Задачи по программе фарм. Тема 1 Измерение физических величин. Прямые и косвенные измерения. Ошибки и погрешности измерений физических величин. Прямые и косвенные измерения. Обработка результатов прямых измерений. Прямые измерения

• Название: Тема 1 Измерение физических величин. Прямые и косвенные измерения. Ошибки и погрешности измерений физических величин. Прямые и косвенные измерения. Обработка результатов прямых измерений. Прямые измерения
• Дата: 06.03.2023
• Размер: 5.58 Mb.
• Имя файла: Задачи по программе фарм.docx
• Тип: Решение; #972214
• страница: 1 из 4

Тема 1: Измерение физических величин. Прямые и косвенные измерения. Ошибки и погрешности измерений физических величин. Прямые и косвенные измерения. Обработка результатов прямых измерений.

Прямые измерения

Пример 1. При измерении штангенциркулем с погрешностью 𝛿=0,05 мм диаметра 𝐷 калиброванного цилиндра получены значения:

𝐷1=19,80 мм; 𝐷2=19,85 мм; 𝐷3=19,80 мм; 𝐷4=19,80 мм.

Решение:



Пример 2. При измерении диаметра грубо обработанной детали микрометром, погрешность которого 𝛿=0,01 мм, получены следующие значения:

𝐷1=19,82 мм; 𝐷2=19,87 мм; 𝐷3=19,74 мм; 𝐷4=19,80 мм; 𝐷5=19,77 мм; 𝐷6=19,85 мм; 𝐷7=19,81 мм; 𝐷8=19,80 мм; 𝐷9=19,73 мм; 𝐷10=19,87 мм.

Решение:

Вычисляем:



2) СКО результата отдельного измерения

Рассчитываем доверительный интервал Δ𝐷, задаваясь определенным значением доверительной вероятности Р, например, Р = 0,95(95%).
По таблице находим коэффициент Стьюдента 𝑡_10;0,95=2,3. Тогда



или, после округления , Δ𝐷≈0,04 мм.

Соответственно округляем значение диаметра и записываем окончательный результат:

𝐷=(19,81±0,04)мм;

𝜀_𝐷 =0,2%;

Р = 0,95.

Пример 3. При измерении мирового рекорда на спринтерской дистанции 100 м использовался электронный секундомер с относительной нструментальной

погрешностью 0.2 %. Скажите, можно ли уверенно утверждать, что время 8.70 с является новым мировым рекордом, если время действующего мирового рекорда равно (8.745 ± 0.001) с ?

Решение:
1) Найдем абсолютную погрешность измерения времени нового рекорда на

дистанции 100 м:



где δt – относительная погрешность, 0.2 %;

t – значение физической величины, 8.70 с;

Δt – абсолютная погрешность, с.
2) Результат измерения представим в виде интервала:

(8.70 ± 0.02) с

3) Сравним результат с действующим рекордом:

(8.745 ± 0.001) с

4) Время 8.70 с является новым мировым рекордом, так как выполняется

неравенство:

(8.745 – 0.001) c > (8.70 + 0.02) c

8.744 c > 8.72 c

Пример. При измерении диаметра цилиндра в различных местах штангенциркулем получено одинаковое значение D = 12,5 мм. Абсолютная погрешность штангенциркуля 0,1 мм. Произведите оценку точности изме-рения.

1. Предельная абсолютная погрешность технического измерения равна абсолютной погрешности штангенциркуля Δx_пр= 0,1 мм.

2. Предельная относительная погрешность технического измерения равна относительной погрешности штангенциркуля



3. Результат измерения следует записать так: D = (12,5 ± 0,1) мм.

Косвенные измерения

Пример 1. Определить абсолютную и относительную погрешности по единичным измерениям соответствующих аргументов коэффициента вязкости касторового масла, определенного методом Стокса.
Величина коэффициента вязкости в этом случае определяется формулой:



где r – радиус шарика, g – ускорение свободного падения, – плотность

свинца, о – плотность касторового масла, l – расстояние пройденное шариком, – время движения шарика.
В результате измерений были получены значения:

l 0,75, измеренное с точностью до 0,005 м,

r 2,0 10^-3м, измеренное с точностью до 0,1 10^-4м,

5,96 с, измеренное с точностью до 0,01 с,

_10320 кг/м³, измеренное с точностью до 0,5 кг/м3

g 9,8м/с2, измеренное с точностью до 0,05 м/с2.

1. 
   Определим коэффициент вязкости, используя закон Стокса:
   

2. Логарифмируя выражение закона Стокса, получим:



3. Дифференцируем полученное выражение:



4. Заменяем знак дифференциала на знак приращения и находим макси-мальную относительную погрешность:



Так как _ , то



Подставляя численные значения, получим:



В процентах относительная погрешность составляет:



Максимально возможная абсолютная погрешность в определении вязко-

сти равна:



Результат измерений представим в виде:



Пример 2. Найдите объем детали и его погрешность, если измерения ребер прямоугольного параллелепипеда дали результат:

x = (58,3 ± 0,5) мм

y = (14,2 ± 0,5) мм

z = (44,4 ± 0,5) мм
Решение:

1) Объем прямоугольного параллелепипеда определяется произведением длины, ширины и высоты:



2) Изменение объема dV при бесконечно малых приращениях размеров dx, dy, dz определяется полным дифференциалом функции V (x, y, z):



3) Перейдем от бесконечно малых приращений к определенным значениям случайных погрешностей: ΔV, Δx, Δy, Δz.



4) Вычислим частные производные:


5) Для упрощения расчетов разделим обе части уравнения на квадрат объема и преобразуем в относительные погрешности:


6) Найдем относительные погрешности:



7) Вычислим погрешность объема:



8) Вычислим абсолютную погрешность:



9) Перепишем результат с учетом погрешности измерения:







Тема 2: Геометрический и физический смысл производной. Нахождение производных. Производные высших порядков. Скорость как первая производная пути по времени. Ускорение как вторая производная пути по времени.
Пример 1. Найти производную функции .


Пример 2. Найти производную функции y 3cosx.

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас 3cosx.

Вычисляем:

y3cos x

выносим постоянный множитель за знак производной:

y3cos x3 cos x

Пользуемся таблицей производных:

y3cosx3 cosx3sin x sin x.
Пример 3. Найти производную функции



Применяем правило производной суммы





для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде и найти табличные производные.
Пример 4. Найти производную функции



В этом примере дано произведение двух функций, зависящих от х. Применим правило умножения производных:


Пример 5. Найти производную функции



Применяем правило дифференцирования частного:


Пример 6. Найти производную сложной функции



Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции (u(v))u(v) v:


Пример 8. Путь при свободном падении тела определяется формулой S (t) gt² . Найти скорость свободного падения.
Решение.

1. Дадим моменту времени t приращение t , получим момент (t + t).

2. Вычислим S :


Пример 9. Путь, пройденный автомобилем зависит от времени по закону:

, какова скорость автомобиля в момент времени 3с?

Решение



Для момента 3с имеем:

м/с
Пример 10. Закон движения точки определяется заданием ее радиус вектора.

.

Найти величину и направление ускорения движения точки в любой момент времени.
Решение:

Первая производная вектор-функции определяет вектор скорости движения точки .



Вторая производная – вектор ускорения



Величина ускорения


Пример 11.


Производные высших порядков.
Пример 7. Для примера возьмем квадратичную функцию

f x, ax²bx c

тогда первая производная

f x2ax b,

вторая производная

f x2a,

и третья производная

f x0.

Пример 9. Координата тела задана формулой:



Пример 10. Рассмотрим экспоненциальную функцию

f xe ^x

Для первой производной имеем

f xe ^x

Легко сообразить, что в этом случае все производные более высокого

порядка имеют такой же вид, т.е.

e f xf xf xf x...
Домашнее задание

1. 
   Найти производную функции
   

2. 
   Найти производную функции
   

3. 
   Найти производную функции
   

4. 
   Найти производную функции
   

5. 
   Найти производную функции
   

6. 
   Найти производные указанных порядков:
   

7. 
   Определить скорость тела в момент времени t = 2 c, если его координата x изменяется по закону x= At³ (A = 2 м/с³), а координаты y и z не изменяются.
   
8. 
   При движении тела его координаты изменяются согласно уравнениям y(t)=0; z(t)=0; x(t)= At⁴ -Bt⁵ , где A=0,05 м/с⁴ иB=0,01 м/с⁵. Определить среднюю скорость перемещения, среднюю путевую скорость и среднее ускорение тела за промежуток времени 0 ÷ 6 с.
   

Тема 3: Понятие дифференциала. Дифференциалы функции одной переменной. Частная производная и частный дифференциал. Полный дифференциал.

Пример 1.Вычислить дифференциал функции y sin x. Ответ dy cos xdx .
Пример 2.Вычислить дифференциал функции



Ответ

Пример 3.Вычислить дифференциал функции



Решение


Пример 4.Применение дифференциала для приближенных вычислений.



Домашнее задание
Найти дифференциал функции: