Оценка неопределенности. Расчет неопределенностей результата. А. Г. Черевко Расчет неопределенностей результата измерений в физическом эксперименте Учебное пособие
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
2.4.1. Расчет случайной неопределенности прямых измерений с многократными наблюдениями 1. Исключаются систематические неопределенности. Исключение этих неопределенностей является сложной проблемой. Как правило, в лабораторных установках систематические неопределенности сведены к минимуму, либо студентам специально указывается алгоритм их исключения, который, обычно является индивидуальным для каждой установки. В частности, учет этих неопределенностей может осуществляться введением известных поправок путем сложения их с результатом единичного измерения, либо путем умножения результата единичного измерения на поправочный множитель. Результаты единичного измерения после исключения систематических неопреде- ленностей называются исправленными. Дальнейшей статистической обработке подвергаются исправленные результаты наблюдения. 2. Рассчитывается результат измерения. Предположим, экспериментатор зафиксировал n значений физической величины (Х, Х 2 …Х n ), проведя n единичных измерений (наблюдений. Определить результат измерения. Если систематические неопределенности минимизированы, то за результат измерения принимаем среднее арифметическое результатов наблюдений, оно равно n X n Х ... Х Х X N i i n ∑ = = + + >= < 1 2 1 (А) Проверка правильности вычисления среднего. Поскольку алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюдений от среднего значения всегда равна нулю, то получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = = ⋅ ⋅ ⋅ + > < − + > < − + > < − = > < − n i i X X X X X X X X 1 3 2 1 0 . (А) 3. Стандартную неопределенность единичного измерения (наблюдения) вычисляют по формуле ( ) ( ) ( ) [ ] ⋅ ⋅ ⋅ + > < − + > < − − = > < − − = σ ∑ = 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 X X X X n X X n n i i i X . (А) По этой же формуле вычисляется среднеквадратическое отклонение (СКО) наблюдений. СКО также называют дисперсией. Таким образом, стандартная неопределенность наблюдения равна соответствующему СКО (дисперсии. ∑ = = − n i i x x 1 (2.8) 0 ) ( 33 4. Стандартную неопределенность измерений, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле n ) X X ( ) n ( n i X n i i X σ = > < − − = σ ∑ = > < 1 2 1 1 . (А) По этой же формуле вычисляется среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерений. Таким образом, стандартная неопределенность результата измерений равна соответствующему СКО. Физический смысл среднеквадратичных отклонений. а) Если экспериментатором проведено более 10 наблюдений (n ≥ 10), то с достаточной для практических целей точностью можно считать, что внутри интервала содержатся 2/3 значений наблюдений в интервале находится 95% наблюдений, а в интервале i X X σ ± > < 3 – 99% наблюдений. б) Если оператором проведено n ≥ 10 наблюдений, то с достаточной для практических целей точностью можно считать, что в интервале > < σ ± > < X X с доверительной вероятностью дов Р =67% содержится истинное значение измеряемой величины. В интервале > < σ ± > < X X 2 истинное значение измеряемой величины содержится с = дов Р 95%. В интервале > < σ ± > < X X 3 истинное значение измеряемой величины содержится с дов Р = 99%. Доверительная вероятность ( дов Р ) – вероятность, с которой погрешность измерения содержится внутри интервала Δ ± , который, в свою очередь, называется доверительным. 5. Расширенную неопределенность X Δ вычисляют по формуле А) где ) (n t α - коэффициент Стьюдента. Значение коэффициентов Стьюдента, приведены в Приложении, Таблица 2, где n – число наблюдений в эксперименте, величину α, приведенную в таблице, принимают равной дов Р . Задача 14. Расчет результатов измерения температуры абсолютно черного тела при многократных наблюдениях. В таблице 1 (второй столбец) приведены результаты десяти наблюдений температуры) абсолютно черного тела (АЧТ). Измерения проведены в нормальных условиях. Считая закон распределения случайных неопределенностей нормальным, найти расширенную неопределенность случайной составляющей неопределенности результата измерения при доверительной вероятности Р дов =0,95. Записать результат измерения. Решение 1. По формуле (А) вычислим среднее значение температуры АЧТ (см. таблицу, второй столбец 34 10 1020 10014 1009 1006 1001 979 985 993 995 998 2 1 + + + + + + + + + = + + >= < n .. T T T K T 1000 = > < . Результат запишем в третий столбец Таблицы 1. 2. Проверим правильность вычисления среднего значения температуры по формуле (А, согласно которой ( ) ∑ = = > < − n i i T T 1 0, те. сумма чисел в 4 столбце Таблицы 1 должна быть равна нулю (-2-5-7-15-21+1+6+9+14+20=0) Таблица 1 № п/п i T , К > < T , К К 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ > < − T T i i T σ , К К ( ) n t α > < Δ T , К ,% δ 1 998 -2 4 2 995 -5 25 3 993 -7 49 4 985 -15 225 5 979 -21 441 6 1001 1 1 7 1006 6 36 8 1009 9 81 9 1014 14 196 10 1020 1000 20 400 13 4,1 2,26 9,3 0,93 3. Вычислим оценку стандартной неопределенности единичного измерения формула А. Используя результаты вычислений, приведенных в 5 столбце Таблицы 1, получаем ( ) (К 1 10 1 1 2 10 2 2 2 1 Неопределенность округлили до двух значащих цифр в большую сторону. 4. Согласно выражению (А) вычислим оценку стандартной неопределенности результата измерения K , n i T T 1 4 10 13 ≈ = σ = σ > < 5. По таблице коэффициентов Стьюдента (см. Приложение, Таблица 2) находим значение ( ) n t α для доверительной вероятности 95 0, Р дов = и числа наблюдений 10 = n : , n ; , Р дов 9 1 95 0 = − = = α ) (n t α = 2,26. ) (n t α равен числу на пересечении строки 9 1 = − n и столбца 95 0, Р дов = = α 6. По формуле (А) находим расширенную неопределенность T Δ случайной составляющей неопределенности результата измерения 35 > < α > < σ ⋅ = Δ T T ) n ( t ; 3 9 1 4 26 2 , , , T ≈ ⋅ = Δ > < К. 7. Результат измерения температуры Т К К δ=±0,93%; 95 0, Р дов = , условия измерения нормальные, при 10 наблюдениях. Другая форма записи результата измерения K , K , T 3 9 0 1000 ± = ; % , K , T 93 0 0 1000 ± = 2.5. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ В таких измерениях результат определяется согласно функциональной зависимости, где X i – результат прямого измерения го аргумента. При этом один или несколько аргументов определяются из многократных наблюдений. Рассмотрим 2 случая. а) Все аргументы X 1 , X 2 , …X n определены из измерений с многократными наблюдениями. Стандартные неопределенности этих измерений суть > < > < > < σ σ σ Xn X X , , 2 1 , рассчитаны по формуле (А. Все эти неопределенности статистически независимы, поскольку Хи Х – статистически независимые величины. Тогда стандартная неопределенность косвенного измерения величины равна 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 > < = > < > < > < > < σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = σ ∑ i X n i i n X n X X Q X f X f ... X f X f (А) Расширенная неопределенность 2 2 1 > < = > < Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ ∑ i X n i i Q X f , (А) здесь ( ) > < α > < σ = Δ i X i X n t – расширенная неопределенность аргумента i X , рассчитанная из результатов прямых измерений с многократными наблюдениями (см, например, задачу 14). Коэффициент ( ) n t α – коэффициент Стьюдента, определяемый из Таблицы 2 (см. Приложение. б) Только часть аргументов X 1 , X 2 , …X i определяется из измерений с многократными наблюдениями, имеющими стандартные неопределенности > < > < > < σ σ σ Xi X X , , 2 1 1 , рассчитанные по формуле (А. Остальные Х аргументов определяются из однократных измерений с рассчитанными неопреде- ленностями Х , 1 . Неопределенности статистически независимы. Расширенная неопределенность результата косвенного измерения определяется по формуле 36 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 n X n i X i i X n X Q X f ... X f X f ... X f Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ + + > < > < > < , (22) где > < α > < σ = Δ i X i X ) n ( t – расширенная неопределенность измерения с многократными наблюдениями, вычисляемая, как правило, при доверительной вероятности (Р дов =α), равной 0,95. Задача 15. Обработка результатов измерения постоянной Стефана-Больцмана. Рассчитать результат измерения постоянной Стефана-Больцмана ( СБ σ ) и ее неопределенность, если абсолютно черное тело (АЧТ) нагревается током, а его температура измеряется пирометром. Данные по температуре приведены в Таблице (задача 14). Постоянная Стефана-Больцмана определяется согласно выражению Б. (15.1) Температура АЧТ и ее неопределенность рассчитаны и приведены в Таблице 1, задача 14: температура равна 1000 К, расширенная неопределенность ее измерения. Ток через абсолютно черное тело A , I 8 0 = , верхний предел шкалы амперметра A I max 1 = , класс точности амперметра 5 1, I = γ . Напряжение на АЧТ B U 25 = , верхний предел шкалы вольтметра B U max 30 = , класс точности вольтметра 0 1, U = γ . Площадь излучающей поверхности АЧТ 2 54 см) равна 3,54 см. Площадь задана в паспортных данных АЧТ. 15.1. Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (15.1). 13.2. Вычисление постоянной Стефана-Больцмана и неопределенностей ее измерения. 13.2.1. Расчет постоянной Стефана-Больцмана. ( ) 4 2 8 4 4 10 64 5 1000 10 54 3 8 0 25 К м Вт , , , CБ − − ⋅ = ⋅ ⋅ = σ , что удовлетворительно согласуется с табличным значением 4 2 8 10 6703 5 К м Вт , ТАБЛ CБ − ⋅ = σ 13.2.2. Расчет неопределенностей. Формула (15.1) не содержит операций суммирования и вычитания, поэтому согласно соотношению (5.3) (задача 5) относительная расширенная неопределенность равна ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 4 % % % % T I U > < σ δ + δ + δ = δ . (15.2) Относительная расширенная неопределенность напряжения ( ) % , , U U % max U U 2 1 25 30 0 1 = = γ = δ Относительная расширенная неопределенность тока ( ) % , , , I I % max I I 3 1 8 0 1 5 1 = = γ = δ , значение неопределенности округлили до двух значащих цифр в большую сторону. Относительная расширенная неопределенность измерения температуры ( ) % , , % T 93 0 100 1000 Относительная расширенная неопределенность результата измерения постоянной Стефана-Больцмана: ( ) ( ) ( ) ( ) % , , , , % 1 4 91 0 4 3 1 2 1 2 2 2 = ⋅ + + = δ σ , значение неопределенности округлили до двух значащих цифр в большую сторону. Абсолютная расширенная неопределенность измерения постоянной Стефана- Больцмана ( ) 4 2 8 8 10 23 0 041 0 10 64 5 100 К м Вт , , , % СБ − − σ σ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ = δ ⋅ σ = Δ 13.3. Результат измерения постоянной Стефана-Больцмана. 4 2 8 10 64 5 К м Вт , CБ − ⋅ = σ ; 4 2 8 10 23 0 К м Вт , − σ ⋅ = Δ ; Р дов =0,95. Другая форма записи результата измерения 4 2 8 4 2 8 10 23 0 10 64 5 К м Вт , К м Вт , CБ − − ⋅ ± ⋅ = σ ; % , К м Вт , CБ 1 4 10 64 5 4 2 8 ± ⋅ = σ − 38 3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Образцы решения задач. Пример 1. Определить показания прибора, представленного на рисунке 2. Записать результат измерения с учетом абсолютной и относительной неопределенности. Решение Рис. 2. Лицевая панель миллиамперметра. 1. Анализ характеристик прибора. – Прибор является миллиамперметром, о чем свидетельствует надпись mA на шкале прибора. – Прибор – многопредельный, о чем свидетельствует блок аттенюаторов, расположенный в нижней части рисунка. Верхние пределы измерения – при положении аттенюаторах верхний предел измерения прибора равен 50 миллиампер, – положение х – предел шкалы х мА, – положение аттенюаторах предел шкалы х мА. В нашем случае выбрано положение аттенюаторах, т.к. значение х закрашено, те. кнопках нажата. Следовательно, верхний предел измерения прибора равен, мА Число делений шкалы равно N=10. – Класс точности прибора 5 1, = γ , о чем свидетельствует надпись в правой нижней части прибора. 2. Определение показаний прибора и неопределенностей. – Цена деления шкалы миллиамперметра дел мА N I C max 25 10 250 = = = – Показание прибора число делений, на которое отклонилась стрелка прибора определяется с точностью 0,5 дели равно дел , N П 5 5 = , что составляет мА , дел , дел мA N C I П П 5 137 5 5 25 = ⋅ = ⋅ = 10 20 30 50 40 0 x 2 x 5 x 1 1,5 mA 39 – Абсолютная расширенная неопределенность измерения (далее неопределенность определяется из класса точности прибора. Она постоянна и не зависит от показаний прибора мА 3 250 100 5 1 100 = = ⋅ γ = Δ , округляя до двух значащих цифр, получаем мА 3 = Δ – Относительная неопределенность измерения тока ( П 2 100 5 137 75 Значение относительной неопределенности округлили до 2 значащих цифр в большую сторону. Эта погрешность увеличивается приуменьшении показаний прибора. 3. Результат измерения мА , мА , I 8 3 5 137 ± = ; мА 2 5 Запись результата измерения и неопределенности оканчиваются цифрами одинаковых разрядов. Пример 2. Определить сопротивление резистора, измеренное методом вольтметра- амперметра (рисунок 3). Показания приборов приведены на рисунке 4. Определить абсолютную и относительную неопределенность измерения сопротивления и записать результат измерения. Рис. 3. Схема измерения сопротивления. |