Задачи по программе фарм. Тема 1 Измерение физических величин. Прямые и косвенные измерения. Ошибки и погрешности измерений физических величин. Прямые и косвенные измерения. Обработка результатов прямых измерений. Прямые измерения
![]()
|
m или m= k∙m,Пример 1. Найти неопределенный интеграл. ![]() Решение ![]() ![]() Пример 2. Найти неопределенный интеграл. ![]() Решение ![]() ![]() Пример 3. Найти неопределенный интеграл. ![]() Преобразуем подынтегральную функцию в сумму ![]() Подведение функции под знак дифференциала Пример 3. Найти неопределенный интеграл ![]() Подведём функцию (3x +1) под знак дифференциала: ![]() ![]() Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() ![]() ![]() Примеры 5-7 : ![]() Метод замены переменной в неопределённом интеграле Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() Метод замены переменной состоит в том, чтобы сложное выражение заменить одной буквой. В данном случае напрашивается замена 3x +1= t . Также dx нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от t. Записываем дифференциал: ![]() ![]() и переход к новой переменной осуществлён: ![]() Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() Решение ![]() Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. Найти неопределенный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() Пример из физики ![]() Домашнее задание ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определённые интегралы Пример 1. Вычислить определенный интеграл ![]() Решение: ![]() Пример 2. Вычислить определенный интеграл ![]() Решение: ![]() Пример 3. Вычислить определенный интеграл ![]() Решение: ![]() Домашнее задание ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тема 6. Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ДУ). Порядок дифференциальных уравнений. Уравнение движения материальной точки-пример линейного ДУ. Второй закон Ньютона -пример ДУ второго порядка. Задачи, приводящие к ДУ. Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения у3х21 Решение: Уравнение представлено через производную, поэтому еѐ надо заменить на отношение дифференциалов dy/dx; ![]() Разность двух постоянных С2 – С1 есть величина постоянная, поэтому можно еѐ заменить на постоянную интегрирования С. y x3x C - общее решение уравнения. Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения ![]() ![]() Интегрируем ![]() Здесь произвольная постоянная взята в логарифмической форме. ![]() ![]() Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения ![]() ![]() Интегрируем ![]() ![]() Потенцируем это выражение и выражаем функцию y. ![]() Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения. В левой части уравнения должен стоять y, поэтому разделим обе части уравнения на 6: ![]() Заменим производную отношением дифференциалов: ![]() Чтобы найти частное решение, необходимо использовать начальные условия, подставим х = 1 и у = 6 в общее решение и найдем значение постоянной интегрирования С: ![]() Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() Решение: Вначале найдем общее решение данного дифференциального уравнения. В левой части уравнения оставим y, все остальное перенесѐм в правую часть: y= у + 6 Заменим производную отношением дифференциалов: ![]() ![]() Подставим х = 0 и у = 5 в общее решение и найдем значение постоян- ной интегрирования С: ![]() Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() Решение: Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения. В данном уравнении производная уже заменена отношением дифференциалов и обе части уравнения умножены на dx. В левой части уравнения должен стоять dy, поэтому обе части уравне- ния делим на 2: ![]() ![]() Подставим х = 1 и у = 3 в общее решение и найдем значение постоян- ной интегрирования С: ![]() Пример 7. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов? Решение: Пусть N – количество бактерий в момент t. Согласно условию задачи скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, т. е. N |