (11.1). 11.2. Вычисление длины волны и неопределенностей ее измерения. 11.2.1. Расчет длины волны после красного светофильтра. нм м , , , L l m d 680 10 8 6 74 0 1 0 2 10 7 5 = ⋅ ≈ = = λ − − 11.2.2. Расчет неопределенностей. Согласно задаче 4 (формула (4.7), относительная неопределенность длины волны равна ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % L l L l m d δ + δ = δ = δ λ , (11.2) здесь ( ) % , l % l l 1 100 1 0 10 100 3 = ⋅ = ⋅ Δ = δ − , ( ) % , , L % L L 4 1 100 74 0 10 100 В результате относительная неопределенность равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , , % % % L l 8 1 4 1 1 2 2 Неопределенность измерения длины волны равна ( ) нм м , , , % 13 10 13 0 10 8 6 100 8 1 100 7 7 = ⋅ = ⋅ = λ δ = Δ − − λ λ 11.3. Результат измерения длины волны. нм нм 13 680 ± = λ ; нм Задача 12. Измерение радиуса кривизны плоско – выпуклой линзы. Определить радиус R кривизны линзы в методе интерференционных колец Ньютона. Рассчитать неопределенности измерения. Радиус кривизны линзы рассчитывается по соотношению ( ) n m r r R n m − λ − = 2 2 , (12.1) здесь n m r , r – радиусы колец Ньютона с номерами 6 = m и 2 = n , соответственно м , нм 7 10 8 6 680 − ⋅ = = λ – длина световой волны экспериментальной установки. Радиус шестого кольца Ньютона м мм r 3 6 10 6 6 − ⋅ = = , неопределенность его измерения м мм , m 4 6 10 1 0 − = = Δ = Δ ; радиус второго кольца Ньютона равен м мм r 3 2 10 4 4 − ⋅ = = , неопределенность его измерения м мм , n 4 2 10 1 0 − = = Δ = Δ 12.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (12.1). 12.2. Вычисление радиуса кривизны линзы и неопределенностей ее измерения. 12.2.1. Расчет радиуса кривизны линзы. ( ) ( ) (м 7 10 2 27 10 20 2 6 10 8 6 10 4 10 6 7 6 7 2 3 2 3 2 2 ≈ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ = − λ − = − − − − − 30 12.2.2. Расчет неопределенностей. Неопределенность радиуса кривизны линзы рассчитаем по формуле (А) 2 2 2 2 n n m m R r R r R Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ . (12.2) Дифференцируя соотношение (12.1) получаем ( ) ( ) ( ) (м 0 10 10 10 4 8 6 16 36 2 10 4 10 6 2 6 10 8 6 10 2 4 4 1 7 3 4 2 3 2 3 7 4 2 2 2 Относительная неопределенность измерения равна ( ) % , , , R % R R 2 8 100 4 7 6 0 100 = = ⋅ Δ = δ 12.3. Результат измерения радиуса кривизны линзы. мм 0 4 7 ± = ; м 8 4 Задача 13. Измерение поляризации электромагнитных волн. Определить степень поляризации электромагнитных волн при их отражении от диэлектрика. Рассчитать неопределенности измерения. Степень поляризации электромагнитных волн рассчитывается по соотношению 2 1 2 1 I I I I + − = χ , (13.1) здесь А мА I 2 1 10 9 90 − ⋅ = = , А мА I 2 1 10 4 40 − ⋅ = = – показания миллиамперметра, класс точности которого 0 2, = γ , верхний предел измерения шкалы миллиамперметра А , мА I max 1 0 100 = = 13.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (13.1). 13.2. Вычисление степени поляризации и неопределенностей ее измерения. 13.2.1. Расчет степени поляризации. 38 0 40 90 40 90 2 1 2 1 , I I I I = + − = + − = χ . Степень поляризации – величина безразмерная. 13.2.2. Расчет неопределенностей. Для упрощения расчетов обозначим X I I = − 2 1 , Y I I = + 2 1 , тогда Y X = χ . (13.2) Относительная неопределенность частного определяется соотношением ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 % % % % Y X Y / X δ + δ = δ = δ χ . (13.3) Относительные неопределенности ( и Y δ найдем через неопределенность измерения тока, которая постоянна ( I I I Δ = Δ = Δ 2 1 ) и равна 31 A , , I max I 3 10 2 1 0 100 0 2 Неопределенность числителя и знаменателя расчетной формулы (13.1) определяется как неопределенность разности и суммы. 2 2 2 1 2 1 2 1 I I I I I I Δ + Δ = Δ = Δ + − . (13.4) Отсюда ( ) A , I I I I I Y X 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 10 9 2 10 2 2 Относительная неопределенность числителя и знаменателя равна ( ) % , , I I X % X X X 8 5 100 10 5 10 9 2 100 100 2 3 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − Δ = ⋅ Δ = δ − − , ( ) % , , I I Y % X Y Y 3 2 100 10 13 10 9 2 100 100 2 3 При вычислениях ограничились двумя значащими цифрами и округлили результат в большую сторону. Относительная неопределенность степени поляризации равна ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] % , , . % % % % Y X Y / X 3 6 3 2 8 5 2 2 2 Неопределенность степени поляризации равна ( ) 024 0 38 0 100 3 6 100 , , , % = = χ δ = Δ χ χ 13.3. Результат измерения степени поляризации электромагнитных волн. 024 0 380 0 , , ± = χ ; % , , 3 6 380 Числовые значения измеренной величины и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов. Поэтому для поляризации приведено значение 0,380, а не 0,38. 2.4. ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ Чтобы уменьшить случайную неопределенность используют многократные наблюдения при прямых измерениях физической величины в одних и тех же условиях. Такие измерения называют равноточными. Далее единичное измерение будем именовать наблюдением. При многократных наблюдениях результатом измерения называют не результат отдельного наблюдения (те. показание прибора, а уже обработанный результат всех наблюдений. Результаты наблюдений и случайные погрешности – суть случайные величины и для их математического описания используется аппарат теории вероятности. Свойства случайной величины описываются функцией распределения. Случайные погрешности чаще всего описываются нормальной функцией распределения, поэтому дальнейшие результаты приводятся для этого случая. Результат измерения физической величины при многократных наблюдениях. |